1、1/22课前练习课前练习若若0)(xf，且且Axfx )(lim，问问：能能否否保保证证有有0 A的的结结论论？试试举举例例说说明明.2、对数列、对数列xn，若，若x2k-1a (k)，x2ka (k),证明：证明：xna (n).1、答：不能保证答：不能保证.例例xxf1)(,0 x有有01)(xxf)(limxfx.01lim Axx2/22课前练习课前练习2、对数列、对数列xn，若，若x2k-1a (k)，x2ka (k),证明：证明：xna (n).证：证：x2k-1a，x2ka (k),0,021k,k,.|ax|kk-k121恒恒有有时时,当当.|ax|kkk22恒恒有有时时,当当
2、32max21KNk,kK取取,记记122121kKNnk则则若若n=2k-1当当nN时，时，.|ax|ax|-kn1221212kK-Nnk则则若若n=2k.|ax|ax|kn2.|ax|naxnnlim故故3/22函数的极限函数的极限2.2的极限的极限时时一一)(.xfx的极限的极限时时)(.1xfx.)(,0,0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx)(lim的极限的极限时时)(.2xfx.)(,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim上节课内容回顾上节课内容回顾4/22 AxfxfAxfxxxlimlim)(lim.4存存在在的的充充要要条条件件为为的的极极限限时时)(.3x
3、fx定定义义X .)(,0,0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当 Axfx)(lim5/22的的极极限限时时二二)(.0 xfxx “d d”定义定义.|)(|0,0,0)(lim00 d dd d AxfxxAxfxx时时有有当当注：注：;)()0是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxfaf(x)Ax x0存存在在的的充充要要条条件件Axfxx)(lim0分段函数在分界点的极限必须用此充要条件来求分段函数在分界点的极限必须用此充要条件来求.)(lim)(lim)(lim)1(000AxfxfAxfxxxxxx b)二、无穷大量二、无穷大量三、无穷小量与无穷大量三、无穷小
4、量与无穷大量 的关系的关系一、无穷小量的概念与性质一、无穷小量的概念与性质四、小结四、小结 思考题思考题 Infinitely Small(Large)Quantity7/22一、无穷小量的概念与性质一、无穷小量的概念与性质1.11.1、定义定义8/22 若在自变量若在自变量 x 的的某个变化过程中某个变化过程中,f(x)以以0为极限为极限,即即 lim f(x)=0,则称则称 f(x)为为为为无无穷穷小小时时则则称称若若即即)(,0)(lim,xfxxfx 为为无无穷穷小小时时则则称称若若)(,0)(lim00 xfxxxfxx 为为无无穷穷小小xxxx1,01lim 为为无无穷穷小小xxx
5、exe,0lim 为为无无穷穷小小xxxxln,1,0lnlim1 该变化过程中的该变化过程中的无穷小量，简称为无穷小无穷小量，简称为无穷小.例例19/22两点注意事项两点注意事项:无穷小是相对自变量的某一变化过程而言的无穷小是相对自变量的某一变化过程而言的;例如例如:;,时则不是无穷小时则不是无穷小而当而当时是无穷小时是无穷小当当 xxeyx.,cos时时不不是是无无穷穷小小当当时时是是无无穷穷小小当当 xxxy无穷小是无穷小是变量变量，不能与很小的正数混淆；，不能与很小的正数混淆；0 0是可以是可以作为无穷小的唯一的数作为无穷小的唯一的数.如：如：0.001、100-100都不是无穷小量。
6、都不是无穷小量。(它们的极限不为它们的极限不为0)常数中，只有常数中，只有0可以作为无穷小。可以作为无穷小。.,00lim:常数零为无穷小常数零为无穷小解解 但无穷小量未必是零！但无穷小量未必是零！10/22一、无穷小量的概念一、无穷小量的概念1.11.1、定义定义1.21.2、函数极限与无穷小量、函数极限与无穷小量 的关系的关系11/221.2、无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令,0)(lim0 xxx则有则有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中
7、xxx)(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 12/22意义意义(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);).).(误差为误差为,)(附近的近似值附近的近似值在在)(2)给出了函数(2)给出了函数0 0 xAxfxxf例如：例如：,11lim xxx有有xxx111 其中其中01limxx思考题：思考题：时时，时，时，当当0 xx 是是无无穷穷小小)(x 是是“当当0 xx)(x 是无穷小是无穷小”的的 条件条件.(A)(A)充分但非必要条件充分但非必要条件;(B)(B)必要但非充分条件必要但非充分条件;(C)
8、(C)既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件;(D)(D)充分必要条件充分必要条件.D13/22一、无穷小量的概念与性质一、无穷小量的概念与性质1.11.1、定义定义1.21.2、无穷小与函数极限、无穷小与函数极限 的关系的关系1.31.3、无穷小量的性质、无穷小量的性质14/22性质性质1 1 有限个有限个无穷小量的代数和无穷小量的代数和仍是仍是无穷小量无穷小量。注意注意:无限个无限个无穷小量的和无穷小量的和不一定不一定是无穷小。是无穷小。例如：例如：1).2(lim222 nnnnnnnn性质性质2 2 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。有界量与无穷小量的积仍是无穷小。0sinlim,1s
9、in01,:sinlim.2 xxxxxxxxx故故又又解解计计算算例例01sinlim,11sin,0:1sinlim.300 xxxxxxxxx故故又又为为无无穷穷小小解解计计算算例例15/22性质性质2 2 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。有界量与无穷小量的积仍是无穷小。推论推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.xxxxsin2,202时,时,当当例如,例如,都是无穷小都是无穷小注：无穷小的商未必是无穷小量。注：无穷小的商未必是无穷小量。2,20 xxx时,时,当当例如,例如,都不是无穷小都不是
10、无穷小220 xxx时,时,但当但当xxx122都是无穷小都是无穷小16/22一、无穷小量的概念一、无穷小量的概念1.11.1、定义定义1.21.2、无穷小与函数极限、无穷小与函数极限 的关系的关系二二、无穷大量无穷大量2.12.1、定义、定义1.31.3、无穷小量的性质、无穷小量的性质17/22定义定义：2.12.1、定义定义 对于对于任意给定任意给定的的正数正数M,在自变量的变化过程中在自变量的变化过程中,因变量因变量y变化到一定程度以后变化到一定程度以后,恒有恒有|y|M,则称则称 y 在此变化过程中为无穷大量。记在此变化过程中为无穷大量。记 ylim 简言之简言之:绝对值绝对值无限增大
11、无限增大的变量称为的变量称为无穷大无穷大.注意：注意：limim下未注明自变量变化趋势下未注明自变量变化趋势,指对各种极限都成立指对各种极限都成立;无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆；不能与很大的数混淆；)(lim0 xfxx切勿认为无穷大切勿认为无穷大的极限存在的极限存在.MyXx,X,Myx：，恒有恒有时时使得当使得当00limyx+18/22,MyMyMy.lim,yyMy记作记作为负无穷大为负无穷大则称则称若若;lim,yyMy记作记作为正无穷大为正无穷大则称则称若若正负无穷大正负无穷大MyXx,X,Myx：，恒有恒有时时使得当使得当00lim-MyXx,X,Myx：，恒有恒
12、有时时使得当使得当00limy+y-19/22如图所示如图所示例如例如,1lim:0 xx.10;1,0;1,0 xxxxxx时时，而而例例4.4.y=lnx何时为无穷大何时为无穷大？解：解：如图所示如图所示xy111 1 0 xyln xy01.ln,0ln,0ln,ln,为负无穷大为负无穷大当当为正无穷大；为正无穷大；当当xxxxxxxx 对数函数在两个变化过程中对数函数在两个变化过程中分别为正无穷大和负无穷大分别为正无穷大和负无穷大.20/222.22.2、无穷大量的性质无穷大量的性质性质性质1 1 无穷大与有界变量的代数和是无穷大无穷大与有界变量的代数和是无穷大.性质性质2 2 无穷大
13、与非零常数的乘积是无穷大无穷大与非零常数的乘积是无穷大.例如：例如：都是无穷大.都是无穷大.,2,2时,时,当当xxxxxxcos,arctan性质性质3 3 无穷大与无穷大的乘积是无穷大无穷大与无穷大的乘积是无穷大.)()(.)(,.51110也也是是一一个个无无穷穷大大量量有有意意义义时时，且且当当是是一一个个无无穷穷大大量量多多项项式式函函数数时时当当例例mnmnnnnnnxPxPaxaxaxaxPx .123,.123,:22也也是是无无穷穷大大量量是是无无穷穷大大量量如如 xxxxxx例例521/22y0 x注注:无穷大无穷大与与有界变量有界变量的乘积的乘积未必是未必是无穷大量无穷大
14、量.?sin,8.xxx例例.sin,:大大是是无无界界函函数数但但不不是是无无穷穷如如图图所所示示解解xxyx MyXx,X,Mylimx：，恒有恒有时时使当使当00取取X=M，当，当x=MX时，有：时，有：xsinx=0My=xsinx不是无穷大量。不是无穷大量。无界量无界量无穷大量无穷大量22/22一、无穷小量的概念一、无穷小量的概念1.11.1、定义定义上次课回顾上次课回顾1.21.2、无穷小与函数极限、无穷小与函数极限 的关系的关系二二、无穷大量无穷大量2.12.1、定义、定义2.22.2、无穷大量的性质、无穷大量的性质1.31.3、无穷小量的性质、无穷小量的性质23/22三、无穷小
15、与无穷大三、无穷小与无穷大 的关系的关系3.13.1、倒数关系定理、倒数关系定理一、无穷小量的概念一、无穷小量的概念1.11.1、定义定义上次课回顾上次课回顾1.21.2、无穷小与函数极限、无穷小与函数极限 的关系的关系二二、无穷大量无穷大量2.12.1、定义、定义2.22.2、无穷大量的性质、无穷大量的性质1.31.3、无穷小量的性质、无穷小量的性质24/22定理定理 在自变量的同一过程中在自变量的同一过程中,若因变量若因变量y是无穷大量是无穷大量,则其倒数则其倒数1/y为无穷小量；为无穷小量；若若恒不为零的恒不为零的y是无穷小量是无穷小量,则其倒数则其倒数1/y为无穷大量。为无穷大量。意义
16、：意义：关于无穷大的讨论，都可归结为无穷小的讨论关于无穷大的讨论，都可归结为无穷小的讨论.3.13.1、倒数关系定理、倒数关系定理.0ln/1lim,lnlim00 xxxx如：如：.1lim),0(0lim yyy则则若若即即:定理：定理：在自变量的某个变化过程中在自变量的某个变化过程中(1)若若 f(x)为无穷大量，则为无穷大量，则)(1xf为无穷小量为无穷小量.(2)若若 f(x)为无穷小量，且为无穷小量，且f(x)0，则，则)(1xf为无穷大量为无穷大量.;01lim,lim yy则则若若25/22例例7.指出下列函数变化趋势指出下列函数变化趋势?tan,2/?1,?)sin(,?)1
17、ln(,1?sin,02 xxxxxxxxxxxx?)/1cos(,0?)/1sin(,0?cos,?sin,?,0?,0/1 xxxxxxxxexexxx0-1不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在)()(lim0 xfxx若若则称直线则称直线x=x0为为函数函数f(x)图形的图形的一条铅直渐近线一条铅直渐近线.26/22三、无穷小与无穷大三、无穷小与无穷大 的关系的关系3.13.1、倒数关系定理、倒数关系定理一、无穷小量的概念一、无穷小量的概念1.11.1、定义定义上次课回顾上次课回顾1.21.2、无穷小与函数极限、无穷小与函数极限 的关系的关系二二、无穷大量无穷大量
18、2.12.1、定义、定义2.22.2、无穷大量的性质、无穷大量的性质3.23.2、为什么要学习、为什么要学习?1.31.3、无穷小量的性质、无穷小量的性质27/223.23.2、为什么要学习、为什么要学习?对一个函数而言，在自变量的某个变化过程中，对一个函数而言，在自变量的某个变化过程中，其或者有极限，或者无极限，二者必居其一，且仅居其或者有极限，或者无极限，二者必居其一，且仅居其一其一.无穷小恰为极限存在无穷小恰为极限存在时的特殊情况，时的特殊情况，无穷大无穷大是极限不存在是极限不存在时的特殊情况时的特殊情况.只要抓住这两种只要抓住这两种特殊情特殊情形形,就可以有助于解决一般性的问题就可以有
19、助于解决一般性的问题.21,21,021,:既既非非无无穷穷大大也也非非无无穷穷小小时时故故解解xxxxxx?)(21,.6量量小小是是否否为为无无穷穷大大例例xx 28/22极限不存在时的几种情形极限不存在时的几种情形1.单侧极限都存在但是不相等单侧极限都存在但是不相等.xxxxxarctanlim;lim:0 如如 无无穷穷型型单单调调型型振振荡荡型型存存在在单单侧侧极极限限至至少少有有一一个个不不.2)/1cos(lim),/1sin(lim,coslim,sinlim00 xxxxxxxx :振荡型振荡型复复合合而而成成是是由由xuuyxy1,sin1sin 有有界界但但是是振振荡荡无
20、无极极限限uuxsin0 29/22等等xxxnxxxexxPxx lim,lnlim),(lim,lnlim,tanlim02)(lim,lim10两两极极分分化化xxxxaa:无穷型无穷型:单调型单调型xyln xy01xay xay)1()1(a30/22课堂练习课堂练习)0?(lim.7)0?(lim.6?)11(lim.5.4?21lim.3?)1(lim.2?arctanlim.10200 xxxexxxxxxxxxx积积是是否否为为无无穷穷大大？无无穷穷大大与与有有界界变变量量的的乘乘作业：练习作业：练习2-3P39(50),1(双双)2(双双)课外练习：课外练习：P39(50)
21、,1(单单)2(单单)李天胜教材李天胜教材31/22下一节内容下一节内容1 1、极限四则运算法则、极限四则运算法则极限的四则运算法则；极限的四则运算法则；三个推论三个推论.2 2、极限的计算方法、极限的计算方法直接利用极限运算法则；直接利用极限运算法则；无穷小与有界变量乘积仍为无穷小；无穷小与有界变量乘积仍为无穷小；无穷小与无穷大的关系；无穷小与无穷大的关系；分解因式约去零因子；分解因式约去零因子；有理化约去零因子有理化约去零因子.32/22.lncoslim.4;21lim.3;cos1lim.2;1arctanlim.120 xxxxxxxxxxxx作业：作业：利用无穷小的性质及无穷大与无
22、穷小的利用无穷小的性质及无穷大与无穷小的关系求下列极限：关系求下列极限：33/22小结1、主要内容、主要内容:无穷小无穷小(大大)的概念、性质、关系的概念、性质、关系2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；无穷小；（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.34/22四、无穷小与无穷大四、无穷小与无穷大 的关系的关
23、系4.14.1、倒数关系定理、倒数关系定理一、无穷小量的概念一、无穷小量的概念1.11.1、定义定义上次课回顾上次课回顾1.21.2、无穷小与函数极限、无穷小与函数极限 的关系的关系二二、无穷小量的性质无穷小量的性质三三、无穷大量无穷大量3.13.1、定义、定义3.23.2、无穷大量的性质、无穷大量的性质4.24.2、为什么要学习、为什么要学习?五、小结五、小结练习：练习：P50 P50 1.21.2单号单号34.34.思考题思考题作业：作业：P50P50 1.2 1.2双号双号请预习：下一节内容请预习：下一节内容35/22不能保证不能保证.例例xxf1)(,0 x有有01)(xxf)(lim
24、xfx.01lim Axx36/22上次课内容回顾上次课内容回顾无穷小无穷小：极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小量无穷小量(简称为无穷小简称为无穷小).为为无无穷穷小小时时则则称称若若即即)(,0)(lim,xfxxfx 为为无无穷穷小小时时则则称称若若)(,0)(lim00 xfxxxfxx 例如例如:,0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当 xx,0)1(lim nnn时的无穷小.是当1)(nnn为为无无穷穷小小xxxxln,1,0lnlim1 为为无无穷穷小小xxxxsin,0sinlim 为为无无穷穷小小xxxx1,01lim 37/22 定理定理)()(
25、)(lim0 xAxfAxfxx .)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx 性质性质1 1 有限个有限个无穷小量的代数和仍无穷小量的代数和仍是无穷小量是无穷小量。注意注意:无限个无限个无穷小量的和无穷小量的和不一定是无穷小不一定是无穷小。性质性质2 2 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。有界量与无穷小量的积仍是无穷小。性质性质2 2的推论的推论 常量与无穷小量的积是无穷小量；常量与无穷小量的积是无穷小量；有限个无穷小量的积是无穷小量。有限个无穷小量的积是无穷小量。无穷大无穷大:绝对值绝对值无限增大无限增大的变量称为的变量称为无穷大无穷大.)(limxf即若即若则称则称f(x)在该变化过
26、程中为无穷大在该变化过程中为无穷大.无穷小与极限的关系无穷小与极限的关系38/22定义定义：极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小量无穷小量(简称为无穷小简称为无穷小).1.11.1、定义定义为为无无穷穷小小时时则则称称若若即即)(,0)(lim,xfxxfx 为为无无穷穷小小时时则则称称若若)(,0)(lim00 xfxxxfxx 例如例如:,0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当 xx,0)1(lim nnn时的无穷小.是当1)(nnn为为无无穷穷小小xxxxln,1,0lnlim1 为为无无穷穷小小xxxxsin,0sinlim 为为无无穷穷小小xxxx1,01lim
