1、在初等数学中在初等数学中,我们用代入消元法或加减消元法求解我们用代入消元法或加减消元法求解二元和三元线性方程组，可以看出，线性二元和三元线性方程组，可以看出，线性方程组的解完方程组的解完全由未知量的系数与常数项所确定全由未知量的系数与常数项所确定为了更清楚地表达线性方程组的解与未知量的系为了更清楚地表达线性方程组的解与未知量的系数数和常数项的关系，我们在本章先引入二阶和三和常数项的关系，我们在本章先引入二阶和三阶行列式阶行列式的概念，并在二阶和三阶行列式的基础的概念，并在二阶和三阶行列式的基础上，给出上，给出 n 阶行阶行列式的定义并讨论其性质，进而列式的定义并讨论其性质，进而把把 n 阶行列
2、式应用于解阶行列式应用于解n 元线性方程组元线性方程组 行列式是一种常用的数学工具，在数学及其他学科行列式是一种常用的数学工具，在数学及其他学科中都有着广泛的应用中都有着广泛的应用在讨论在讨论 n 阶行列式之前，先简单回顾一下阶行列式之前，先简单回顾一下二阶和三二阶和三用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组.,22221211212111bxaxabxaxa（）（）阶行列式阶行列式.)(,)(211211221122211212221121122211abbaxaaaabaabxaaaa用加减消元法，可得用加减消元法，可得当当 a11a22 a12a21 0 时时，求得方程组求得方程
3、组（）（）的解为的解为.,211222112112112211222112122211aaaaabbaxaaaabaabx（）（）为了记忆该公式，引入记号为了记忆该公式，引入记号2112221122211211aaaaaaaa并称之为并称之为或或第二个下标称为第二个下标称为，表示该元素所在的列，常表示该元素所在的列，常称称 aij 为行列式的为行列式的标称为标称为，表示该元素所在的行，表示该元素所在的行，aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下置，第一个下其中其中 aij 称为行列式的称为行列式的，由二阶行列式的定义，由二阶行列式的定义，,222
4、121212221ababbaab.221111211211babaabba若记若记则当则当 D 0 时，方程组时，方程组,22211211aaaaD,2221211ababD,2211112babaD.22DDx,11DDx 可写成二阶行列式，即可写成二阶行列式，即有唯一解有唯一解式中式中x1 1，x2 2的分的分子也子也用消元法解关于用消元法解关于 x,y,z 三元线性方三元线性方程组程组.,lkzjyixhgzfyexdczbyax)4(,322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
5、aaaaaa为了记忆三元线性方程组的求解公式为了记忆三元线性方程组的求解公式,可引入可引入三阶行三阶行列式列式三阶行列式的定义如下三阶行列式的定义如下:)3(333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa三阶行列式的展开式也可用如下对角线法则得到：三阶行列式的展开式也可用如下对角线法则得到：计算三阶行列式计算三阶行列式 .111312121D 求解方程求解方程 .094321112xx可以证明可以证明,当三元线性方程组的系数行列式不当三元线性方程组的系数行列式不等于零等于零时方程组有唯一解时方程组有唯一解,且有类似于二元线性方且有类
6、似于二元线性方程组的求解公程组的求解公式式,即即 xj=Dj/D（j=1,2,3）.现在的问题是现在的问题是,对于对于 n 元线性方程组元线性方程组,是否也是否也有类似有类似的求解公式的求解公式.但要讨论但要讨论 n 元线性方程组元线性方程组,首首先要把二阶先要把二阶和三阶行列式加以推广和三阶行列式加以推广,然后引入然后引入 n 阶阶行列式的概念行列式的概念.用用1，2，3三个数字可以组成多少个没有重复三个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？数字的三位数？在数学中，把考察的对象，例如引例中的数字在数学中，把考察的对象，例如引例中的数字 1，2，3叫做叫做.上述问题就是：把三个不同的元素排成
7、上述问题就是：把三个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法一列，共有几种不同的排法.对于对于 n 个不同的元素，也可以提出类似的问题：个不同的元素，也可以提出类似的问题：先给出全排列的定义先给出全排列的定义.n 个不同元素的所有排列的种数，通常用个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示表示.由由的结果可知的结果可知 P3=3 2 1=6.为此为此为了得出计算为了得出计算 Pn 的公式，可以仿照的公式，可以仿照讨论：讨论：从从 n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有个元素中任取一个放在第一个位置上，有 n 种种取法；取法；从剩下的从剩下的 n 1 个元素中任取一个放在第二个位置个元素中任
8、取一个放在第二个位置上，有上，有 n 1 种取法；种取法；这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第 n 个位置上，只有个位置上，只有 1 种取法种取法.于是于是Pn=n (n 1)3 2 1=n!.进行进行逆序数为奇数的排列叫做逆序数为奇数的排列叫做,逆序数为偶逆序数为偶数的排数的排在一个在一个 n 阶排列中，任何一个数对不是构成阶排列中，任何一个数对不是构成逆序逆序就是构成顺序就是构成顺序如果我们把顺序的个数称为顺如果我们把顺序的个数称为顺序数，则序数，则一个一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n 1)/2.列叫
9、做列叫做下面来讨论计算排列的逆序数的方法下面来讨论计算排列的逆序数的方法.不失一般性，不妨设不失一般性，不妨设 n 个元素为个元素为 1 至至 n 这这 n 个自然个自然数，数，并规定由小到大为标准次序并规定由小到大为标准次序.设设nppp21为这为这 n 个自然数的一个排列，个自然数的一个排列，考虑元素考虑元素 pi(i=1,2,n),如果比如果比 pi 大的且排在大的且排在 pi 前面的元素有前面的元素有ti 个，就说个，就说 pi 这个这个元素的逆序数是元素的逆序数是 ti.全体元素的逆序数之总和全体元素的逆序数之总和,121niinttttt即是这个排列的逆序数即是这个排列的逆序数.求
10、排列求排列32541的逆序数的逆序数理理 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列，这样一个变换称为一个动，就得到另一个排列，这样一个变换称为一个例如，经过例如，经过1,2 对换，排列对换，排列2431 就变成了就变成了1432，排列，排列 2134 就变成了就变成了 1234关于排列的奇偶性，有下面的定关于排列的奇偶性，有下面的定 为了给出为了给出 n 阶行列式的定义，先来研究三阶行阶行列式的定义，先来研究三阶行列式列式.3223113321123122133221133123123322113332312322211312
11、11aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa的结构的结构三阶行列式的定义为三阶行列式的定义为正负号外可写成正负号外可写成 成标准排列成标准排列 123,而第二个下标而第二个下标(列标列标)排成排成 p1p2p3,321321pppaaa.322311332112312213322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa容易看出：容易看出：上式右边的每一项都恰是三个元素的乘上式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，积，这三个元素位于不同的行、不同的列这三个元素位于不同的行、不同的列因此，因此，任一项除任一项
12、除这里第一这里第一个下标个下标(行标行标)排排它是它是1 1，2 2，3 3这三个数的某个这三个数的某个排列排列 各项的正负号与列标的排列对照各项的正负号与列标的排列对照123,231,312(为偶排列为偶排列)132,213,321 (为为奇排列奇排列)故三阶行列式可以写成故三阶行列式可以写成3!=3!=种，故上式右端共种，故上式右端共有项有项这样的排列共有这样的排列共有其中其中 t 为排列为排列 p1 1p2 2p3 3 的逆序数，的逆序数，表示对表示对1，2，3 三个三个,)1(321321333231232221131211ppptaaaaaaaaaaaa的情形，得到的情形，得到 n
13、阶行列式的定义阶行列式的定义类似地，可以把三阶行列式的这一定义推广类似地，可以把三阶行列式的这一定义推广到一般到一般数的所有排列数的所有排列 p1 1p2 2p3 3 求和求和nnppptaaa2121)1(nnppptaaa2121)1(，记作，记作nnppptaaa2121)1(,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD这样定义的二阶、三阶行列式与用对角线法则定义这样定义的二阶、三阶行列式与用对角线法则定义的二阶、三阶行列式显然是一致的的二阶、三阶行列式显然是一致的.证明证明 n 阶行列式阶行列式(其中主、次对角线其中主、次对角线上的元素上的元素,2121nn.1)(212
14、121)(nnnn是是 i，未写出的元素都是，未写出的元素都是 0)证明下三角形行列式证明下三角形行列式.221121222111nnnnnnaaaaaaaaa下面再举一个例子下面再举一个例子为了使同学们进一步加深对为了使同学们进一步加深对 n 阶行列式定义阶行列式定义的理解的理解,设有四阶行列式设有四阶行列式,241321252543124xxxxxxxD问该行列式的展开式是几次多项式，并求最高幂的系问该行列式的展开式是几次多项式，并求最高幂的系数数 由由 n 阶行列式的定义可知，当阶行列式的定义可知，当 n 较大时，较大时，用定义用定义计算行列式运算量很大计算行列式运算量很大需作需作191
15、9 20!20!次乘法，若用每秒次乘法，若用每秒运算亿万次的电脑，也要运算亿万次的电脑，也要算一千年才行！算一千年才行！要解决的一个重要解决的一个重要课题要课题例如，计算一个例如，计算一个20 阶的行列式阶的行列式因此如因此如何有效地计算行列式，这是我们何有效地计算行列式，这是我们简化行列式的计算，简化行列式的计算，设设 n 阶行列式阶行列式,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD为了解决这一问题，需先研究行列式的性质为了解决这一问题，需先研究行列式的性质主要介绍行列式的基本性质，运用这些性质，主要介绍行列式的基本性质，运用这些性质，不仅可以不仅可以本节本节而且对行列式的理论
16、研究也很重要而且对行列式的理论研究也很重要.把把 D 中的行与列互换，所得的中的行与列互换，所得的 n 阶行列式记为阶行列式记为 DT：,212221212111TnnnnnnaaaaaaaaaD称称 DT 为为 D 的的由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位,对于行成立的性质对于列也同样成立对于行成立的性质对于列也同样成立,所以下面只讨论所以下面只讨论有关行列式行的性质有关行列式行的性质jirr jicc 把这两行互换，有把这两行互换，有 D=-D，故，故 D=0.nnnnnnnaaacbcbcbaaa21221111211nnnnnnaaa
17、bbbaaa212111211.212111211nnnnnnaaacccaaa 例如例如,以数以数 k 乘第乘第 j 列加到第列加到第 i 列上列上(记作记作ci+kcj),有有nnnjninnjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111.1222221111111nnnjnjninnjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc(ij)性质性质2，3，6介绍了行列式关于行和列的三介绍了行列式关于行和列的三种运算，种运算，：jicc：jirkrjickc：irk jirr ick 它们分别记为它们分别记为在本教案中分别称为在本教案中分别称为 、，利用上述三种运算可简
18、化行列式的计算，特利用上述三种运算可简化行列式的计算，特别是利别是利把行列式化为上三角把行列式化为上三角形形行列式行列式,从而得到行列式的值从而得到行列式的值.化为化为0.用运算用运算 ri+krj (或或 ci+kcj)可以把行列可以把行列式中许多元素式中许多元素计算行列式常用的一种方法计算行列式常用的一种方法就是利用运算就是利用运算 ri+krj 请做练习请做练习.计算计算.3111131111311113,335111024315211321DD 计算计算.3610363234232dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD 设设,111111111111nn
19、nnknnkkkkkbbccbbccaaaaD,1111211111nnnnkkkkbbbbDaaaaD证明证明 D=D1D2.计算计算 2n 阶行列式阶行列式,2dcdcbabaDn其中未写出的元素皆为其中未写出的元素皆为 0.和代数余子式的概念和代数余子式的概念.一般来说一般来说,低阶行列式的计算比高阶行列式低阶行列式的计算比高阶行列式的计算的计算要简便要简便,于是于是,自然地考虑用低阶行列式来自然地考虑用低阶行列式来表示高阶行表示高阶行列式的问题列式的问题.本节我们要解决的问题本节我们要解决的问题是：是：列式降为低阶行列式列式降为低阶行列式,从而把高从而把高阶行列式的计算转化为阶行列式的
20、计算转化为低阶行列式的计算低阶行列式的计算.为了解为了解决这个问题，先学习余子式决这个问题，先学习余子式如何把高阶行如何把高阶行 2 这个定理叫做这个定理叫做.任意输入一个三阶或四阶行列式，利用行列式按任意输入一个三阶或四阶行列式，利用行列式按行（列）展开法则计算行（列）展开法则计算.行列式行列式113121122322213211111nnnnnnnaaaaaaaaaaaad称为称为 n 阶阶(Vandermonde)行列式行列式.证明证明.)(1nijjiaad由由还可得下述重要推论还可得下述重要推论.综合综合及其推论，有关于代数余子式的重及其推论，有关于代数余子式的重要性质：要性质：ji
21、jiDDAaijnkkjki当当,0,1，当当jijiDDAaijnkjkik,0,1.,0,1jijiij当当仿照上述推论证明中所用的方法，在行列式仿照上述推论证明中所用的方法，在行列式det(aij)按第按第 i 行展开的展开式中，用行展开的展开式中，用 b1,b2,bn 依次代替依次代替 ai1,ai2,ain，可得，可得.22111,11,11,11,1111inniinnnniinniinAbAbAbaaaabbaaaa类似地，用类似地，用 b1,b2,bn 代替代替 det(aij)中的第中的第 j 列，列，可得可得.22111,1,111,111,111njnjjnnjnnjnn
22、njjAbAbAbaabaaaabaa设设,3142313150111253DD 的的(i,j)元的余子式和代数余子式依次记作元的余子式和代数余子式依次记作 Mij和和 Aij，求求A11+A12+A13+A14 及及 M11+M21+M31+M41.到现在为止，我们已能计算任意阶的行列式到现在为止，我们已能计算任意阶的行列式的计算是我们这一章的重点的计算是我们这一章的重点,也是同学们必也是同学们必须掌握的基本须掌握的基本技能技能.行列式有以下三种计算方法行列式有以下三种计算方法:行列式行列式在这三种方法中在这三种方法中,主要用于理论分析主要用于理论分析,很少用很少用来计算具体的行列式来计算具
23、体的行列式,但对于低阶行列式但对于低阶行列式(如二阶、三阶如二阶、三阶)或有很多零元素的高阶行列式或有很多零元素的高阶行列式,有时也可用此方法来计算有时也可用此方法来计算;适用于行列式适用于行列式的阶不确定的高阶行列式的计算的阶不确定的高阶行列式的计算;主要用主要用于阶为已知的高阶行列式的计算于阶为已知的高阶行列式的计算.计算一个计算一个行列式时行列式时,应根据实际情况灵活选择计算方法应根据实际情况灵活选择计算方法.下面看几个例子下面看几个例子.当然在当然在 下面再举几个下面再举几个 n 阶行列式计算的例子阶行列式计算的例子.设设,111222333222111nnnnnnnnnD证明递推关系
24、式证明递推关系式 Dn=nDn-1-n-1 n-1Dn-2 (n 2).在计算数学中常被引用在计算数学中常被引用.Dn 是常见的是常见的 n 阶三对角行列式阶三对角行列式,所证的递推所证的递推关系式关系式.2112112112112nD计算计算 n 阶行列式阶行列式算算 n 阶行列式阶行列式.xaaaxaaaxDnnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211,)1(212121nnpppnppptaaa其中其中 p1p2 pn 为自然数为自然数 1,2,n 的一个排列的一个排列;t 为为这个排列的逆序数这个排列的逆序数;表示对表示对 1,2,n 的所有的所有排列求和排列求和.n 阶
25、行列式阶行列式 D 也可定义为也可定义为nppp21,)1(212121nnpppnppptaaaD其中其中 t 为行标排列为行标排列 p1p2 pn 的逆序数的逆序数.(行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等,即即 D=DT.(互换行列式的两行互换行列式的两行(列列),行列式变号行列式变号.(如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)完全相同完全相同,则此则此行列式等于零行列式等于零.(行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有的元素都乘中所有的元素都乘同一个数同一个数 k ,等于用数等于用数 k 乘此行列式乘此行列式.行列式中某一行行列式中某一行(列列)的所有元素的公因子可的所
26、有元素的公因子可以提到行列式符号的外面以提到行列式符号的外面.行列式中如果有两行行列式中如果有两行(列列)元素成比例元素成比例,则此则此行列式为零行列式为零.若行列式的某一若行列式的某一行行(列列)的元素都是两数之和的元素都是两数之和,则该行列式可拆成两个行列式之和则该行列式可拆成两个行列式之和.把行列式的某一列把行列式的某一列(行行)的各元素乘同一个数的各元素乘同一个数,然后加到另一列然后加到另一列(行行)对应的元素上去对应的元素上去,行列式的值不变行列式的值不变.余子式余子式,代数余子式代数余子式.关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质:ji,jiD,DAaijnkkjki当当0
27、,1,0,1ji,jiD,DAaijnkjkik当当或或其中其中j.i,ji,ij当当0,1 掌握掌握 n 阶行列式的定义、性质，掌握计算阶行列式的定义、性质，掌握计算 n 阶阶行列式的基本方法和技巧行列式的基本方法和技巧 行列式的计算行列式的计算 行列式的定义行列式的定义 常用的方法有常用的方法有:分别算出排在分别算出排在1,2,n-1,n 前面比它大前面比它大的元素个数之和的元素个数之和,即分别算出即分别算出 1,2,n-1,n 这这 n 个元素的逆序数个元素的逆序数,这这 n 个元素的逆序数之和即为个元素的逆序数之和即为所求排列的逆序数所求排列的逆序数.如果在不要求计算排列的逆序数而只要
28、如果在不要求计算排列的逆序数而只要求讨论排列的奇偶性时，则可以利用对换，将所求讨论排列的奇偶性时，则可以利用对换，将所给排列给排列 p1p2 pn 变成自然排列变成自然排列 12 n,根据对换次根据对换次数的奇数的奇偶性来确定所给排列的奇偶性偶性来确定所给排列的奇偶性.如排列如排列 523146879,对换对换1 与与 5,得得 123546879,再对换再对换 4 与与 5,得得 123456879,再对换再对换 7 与与 8,得得 123456789.共对换共对换 三三次次,故所给排列为奇排列故所给排列为奇排列.常用公式有常用公式有:范德蒙德行列式范德蒙德行列式,即即11211222212
29、1111nnnnnnnxxxxxxxxxD.)(1jinjixx三角形行列式三角形行列式,即即nnnnnnaaaaaaaaa221122211211()，nnnnnnaaaaaaaaa221121222111()，,)1(11212)1(1122111,111n,nnnnn,nnnaaaaaaaaa.)1(11212)1(112121n,nnnnnnn,nnn,nnaaaaaaaaa 计算行列式的方法通常有计算行列式的方法通常有:依定义计算行列式依定义计算行列式.用对角线法计算行列式用对角线法计算行列式,它只适用于二阶和它只适用于二阶和三阶行列式三阶行列式.利用一些简单的、已知的行列式来计算行
30、列利用一些简单的、已知的行列式来计算行列式例如，利用三角形行列式；一行（列）全为零的式例如，利用三角形行列式；一行（列）全为零的行列式；两行（列）成比例的行列式；范德蒙德行列行列式；两行（列）成比例的行列式；范德蒙德行列式等式等 利用行列式的性质对行列式进行变形，变成利用行列式的性质对行列式进行变形，变成已知的或容易计算的行列式已知的或容易计算的行列式 利用按行（列）展开的性质对行列式进行降利用按行（列）展开的性质对行列式进行降阶来计算行列式阶来计算行列式 用数学归纳法计算行列式用数学归纳法计算行列式 综合运用上述各种方法来计算行列式综合运用上述各种方法来计算行列式其中其中 （）、（）、（）、
31、（）、（）最常（）、（）、（）、（）、（）最常用用 对于四阶行列式，如果按对角线法则，那么对于四阶行列式，如果按对角线法则，那么只能写出八项，然而依定义，四阶行列式共有只能写出八项，然而依定义，四阶行列式共有4 4！=24=24项，另外，这样写出的项的符号也不一定正确因此，项，另外，这样写出的项的符号也不一定正确因此，在计算在计算n（n）阶行列式时，不能再用对角线法则）阶行列式时，不能再用对角线法则 计算行列式应根据具体情况具体分析，但总的计算行列式应根据具体情况具体分析，但总的原则是利用行列式的性质将所给行列式化成简单的、已原则是利用行列式的性质将所给行列式化成简单的、已知的或容易计算的行列
32、式下面列举几个常用的情况知的或容易计算的行列式下面列举几个常用的情况 ：将第将第 i 列的列的 (-bi/ai)倍倍 (i=2,3,n)统统加统统加到第列，得到第列，得nnnnabababcccaD3322321(ai 0,i=2,3,n).,00032321nnnaaaccccD其中其中,acbacbacnnn22211所以所以 Dn=c1a2 an.543143212321nnnnnnnnnnnnnnnDn从第从第 n-1 行直到第行直到第 1 行行,每一行乘每一行乘 -1 加到下加到下一行一行,得得0000100111011111221nnnDn.nnn2)1()1(.此法大多适用于某一
33、此法大多适用于某一行行（列列）有一个相同的字母有一个相同的字母.比如计算比如计算.212121maaaamaaaamaDnnnn添加一行一列添加一行一列,得得,000121212121maaaamaaaamaaaaDnnnnn将第将第1行的行的 -1 倍加到其他各行倍加到其他各行,得爪形行列式得爪形行列式.111121mmmaaaDnn 由爪形行列式的结果知由爪形行列式的结果知,当当 m=0 时时,Dn=0 ;当当 m 0 时时,Dn=mn-2(m+a1+a2+an).113112211132114321xxxnxxnxnnDn从第从第2行开始行开始,每行乘每行乘 -1 加到上一行加到上一行,
34、得得,11110011101110 xxxxDn按第按第1列展开列展开,得得,11000111101111111111)1(11nnnxxxD再从第再从第2行开始行开始,每行乘每行乘 -1 加到上一行加到上一行,得得111111)1(nnnxxxxxxD.)1(21nnx;0000000010020001000nnDn（1）.000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD（2）.11110214121124054D .03511413164423244D .6333333533333343333333333333233333316D .4abcdbadccdabdcbaDcos210001cos200000cos210001cos210001cos2nDsin(n+1)/sin .bybbbbbybbbbbybbbbbyDn
