1、相似三角形与函数结合的问题相似三角形与函数结合的问题梅城初中 胡长春ABCDEABDECl 这是两个极具代表性的相似三角形的这是两个极具代表性的相似三角形的 基本模型：基本模型：“A”型和型和“8”型型这这两个模型两个模型在解题的过程中作用很大在解题的过程中作用很大,你可要认真噢！你可要认真噢！ACBPFMNGEDS3S1S2 10.10.如图如图，DE/BC,FG/AB,MN/AC,DE/BC,FG/AB,MN/AC,且且 DEDE、FGFG、MNMN交于点交于点P P，若记若记S SDPM=S1,S SPEF=S2,S SGNP=S3 S SABC=S、猜想猜想S与与S1、S2、S3之间的
2、关系？之间的关系？并加以验证并加以验证。拓展练习拓展练习归纳与猜想w如图，已知三角形ABC的面积为1，取各边中点为A1 B1C1，得第一个三角形A1B1C1，又取各边中点，得第二个三角形A2B2C2。仿此继续下去，试求第100个三角形A100B100C100的面积。你能写出第n个三角形AnBnCn的面积吗？AnBnCn与与ABC的相似比的相似比是是1/2n，面积比是，面积比是1/4n。若把题目中的三角形改为正若把题目中的三角形改为正方形，那么结论又如何？方形，那么结论又如何？你来答一答：你来答一答：1、已知、已知ABC中，中，DEBC，AE=5，AD=3，AB=7，则，则CD=ABCDE656
3、2 453、已知、已知 ABC中，中，BC=12，高，高AD=8，正方形，正方形PQMN内接于内接于 ABC，一边在，一边在BC上，则正方形的边长为上，则正方形的边长为ABCPQNMD?s正 方 形 PQMN2、已知、已知CD是是Rt ABC边上的高线，边上的高线，AD，BD是方程是方程 的两根，则的两根，则 ABC的面积是的面积是 CABD2640 xx 例例1、有一块等腰三角形有一块等腰三角形ABC铁板的余料，其中铁板的余料，其中AB=AC=20，BC=24，若在，若在ABC上截出一个矩形零件上截出一个矩形零件DEFG，使点，使点E、F在在BC边上，点边上，点D、G分别在边分别在边AB、A
4、C上。设上。设EF=x，S矩形矩形DEFG=y.（1）试求）试求y关于关于x的函数的关系式。的函数的关系式。ABCDEFG你来算一算：你来算一算：202024xABCDEFG2024MN解:(1)过点A作ANBC交BC于点N,交DG于点M.设DE=a等腰ABC,ANBC,AB=AC=20，BC=24，DG=x,AN=16,AM=16-a 162416xa2163xa 222(1 6)1 633xy xaxxx (0 x24)2222(24)(12)9633yxxx最大当x=12时 s=96 （2）x（2）当）当x为何值时，为何值时，矩形矩形DEFG的面积最大？的面积最大？DG BC,ADG A
5、BCABCDEFG 你能行：你能行：（3）连结EG，当EGAB时，矩形DEFG的面积等于多少？20242 5 63D E F Gs矩 形ABCDEFG8XE FB EF C（4）当EGAC时，矩形DEFG的面积等于多少？2,1612GFCFGFEFFCHH（5）当BAC=90，AB=4，AC=3，内接正方形DEFG时，求：BE：EF：FC的值ABCDEFG435,DBECBACGF,BEDECABADEEFGFBACA CFGF22:16:12:9BE EF FC AB AB AC AC动态几何问题动态几何问题动态几何问题概述动态几何问题概述例题分析与讲解例题分析与讲解练习与作业练习与作业动态
6、几何问题概述动态几何问题概述这类问题是近两年以来各省市中考题的一个这类问题是近两年以来各省市中考题的一个亮点亮点，它出现的位置一般是最后的压轴题，分值在它出现的位置一般是最后的压轴题，分值在12分以分以上，综合性很强，往往设多问，问题由易而难，难上，综合性很强，往往设多问，问题由易而难，难度梯进。是典型的数形结合问题。度梯进。是典型的数形结合问题。这类问题往往以几何图形的运动为背景，探索在运这类问题往往以几何图形的运动为背景，探索在运动过程中，图形的变化情况。如果在这个变化过程动过程中，图形的变化情况。如果在这个变化过程中，确定两个变量，还要研究这两个变量在不同情中，确定两个变量，还要研究这两
7、个变量在不同情况下的函数变化关系。况下的函数变化关系。这类问题所用到的数学知识有：不同几何图形的性这类问题所用到的数学知识有：不同几何图形的性质，如三角形的全等相似，四边形中特殊四边形的质，如三角形的全等相似，四边形中特殊四边形的性质等；数学思想有：函数思想，分类讨论思想等。性质等；数学思想有：函数思想，分类讨论思想等。BACK例例 例例 如图如图1，菱形，菱形OABC的边长为的边长为4 cm，AOC=60，动点，动点P从从O出发，以每秒出发，以每秒1cm的速度沿的速度沿OAB路线运动，点路线运动，点P出发出发2秒后，动点秒后，动点Q从从O出发，在出发，在OA上以每秒上以每秒1cm的速度，在的
8、速度，在AB上以每秒上以每秒2cm的速度沿的速度沿OAB路线路线运动，过运动，过P，Q两点分别作对角线两点分别作对角线AC的平行线，设点的平行线，设点P运动的时间为运动的时间为x秒，秒，这两条平行线在菱形上截出的图形（图这两条平行线在菱形上截出的图形（图1中阴影部分）的周长为中阴影部分）的周长为ycm。请你。请你回答下列问题：回答下列问题：当当x=3时，时，y的值是多少？的值是多少？就下列各种情况，求就下列各种情况，求y与与x之间的函数关系式：之间的函数关系式：0 x 2 2x4 4x6 6x8在直角坐标系中，用图象表示中各种情况下在直角坐标系中，用图象表示中各种情况下y与与x的关系的关系o
9、oA AB BC CPQ Qo oA AB BC CPQ Q图图1o oA AB BC CPo oA AB BC CPQ QMN 当当x=3时时o oA AB BC CPQ QMN阴影部分的周长阴影部分的周长y=PM+QN+PQ+MNOP OQ22=+33-2=+2 +2=8答：当答：当x=3时，时，阴影部分的周长阴影部分的周长y=8。情况：当情况：当0 x 2 时时阴影部分的周长阴影部分的周长y=C正正OPM=3OP=3xo oA AB BC CPM答：当答：当0 x2 时，时，阴影部分的周长阴影部分的周长y与与x的函数关的函数关系式为：系式为：y=3x 情况情况：当：当2x4 时时阴影部分
10、的周长阴影部分的周长y=PM+QN+PQ+MNo oA AB BC CPQ QMNOP OQ22=+xx-2=+2 +2=2x+4答：当答：当2x4 时，时，阴影部分的周长阴影部分的周长y与与x的函数关的函数关系式为：系式为：y=2x+4 情况情况：当：当4x6 时时阴影部分的周长阴影部分的周长y=PM+QN+PAQ+MCNBPOQ22=+8-x x-2=+2 +2=10答：当答：当4x6时，时，阴影部分的周长阴影部分的周长y=10o oA AB BC CPQ QMNQ 情况情况：当：当6x8 时时阴影部分的周长阴影部分的周长y=PM+QN+PQ+MNBPBQ2（BQ-BP）=+8-x(16-
11、2x)=+=-5x+40答：当答：当6x8时，时，阴影部分的周长阴影部分的周长y与与x的函数关的函数关系式为：系式为：y=-5x+40o oA AB BC CPQ QMQN(16-2x)动画o oA AB BC CPQ Qo oA AB BC CPQ Qo oA AB BC CPQ Qo oA AB BC CP0 x 2 0 x 2 4x6 6x8 在直角坐标系中，用图象表在直角坐标系中，用图象表示中各种情况下示中各种情况下y与与x的关系的关系0 02 24 46 68 8101012120 02 24 46 68 810101212图象 图象 xyy=3x (0 x2)2x+4 (2x4)1
12、0 (4x6)-5x+40(6x8)本题小结本题小结由于在这个图形运动过程中，由于在这个图形运动过程中，赋予了赋予了P点运动的一些属性（如点运动的一些属性（如速度，时间，路程），所以出现了两个变量：速度，时间，路程），所以出现了两个变量：P点运动时间为点运动时间为自变量自变量，某图形的周长为，某图形的周长为函数函数。这样，把。这样，把图形运动图形运动与与函数关系函数关系对对应起来，在图形位置不同的情况下，分类讨论了不同的函数关系。应起来，在图形位置不同的情况下，分类讨论了不同的函数关系。本题用到的本题用到的数学知识数学知识有：菱形性质，等边三角形性质，行程问题有：菱形性质，等边三角形性质，行程
13、问题的数量关系等。的数量关系等。本题用到的本题用到的数学思想数学思想有：函数思想，分类讨论，数形结合思想。有：函数思想，分类讨论，数形结合思想。本题的本题的关键关键是：找到图形运动的是：找到图形运动的临界点临界点，据此，考虑函数关系。，据此，考虑函数关系。该题是以菱形为背景，该题是以菱形为背景，描述了一系列的图形运动：描述了一系列的图形运动：点点动动线线动动形形动，动，例2、已知抛物线 的顶点坐标为（4，-1），与y轴交于点C（0，3），O为原点。（1）求这条抛物线的解析式；（2）设此抛物线与x轴的交点为A，B（A在B的左边），问在y轴上是否存在点P，使以O、B、P为顶点的三角形与AOC相似？
14、若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。2yaxbxc21414yxA(2,0)B(6,0)xyABCOPPP(0,4)(0,-4)P(0,9)(0-9)今年的中考题中就有一题是今年的中考题中就有一题是在直角坐标系中找点使之构成等在直角坐标系中找点使之构成等腰三角形。腰三角形。已知如图,梯形ABCD中,ABCD,P、M、N分别是AD、AB、CD上的点且PMBD，PNAC，（1）求证：（2）若ACBD，AC=BD=12，设PM=x，PMN的面积为y，求y与x的函数关系式；（3）在（2）中，当x取什么值时，PMN面积最大？并指出此时点P在线段AD上的位置。1P MP NB DA CDPAB
15、CMNO我思，我进步在ABC中，已知AC=，AB=2，A=30，D是AB上的一个动点，（D与A、B不重合），过D、B、C作 O交AC于E。（1）若AD=x，y=，求y与x之间的函数关系式及x的取值范围（2）当y取最小值时，求四边形DBCE的面积3122DEDB,A DD EA E DA B CA CC B62,22DEx BDx 222228 4 3243344 02yDEBDxxxxx 336 2 3333 13DBCExs最小四边形时,yBDCAFE我思，我进步我思，我进步 如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，AB=6AB=6米，米，BC=8BC=8米，动米，动点点P P以以2
16、 2米米/秒的速度从点秒的速度从点A A出发，沿出发，沿ACAC向点向点C C移动，移动，同时动点同时动点Q Q以以1 1米米/秒的速度从点秒的速度从点C C出发，沿出发，沿CBCB向点向点B B移动，设移动，设P P、Q Q两点移动两点移动t t秒（秒（0t5)0t5)后后,四边形四边形ABQPABQP的面积为的面积为S S平方米。平方米。（1 1）求出面积）求出面积S S与时间与时间t t的关系式的关系式B BC CDP PA A6.6.拓展练习拓展练习Q Q（2 2）探究）探究:在在P P、Q Q两点移动的过程中，四边形两点移动的过程中，四边形ABQPABQP与与CPQCPQ的面积能否相
17、等？若能，求出此的面积能否相等？若能，求出此时点时点P P的位置；若不能，请说明理由。的位置；若不能，请说明理由。拓展练习拓展练习B BC CDP PA AQ Q8.如图如图,有一边长为有一边长为5cm的正方形的正方形ABCD和等腰和等腰PQR,PQ=RP,PE=3cm,QR=8cm,点点B,C,Q,R共线共线.当当C与与Q重合时重合时,PQR以以1cm/s 的速度沿的速度沿着直线着直线l按箭头的方向匀速运动按箭头的方向匀速运动,t t秒后正方形秒后正方形ABCD与与PQR重合部分的面积为重合部分的面积为Scm2 ABCDl(1)当当t t=3秒时秒时,求求S的值的值.PREQG(2)t t=
18、5秒呢秒呢?小 结 与三角形内接矩形有关问题时，一般来说要作对与三角形内接矩形有关问题时，一般来说要作对 应边上的高线，应边上的高线，相似三角形对应边上的高之比等于相似三角形对应边上的高之比等于相似比。相似比。对于同一类型的问题，要有比较、有变化。举一反三。对于同一类型的问题，要有比较、有变化。举一反三。相似三角形与函数联系紧密，运用相似三角形中相似三角形与函数联系紧密，运用相似三角形中对应边的比找到函数中变量之间的关系，从而确定函对应边的比找到函数中变量之间的关系，从而确定函数解析式。数解析式。加强各知识点之间的联系。加强各知识点之间的联系。你有些收获！你有些收获！你还有哪些疑问？你还有哪些疑问？下课了!l不经历风雨，怎么见彩虹.,没有人能随随便便成功!7.如图，如图，ABC中，高线中，高线AD与与CE相交于相交于点点H，P为为AD上的一点，连结上的一点，连结BP，PC，且，且PC2=CHCE。求证：求证：(1)BPC=90EDCBAHP(2)求求CDCB的值的值
