1、湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共 4 页）第 1 页2023 年湖北省高三上学期 1 月期末考试高三数学试卷考试时间：2023 年 1 月 10 日上午 8：00-10：00 试卷满分：150 分注意事项:1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上。2、回答选择题时，选出每题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。一、单项选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共计40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位
2、置上）一、单项选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共计40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1 已知集合23,NAx xx，则A的子集共有（）个A3B4C6D72 若复数 z 满足1 2i34iz（其中 i 是虚数单位），复数 z 的共轭复数为z，则（）Az 的实部是511Bz的虚部是25C复数z在复平面内对应的点在第一象限D5z 3 2022 年 9 月 16 日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运 20 专机在两架歼 20 战机护航下抵达沈阳国际机场歼 20 战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机
3、动性能等特点，歼 20 机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为 2 米的正三角形，则机身头部侧面积约为（）平方米A2B33C2D224“17m”是“方程22117xymm表示焦点在 y 轴上的椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5 已知 na是各项均为正数的等差数列，nS为其前 n 项和，且6710220aaa，则当78aa取最大值时，10S（）A10B20C25D506 已知1sincos62，则)322cos(（）A12B12C34D347 已知函数xxxf3)(，且21logaf，2logbef，0.82cf，（其中 e 为自然对数的
4、底数，为圆周率），则,a b c的大小关系为（）AabcBbacCcbaDcab8 2022 卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的 8 座体育馆举办.将甲、乙、丙、丁 4 名裁判随机派往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派 1 名裁判，A表示事件“裁判甲派往卢赛尔体育馆”；B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则（）A事件A与B相互独立B事件A与C为互斥事件C()31P C A D()16P B A 湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共 4 页）第 2 页二二、多多项项选择选择题题（共共4 4小小题题，每每小小题题5 5分分，共共计计2
5、020分分在在每每小题小题给给出出的的四个四个选选项项中中，至，至少少有有两个是两个是符合题目要求的，符合题目要求的，全部选对得全部选对得 5 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 2 分，有错选得分，有错选得 0 0 分分）9 新冠肺炎疫情防控期间，进出小区超市学校等场所，我们都需要先进行体温检测.某学校体温检测员对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（）A乙同学体温的极差为C2.0B甲同学体温的第三四分位数为36.5C甲同学的体温比乙同学的体温稳定D乙同学体温的众数，中位数，平均数都相等10已知函数 sinf xAx（0A，0，2）的部分图象如图，则（）A
6、函数解析式 2sin 26fxxB将函数2sin 26yx的图象向左平移2个单位长度可得函数 fx的图象C直线1112x 是函数 fx图象的一条对称轴D函数 fx在区间,02上的最小值为211设圆22:2O xy，直线:40l xy，P为l上的动点.过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法中正确的是（）A直线l与圆O相交BPA的取值范围为6,C存在点 P，使四边形OAPB为正方形D当点 P 坐标为（2,2)时，直线AB的方程为1 yx12如图，棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，动点P满足1?=11?(1,0,R).则以下结论正确的为（）A,1,011PBBPA
7、面使直线B直线1AA与面1ABD所成角的正弦值为63C1,0,三棱锥BDAP1体积为定值34D当21时，三棱锥1PABD的外接球表面积为11三、填空题（共三、填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 2020 分请把答案填写在答题卡相应位置上）分请把答案填写在答题卡相应位置上）13261()xx的展开式中3x的系数为_.（用数字作答）14若向量a在向量b上的投影向量为4b，且b 2，则数量积ab=_.15已知双曲线12222byax右焦点为 F（5，0），点 P，Q 在双曲线上，且关于原点O对称 若PFQF，且PQF的面积为 4，则双曲线的离心率e=_湖北省新高考
8、联考协作体*数学试卷（共 4 页）第 3 页16.2022 年 12 月 3 日，南昌市出土了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠如图（1）所示。现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥吊坠模型准备一张圆形纸片，已知圆心为 O，半径为10cm，该纸片上的正六边形ABCDEF的中心为111111,O A B C D E F为圆 O 上的点，如图（2）所示A1AB,B1BC,C1CD,D1DE,E1EF,F1FA 分别是以AB BC CD DE EF FA,为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以AB BC CD DE EF FA,为折痕折起A1AB,B1BC,C1CD,D1DE,E1EF,F1FA，使1111
9、11,A B C D E F重合，得到六棱锥，则当六棱锥体积最大时，底面六边形的边长为_cm四、解答题四、解答题（本大题共本大题共 6 6 小题，共计小题，共计7070 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、说明、证明过程或演算步骤）证明过程或演算步骤）17（本小题 10 分）已知ABC 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；sinsin3sinABC，且边c=2，（1）求ABC 的周长；（2）若角C=60，求ABC 的面积18（本小题 12 分）己知数列 na的前n项和为nS，且11nnnSSa，_请在31520aa；2a，5a，11a
10、成等比数列；20230S，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题（1）求数列 na的通项公式；（2）若1nnba，求数列2nnb的前n项和nT注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19（本小题 12 分）如图 1，直角梯形ABCD中，224CDABBC，ABCD，ABBC，E为CD的中点，现将DAE 沿着AE折叠，使2 2CD，得到如图 2 所示的几何体，其中F为AD的中点，G为BD上一点，AC与BE交于点O，连接OF（1）求证：CD平面EFB；（2）若BEAGC 面，求平面GEC与平面BEC的夹角湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共 4 页）第 4 页20（本小题 12
11、 分）皮影戏是一种民间艺术，是我国民间工艺美术与戏曲巧妙结合而成的独特艺术品种，已有千余年的历史。而皮影制作是一项复杂的制作技艺，要求制作者必须具备扎实的绘画功底和高超的雕刻技巧，以及持之以恒的毅力和韧劲。每次制作分为画图与剪裁，雕刻与着色，刷清与装备三道主要工序，经过以上工序处理之后，一幅幅形态各异，富有神韵的皮影在能工巧匠的手里浑然天成，成为可供人们欣赏和操纵的富有灵气的影人。小李对学习皮影制作产生极大兴趣，师从名师勤学苦练，目前水平突飞猛进，三道主要工序中每道工序制作合格的概率依次为35，23，34，三道工序彼此独立，只有当每道工序制作都合格才为一次成功的皮影制作，该皮影视为合格作品.（
12、1）求小李进行 3 次皮影制作，恰有一次合格作品的概率；（2）若小李制作 15 次，其中合格作品数为X，求X的数学期望与方差；（3）随着制作技术的不断提高，小李制作的皮影作品被某皮影戏剧团看中，聘其为单位制作演出作品，决定试用一段时间，每天制作皮影作品，其中前 7 天制作合格作品数y与时间t如下表：（第t天用数字t表示）时间 t1234567合格作品数 y3434768其中合格作品数 y与时间 t具有线性相关关系，求y关于t的线性回归方程（精确到 0.01），并估算第 15 天能制作多少个合格作品（四舍五入取整）？（参考公式1122211nniiiiiinniiiix ynxyxxyybxnx
13、xx，aybx，参考数据：71163iiit y）.21（本小题 12 分）已知抛物线29yx上一动点 G，过点 G 作 x 轴的垂线，垂足为 D，M 是GD上一点，且满足13GMGD.（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）若0,4P x为曲线 C 上一定点，过点 P 作两条直线分别与抛物线交于 A，B 两点，若满足2PAPBkk，求证：直线AB恒过定点，并求出定点坐标.22（本小题 12 分）已知函数 ln3()fxxaxxaaR（1）若0a，求 fx的极小值（2）讨论函数 fx的单调性；（3）当2a 时，证明：fx有且只有 2 个零点.湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 1 页
14、2023 年湖北省高三上学期 1 月期末考试高三数学答案一、单选题一、单选题1-4 BCAB5-8 DACD二、多选题二、多选题9.ABD10.CD11.BD12.ACD三、填空题三、填空题1320141615516338【答案解析】1B【解析】由题设，|33,N0,1Axxx，A的子集共有422个.2C【解析】由题设34i(34i)(1 2i)112i1 2i(1 2i)(1 2i)55z，22112|()()555z ，11255zi.对 A，z 的实部是115，故 A 错误；对 B，z的虚部是25，故 B 错误；对 C，复数z在复平面内对应的点在第一象限，故 C 正确；对 D，|z|5，
15、故 D 错误；3A【解析】根据圆锥的轴截面是一个边长约为 2 米的正三角形可知，圆锥底面半径为 1 米，圆锥高为3米，母线长为 2 米，根据圆锥侧面积公式得221S.4B【解析】“方程22117xymm表示焦点在 y 轴上椭圆”的充要条件为3m1故“17m”是“方程22117xymm表示焦点在 y 轴上椭圆”的必要不充分条件.5D【解析】6710610787222220aaaaaaaa，7810aa，由已知，得70a，80a 227878102522aaaa，当且仅当785aa时等号成立.此时，10S506A【解析】311sincossincossin62262，211)6(sin2)6(2c
16、os)6(2cos)322cos(27C【解析】由函数为奇函数，有：221loglogaff，且：0.822loglog120e，结合函数为增函数有：0.822loglog2efff，8D【解析】记三座体育馆依次为，每个体育馆至少派一名裁判，则有2113421322C C CA36A种方法，事件A：甲派往，则若体育馆分 2 人，则有33A6种，若体育馆分 1 人：则有212312C C A6种，共有6612种，121363P A，同理 121363P B，若甲与乙同时派往体育馆，则体育馆分两人，有22A种，213618P AB，19P ABP A P B，A 错误；由互斥事件概念易知，B 错误
17、；湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 2 页 1118|163P ABP B AP A，D 正确；事件C：裁判乙派往体育馆，若体育馆分 2 人，则有33A6种，若体育馆分 1 人，则有212312C C A6种，共有6612种，121363P C，若事件A，C同时发生，则有1132CC5种，536PAC，553|1123P ACP C AP A，C 错误；9ABD【解析】对 A：乙同学体温的最大值为36.5 C，最小值为36.3 C，故极差为0.2 C，A 正确；对 B：甲同学体温按照从小到大的顺序排列为：36.2 C，36.2 C，36.4 C，36.4 C，36.5 C，36
18、.5 C，36.6 C，又7 75%5.25，故甲同学体温的第三四分位数为上述排列中的第 6 个数据，即 36.5，B 正确；对 C：乙同学体温按照从小到大的顺序排列为：36.3 C，36.3 C，36.4 C，36.4 C，36.4 C，36.5 C，36.5 C，故乙同学体温的平均数为：136.336.336.436.436.436.536.5736.4 C，故乙同学体温的方2222221436.336.436.336.436.536.436.536.47700S；又甲同学体温的平均数为：136.236.236.436.436.536.536.6736.4 C，故甲同学体温的方差22222
19、2111436.236.436.236.436.536.436.536.436.636.47700S；又2212SS，故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C 错误；对 D：乙同学体温的众数，中位数，平均数均为36.4 C，故 D正确.10CD【解析】由题图知：2A，函数 fx的最小正周期满足354612T，即T，则22，所以函数 2sin 2f xx将点,212代入解析式中可得22sin6，则2Z62kk，得2Z3kk，因为2，所以3，因此 2sin 23fxx，故故 A 错误；错误；将函数2sin 26yx的图像向左平移4个单位长度可得函数 2sin 22sin 2463f xxx的图像，故故
20、 B 错误错误；由 2sin 23fxx，当1112x 时，2f x，故故 C 正确；正确；当,02x 时，22,333x ，所以3sin 21,32x，即 2,3f x，即 fx最小值为2，故故 D 正确正确11BD【解析】对于 A，直线与圆相离，A 错误错误；对于 B，设点00(,)P xy，22|APPOOA2|2PO20028162xx202(2)6x6，即PA的取值范围为6,，故故 B 正确正确；对于 C，当四边形OAPB为正方形时，|OAOBAPBP，又圆22:2O xy的圆心(0,0)O，半径2r，所以222|242POOAAPr，设点00(,)P xy，则004yx，所湖北省新
21、高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 3 页以2222000|(4)oPOxyxx2002816xx2，化简得200460 xx，该方程的判别式16240，该方程无解，所以不存在点P使得四边形OAPB为正方形，故故 C 不正确不正确；对于 D，当点 P坐标为（2,2)时，以|PO为直径的圆的圆心为（1，1），半径为2，所以以|PO为直径的圆的方程为2)1()122yx（，两圆相减可得直线AB的方程为：1 yx，故故 D正确正确.12ACD【解析】显然，存在21满足，所以 A 项正确项正确；以DA方向为x轴，DC方向为y轴，1DD方向为z轴建立空间直角坐标系，则10,0,0,2,0,0,2,
22、2,0,2,0,2DABA，10,0,2AA，12,0,2,2,2,0DADB ，设平面1ABD的法向量为,nx y z，则100n DAn DB ，即00 xzxy，令1x，得1yz，故1,1,1n ，设直线1AA与面1ABD所成角为，则123sincos,32 3AA n，故故 B 项项错误错误；因为11/DDBB，所以四边形11BDD B为平行四边形，所以11/B DBD，又因为11B D 平面1ABD，BD平面1ABD，所以11/B D平面1ABD，又P为线段11B D上动点，所以P到平面1ABD距离为定值，故三棱锥1PABD体积为定值，当点P与1D重合时，11111111422233
23、23P A BDB A DDA DDVVSAB ，故故 C 正确正确；当点P为11B D中点时，11P A BDDAB PVV，易得111APB D，1BB 平面1111DCBA，又1AP 平面1111DCBA，所以11A PB B，1111BBB DB，111,BB B D 平面11BB D D，所以1AP平面11BB D D，即1AP平面BDP，12AP，2 2,6BDCPDP，所以2221281cos2263BPDPBDBPDBP DP，2 2sin3BPD，BDP的外接圆半径为2 232sin22 223BDrBDP，故所求问题等价于求以32r 为半径的底面圆，高为12hAP的圆柱的外
24、接球表面积，设三棱锥1PABD的外接球半径为R，则22291112424hRr，故三棱锥1PABD的外接球表面积为21144114SR，故故 D 项正确项正确.1320【解析】261()xx的展开式中第1k 项为2(6)12 3166(0,1,2,6)kkkkkkTC xxC xk，令12333kk得：3x的系数为3620C.1416【解析】设a，b的夹角为，因为向量a在向量b上的投影向量为cos4babb，所以cos4ab，又2b，则cos16a ba b 155【解析】因为双曲线的右焦点5,0F,5c,设其左焦点为1F，因为PFQF，,P Q关于原点O对称，湖北省新高考联考协作体*数学答案
25、（共 6 页）第 4 页所以22 5PQOF，由PQF的面积为 4，所以142SPFQF，得8PFQF，又22220PFQFPQ，所以2PFQF.又由双曲线的对称性可得1QFPF，由双曲线的定义可得12PFPF=2a,所以1a,故离心率 e=516338【解析】连接1OE，交EF于点 H，由题意得1OEEF，设2EFxcm，则3OHxcm，1(103)E Hxcm 因为02101033xxx所以5 30,3x，六棱锥的高22221(103)(3)10020 3hE HOHxxxcm正六边形ABCDEF的面积2236(2)6 34Sxxcm2，则六棱锥的体积245116 310020 32 3
26、10020 333VShxxxxcm3令函数455 3()10020 3,0,3f xxx x，则343()400100 3100(43)fxxxxx，当4 30,3x时，()0fx，当4 3 5 3,33x时，()0fx所以()f x在4 30,3上单调递增，在4 3 5 3,33上单调递减，所以2max4 34 364 152 310020 3333Vcm3此时，底面边长 2x=338四解答题四解答题17(1)2 32(2)2 33【解】（1）解：sinsin3sinABC，由正弦定理可得3abc，2 3a b，三角形周长为2 32abc5 分分（2）解：由（1）知2 3ab，由余弦定理得
27、2222221cos222ababcabcCabab，解得83ab，12 3sin23ABCSabC10 分分18(1)1nan(2)12(1)2nnTn【解】（1）11nnnSSa，所以11nnnSSa，即11nnaa，所以数列 na是首项为1a，公差为 1 的等差数列若选若选：由31520aa，得1121420adad，即1220 16ad，解得12a 所以1(1)2(1)11naandnn，即数列 na的通项公式为1nan若选若选：由2a，5a，11a成等比数列，得21114()10adadad，解得12a，所以1(1)2(1)11naandnn 若选若选：因为201120 192020
28、1902Sadad=230，解得12a，所以1(1)2(1)11naandnn 6 分分湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 5 页（2）1nnban，则22nnnbn，则1231 22 23 22nnTn ，234121 22 23 22nnTn ，两式相减得：12341222222 122221nnnnnTnn ，故12(1)2nnTn12 分分19(1)证明见解析证明见解析(2)45【解】（1）在直角梯形ABCD中，224CDABBC，/ABCD，ABBC，由翻折的性质可得，翻折后AEEC，DEAE，又2DECE，2 2CD，222CDDECE，则DECE，故DE，AE，CE
29、两两互相垂直，以点E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，如图示：则0,2,0C，0,0,2D，1,1,0O，1,0,1F，0,2,2CD，0,1,1OF，2CDOF ，即/OFCD，又CD 平面EFB，OF 平面EFB，/CD平面EFB5 分分（2）由,BEAGCBEGODEGO面，点G为BD的中点，7 分分在空间直角坐标系Exyz中，1,1,1G，0,0,0E，0,2,0C.1,1,1EG，0,2,0EC ，设平面GEC的法向量为,nx y z，则0,0,n EGn EC 即0,20,xyzy令=1x，则0y，1z，故平面GEC的一个法向量为1,0,1n ，又平面BEC的一个法向
30、量为0,0,1m，12cos,212m nm nm n 平面GEC与平面BEC的夹角为 4512 分分20(1)4411000(2)92E X，6320D X(3)0 821 71y.t.，14【解】（1）小李制作一次皮影合格的概率1323353410P，小李进行 3 次制作，恰有一次合格作品的概率21233744110101000PC.4 分分（2）由题知：10315，NX，则3915102E X，376315101020D X.7 分分（3）11 23456747t ，1343476857y.71163iiit y，774 5140ty ，21140niit，27112t，71722116
31、3 140230.82140 112287iiiiit yntybtt，23541 7128 aybt.，所以回归直线方程为0 821 71y.t.当15x 时，0.82 15 1.7114.0114y，所以第 15 天能制作14个合格作品.12 分分21(1)2:4C yx；(2)证明见解析，证明见解析，0,2.【解】（1）设,M x yG x y，则,0D x，由13GMGD，得32xxyy，代入29yx得24yx，所以湖北省新高考联考协作体*数学答案（共 6 页）第 6 页动点M的轨迹2:4C yx.5 分分（2）易得4,4,PPA PB的斜率存在，设:AB xmyt，1122,A x
32、yB xy，由24,yxxmyt联立可得：2440ymyt，2121216160,4,4mtyym yyt，121212121243244442,2444444PAPByyyykkxxyyyy即将代入得：28848,2tmmtm，所以22xmymm y，所以直线恒过定点0,2.12 分分22(1)4(2)答案见解析答案见解析(3)证明见解析证明见解析【解】（1）当0a 时，ln3f xxxx，fx的定义域为0,，ln1 1lnfxxx ，所以 fx在区间 0,1,0,fxf x递减；在区间 1,0,fxf x递增.所以当1x 时，fx取得极小值()14f=-.3 分分（2）ln3fxxaxxa
33、的定义域为0,，ln1lnxaafxxxxx.令 221ln0,aaxah xxxhxxxxx，当0a 时，0h x恒成立，所以 h x即 fx在0,上递增.当a0时，h x在区间 0,0,ah xh x即 fx递减；在区间 ,0,ah xh x即 fx递增.7 分分（3）当2a 时，2 ln1f xxxx，2lnfxxx，由（2）知，fx在0,上递增，22ln2 10,3ln303ff，所以存在02,3x 使得00fx，即002ln xx.fx在区间 00,0,xfxf x递减；在区间 0,0,xfxf x递增.所以当0 xx时，fx取得极小值也即是最小值为000000000242 ln12
34、11f xxxxxxxxx ，由于00004424xxxx，所以00fx.11111122ln12110eeeeeeef ，2222222ee2lnee12e4e1e50f ，根据零点存在性定理可知 f x在区间00,x和0,x，fx各有1个零点，所以 fx有2个零点.12 分分（1）17.（10 分）13.15.14.16.填空题（每小题填空题（每小题 5 5 分，分，共共 20 分）20 分）解答题（共 70 分，解答题（共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题
35、区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效18.（12 分）19.（12 分）数学 2023年湖北省高三上学期1月期末考试答题卡湖北省新高考联考协作体*数学答题卡（共 2 页）第 1 页?9选择题选择题（共 60 分，18 为单选题，每题（共 60 分，18 为单选题，每题 5 5 分；912 为多选题，分；912 为多选题，每题每题 5 5 分，分，漏选的漏选的 2 2 分，错选的分，错选的 0 0 分）分）?17.（续）20.（12 分）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效22.（12 分）20.（12 分）21.（12 湖北省新高考联考协作体*数学答题卡（共 2 页）第 2 页分）
