1、三 多面体和旋转体的体积2.7 体积的概念与公理几何体占有空间部分的大小叫做它的体积体积 同读量长度，面积一样，要度量一个几何体的体积，首先要选取一个单位体积单位体积作为标准。然后求出几何体的体积的体积是单位体积的多少倍，这个倍数倍数就是这个几何体的体积的数值。公理公理 5 长方体的体积等于它的长，宽，高的积。长方体的体积等于它的长，宽，高的积。abcV长方体acb推论推论 1 长方体的体积等于它的底面积长方体的体积等于它的底面积s和高和高h的积。的积。shV长方体推论推论 1 正方体的体积等于它的棱长的立方。正方体的体积等于它的棱长的立方。3aV正方体从公理 5，可以直接得到下面的推论：(注
2、:.ab=s、h=s)(注:.a=b=c)公理公理 6 夹在两个平面间的两个几何体夹在两个平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任被平行于这两个平面的任意平面所截意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的那么这两个几何体的体积相等体积相等.夹在平行平面,之间的两个形状不同的几何体，被平行于平面,的任意一个平面所截，如果截面P和Q的面积相等，那么它们的体积一定相等。例如，取一摞书或一摞纸张堆放在桌面上，将它如图那样改变一下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞书或纸的体积与变形前相等。PQ2.8 棱柱,圆柱的体积 设有底面积面
3、积都等于S,高都等于h的任意一个棱柱和一个圆柱,取一个与它们底面积相等,高也相等的长方体,使它们的下底面在同一个平面上。因为它们的上底面和下底面平行，并且高都相等，所以它们的上底面都在和平面平行的同一个平面内。用和平面平行的任意平面去截它们时，所得的截面都和它们的底面分别全等，故这些截面的面积都等于S。根据定理定理6，它们的体积相等。由于长方体的体积等于它的底面积和高的乘积，于是我们得到下面的定理：定理定理 柱体（棱体，圆体）的体积等于它的面积柱体（棱体，圆体）的体积等于它的面积S和高和高h的积。的积。shV柱体 例例1 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg。已知底面六边形的边长是12m
4、m,高是10mm,内孔直径是10mm.问约有毛坯多少个(铁的比重是7.8g/cm3)解解:六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差.PNO)1074.31061243332mmV（正六棱柱）（）（圆柱33210785.01021014.3mmV毛坯的体积毛坯的体积)(96.2)(1096.210785.01074.333333cmmmV)(105.2)96.28.7(108.523个答：这堆毛坯约有250个个。2.9 棱锥,圆锥的体积CBAAShVCBAABC三棱柱BCABCCABABAS三角形BABS三角形BC高BC高BA高BA高BCBS三角形CBCS三角形BABCV三棱锥
5、BABCV三棱锥ABACV三棱锥BABCV三棱锥ShVVVVCBAABCCBCABABCABAC3131三棱柱三棱锥三棱锥三棱锥1s2s1h1hhhss 取任意两个锥体,设它们的底面面积都是S,高都是H.把这两个锥体放在同一个平面上,这时它们的顶点都在和平面平行的同一个平面内。用平行于平面的任意平面去截它们，截面分别与底面相似。设截面与顶点的距离是h1，截面面积分别是S1,S2,那么.,212122122211sssssshhsshhss根据公理6，这两的锥体的体积相等，及三棱锥的体积公式。由此我们可以得到下面的定理：定理定理 等面积等高的两的锥体的体积相等。等面积等高的两的锥体的体积相等。定
6、理定理 如果一个锥体（棱锥，圆锥）的底面积如果一个锥体（棱锥，圆锥）的底面积S，高是，高是h，那么它，那么它的体积是的体积是ShV31锥体 1.用棱长为1的正方体的体积作为体积单位右图长方 体的体积的数值为36。假如将体积单位改用棱长 为2的正方体的体积，这个长方体的体积变为多少？为什么？解解：原来以1为一个单位，现在以2为一个单位。个体积单位长方体有262322故，这个长方体的体积是4.5 2.已知长方体形的铜块长，宽，高分别是2cm,4cm,8cm，将它们融化后铸成一个正方体形的铜块，求铸成的铜块的棱长（不计损耗）。解：由柱体体积公式有：842 abcV长方体3aV正方体不计损耗)(48423cmaaVV正方体长方体所求棱长为4cm 3.如图，将长方体沿相邻三个面的对角线截取一个三棱锥。这个三棱锥的体积是长方体体积的几分之几？解：BDCCDBDBAABDVVV三棱柱三棱柱长方体AABBCDDCBDCCDBDBAABDVV三棱柱三棱柱3BDCCBDCCDBVV三棱锥三棱柱三棱锥正方体VV6蔡 文 耀2004 12 1
