1、资料同化资料同化:在积分描写动力系统演变过程的数学模在积分描写动力系统演变过程的数学模式（预报模式）的同时，不断吸收观测资料，给出式（预报模式）的同时，不断吸收观测资料，给出系统状况的一个估计。系统状况的一个估计。目的：给出大气，海洋，陆面目的：给出大气，海洋，陆面状态的最好估计，状态的最好估计，为预报和分析研究提供必要的数据。为预报和分析研究提供必要的数据。为什么要用预报模式？为什么要用预报模式？（1）观测不足）观测不足（2）观测有误差）观测有误差 （后果：变量间的不协调造成预报的振荡）（后果：变量间的不协调造成预报的振荡）预报模式给我们提供什么？预报模式给我们提供什么？（1）模式作出的预报
2、为同化提供初猜场（背景场）模式作出的预报为同化提供初猜场（背景场）（2）模式在不同点的变量之间以及各个变量之间建）模式在不同点的变量之间以及各个变量之间建立了联系立了联系综合观测和背景场综合观测和背景场 给出的最好估计是什么？给出的最好估计是什么？背景场背景场 xB,观测场观测场yo,分析场分析场xa.最大似然估计：最大似然估计：)()()(1BoBBoTTBaHHQHBHBHxyKxxyxx （卡尔曼滤波）（条件？）B:背景场误差协方差矩阵；背景场误差协方差矩阵；Q:观测场误差协方观测场误差协方差矩阵；差矩阵；H:观测算子观测算子（Hx=y)误差协方差矩阵误差协方差矩阵:B=,bi,j=分析
3、场的分析场的误差协方差矩阵误差协方差矩阵:(1)BKHIPT)(aa解（解（1）等价于极小化下面的目标函数）等价于极小化下面的目标函数(cost function 代价函数代价函数)()(21)()(21011aTaoaTaHQHJxyxyxxBxxBB变分方法：变分方法：极小化（极小化（2）4维变分方法：维变分方法：极小化（极小化（3）(2)()(21)()(21)(100100kokkTkokKkTHHJxyQxyxxBxxxBB0 xxkkM（3）（4）预报模式：预报模式：示意图：示意图：如何求极小？下降算法如何求极小？下降算法.（需要梯度）（需要梯度）最速下降法，共轭梯度法，拟牛顿法最
4、速下降法，共轭梯度法，拟牛顿法得到搜寻方向后成为一维寻优。得到搜寻方向后成为一维寻优。多项式逼近：多项式逼近：2，变分方法和伴随模式，变分方法和伴随模式变分方法变分方法是求泛函极值的有力工具。是求泛函极值的有力工具。泛函的一个例子：泛函的一个例子：J 是是u的的泛函，依赖于泛函，依赖于u 在在(a,b)区间的所有取值区间的所有取值.（1阶）变分：阶）变分：对对 的线性部分的线性部分 /)()(222221dxxuwxuxuwuJobsba uJuuJJu（2.1）0 xuutu先看连续情况。反演初值的一个例子：先看连续情况。反演初值的一个例子：目标泛函目标泛函baobsTdxdtutxuwJ2
5、0),(21定解条件：定解条件：找到最优的找到最优的u0 让让(2.2)极小极小)(),(),(),(),()0,(0tgtbutftauxuxu（2.2）（2.3）(2.3)的切线性方程的切线性方程定义伴随方程：定义伴随方程：将（将（2.4）乘）乘 和（和（2.5）乘）乘 相减相减 在整个区间在整个区间积分积分 0 xuuxuutu（2.4）),()()(*obsutxuwxuuxuutu（2.5）*u*uudxdtutxuwdxdtxuuuudtdxtuuobs),()(*（2.6）Judxdtutxuwdxxuxuobsba),()0,()0,(*考虑边界考虑边界 以及令以及令 得到得到
6、 0u0),(*TxubaobsTdxdtutxuwJ20),(21(2.7)由（由（2.7）看到：）看到：(2.8)0,(*0 xuJu伴随算子的定义：伴随算子的定义：（f,Lg)=(g,L*f)，（f，g）内积内积(1)函数空间内积函数空间内积(2)(2)向量空间内积：向量空间内积：(3)显然矩阵算子显然矩阵算子A的伴随算子是的伴随算子是AT,dxxgxfxgxf)()()(),(yxyx,T)(xyAyxTTTA计算过程：计算过程：（1）给出）给出u0初猜值积分模式（初猜值积分模式（2.3）得到）得到u(x,t).计算计算目标函数目标函数（2）从）从u*(x,T)=0 出发积分伴随方程得
7、到出发积分伴随方程得到u*(x,0)（3）根据目标函数值和梯度找到新的估计）根据目标函数值和梯度找到新的估计u0（4）重复（）重复（1）（）（3）迭代。）迭代。0 xuutu),()()(*obsutxuwxuuxuutu3 4DVAR实际计算过程实际计算过程 回到离散情况回到离散情况：(成为求多元函数极小值成为求多元函数极小值)。看一个时间看一个时间roBBBJJyxQyxxxBxxx )()(21)()(21)(100100orrrTorrRrTHHJrTrrrrrTororHHJJxyxx0 x)-(O)(100002122111.xPxPPPxPPxPxrrrrrrrrr)-)(1rr
8、rrTrTrorHHJyxOP切线性模式：切线性模式：010)-)(O)(xyxx0 xrTrrrrrTorPHHJ)(1BBJxxB0 x0 是什么？是什么？以以 为初值反向积分伴随模式到为初值反向积分伴随模式到t=0.最后最后实际过程由实际过程由R开始积分到下一个观测时间开始积分到下一个观测时间R-1 得到得到J 相对于相对于xR-1的梯度的梯度 ，从，从 再积分伴随方程到再积分伴随方程到R-2，)-)(1rrrrTrTrorHHJyxOPrT1rT1T0rTr0r002r1rrx.PPPxPxPx.PPPx)-)(1rrrrTrrHHyxOxrxrTrRroJxP011,RoRRJxoR
9、RJ1,伴随程序的书写技巧和检验。伴随程序的书写技巧和检验。（大气模式，（大气模式，资料同化和可预报性，气象出版社，资料同化和可预报性，气象出版社，2005）伴随模式的解析形式只能作为理论推导用，实际伴随模式的解析形式只能作为理论推导用，实际问题是离散化的，预报程序中还有些是不能写成问题是离散化的，预报程序中还有些是不能写成解析公式的。要保证相应的伴随模式严格成立，解析公式的。要保证相应的伴随模式严格成立，通常的作法是先根据原模式计算程序写出切线性通常的作法是先根据原模式计算程序写出切线性模式程序，再直接根据切线性模式程序一一对应模式程序，再直接根据切线性模式程序一一对应地写出伴随程序。一个天
10、气预报模式的程序有上地写出伴随程序。一个天气预报模式的程序有上万条语句，首先写出他的切线性模式程序，然后万条语句，首先写出他的切线性模式程序，然后根据切线性模式程序写出伴随程序，工作量是巨根据切线性模式程序写出伴随程序，工作量是巨大的。大的。按照一定的规则来写。按照一定的规则来写。切线性模式的检验：切线性模式的检验：)(1)()()(OPQQrrrhzhzrQrP分别是非线性和切线性模式在分别是非线性和切线性模式在r时刻时刻的预报。的预报。伴随模式的检验：伴随模式的检验：以以z为输入积分切线性模式为输入积分切线性模式y=Prz,以以y为输入反向积为输入反向积分伴随模式分伴随模式 w=PrTy.
11、应该有应该有yTy=zTw,因为因为zTPrTy=yTPrz梯度检验：梯度检验：)(1)()()()(000OJJJTxhxhx)()()()(000hxhxhxOJJJT)(/)(00 xxhJJ是单位向量是单位向量5关于关于4DVAR的评论的评论6好处：利用完整的模式方程约束，同化场动力好处：利用完整的模式方程约束，同化场动力上上 7 协调，可以同时同化多时刻资料，容易协调，可以同时同化多时刻资料，容易加加 8 入其它约束。已经成功运用。入其它约束。已经成功运用。9问题：不考虑模式误差；问题：不考虑模式误差；10 B 距阵不随时间变化（为了减少求逆困距阵不随时间变化（为了减少求逆困难难 1
12、1 要简化要简化B）；12 伴随模式程序编写维护工作量大。6对改进对改进4DVAR所作的努力所作的努力7（1）增量方法，减少计算量（用低分辨率模式）增量方法，减少计算量（用低分辨率模式）rBrrrrTorrRrTHHHJyxddxQdxxBxx)()(2121)(100100（2）反向4DVar（王斌 赵颖，气象学报 2005.5）提出了映射观测的新概念和反向四维变分资料同化的新思路,并以此为基础建立了三维变分映射资料同化(缩写为3DVM).由3DVM得到的初值不在同化窗口的始端,而在窗口的末端.3DVM所花计算时间只需4DVar的1/7.（3）4DVAR和和EnKF结合结合（4）显式四维变分资料同化方法显式四维变分资料同化方法（邱崇践 张蕾邵爱梅，中国科学D，2007.5）将SVD技术用于四维空间的预报集合,这样得到的奇异向量就不但可以表征模式变量的空间结构，也可以包含其时间演变特征.它在一定的近似程度内保留了传统的4DVAR的基本优点，但是实现起来会非常简单.分析增量按照奇异向量展开：（V是4维空间奇异向量构成距阵）代入目标函数可以直接求梯度 Vrvxxx 1)(t,kkrkbrBTrrBTyHyHMJ)()()1(21)(12VxRVx再再 见见
