1、第十三章推理与证明、算法、复数13.2综合法与分析法、反证法内容索引基础基础知识知识 自主学习自主学习题型分类题型分类 深度剖析深度剖析思想与方法系列思想与方法系列思想方法思想方法 感悟提高感悟提高练出高分练出高分基础知识基础知识自主学习自主学习1.综合法(1)定义：从 出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过 ，一步一步地接近要证明的 ，直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为 .命题的条件演绎推理结论综合法知识梳理知识梳理1 1答案2.分析法(1)定义：从 出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等.我们把这样的思维方法称为.求证
2、的结论充分条件分析法答案3.反证法我们可以先假定命题结论的，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.反证法的证题步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出；(3)否定假设，肯定 .结论反面成立矛盾答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“a0，sin(x1x2)0,1cos(x1x2)
3、0，故只需证明1cos(x1x2)2cos x1cos x2，即证1cos x1cos x2sin x1sin x22cos x1cos x2，即证cos(x1x2)1.引申探究解析答案121212122(32)(32)32,22xxxxxxxx 即证明12332xx12122333,2xxxx12123333,2xxxx1223xx解析答案由于x1，x2R时，1230,30,xx121233332xxxx(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与
4、结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.思维升华跟踪训练2解析答案命题点1证明否定性命题例例3已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；解解当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，反证法的应用反证法的应用题型三解析答案(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.证明证明反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN)，又因为pqr，且p，q，rN，所以rq，rpN.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立.所以假设不成立，原命题
5、得证.解析答案命题点2证明存在性问题例例4若f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(a1，所以b3.解析答案解得ab，这与已知矛盾.故不存在.解析答案命题点3证明唯一性命题例例5已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f(x)M，()方程f(x)x0有实数根；()函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1.解解当x0时，f(0)0，所以方程f(x)x0有实数根为0；解析答案(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意m，nD，都存在x0(m，n)，使得等式f(n)f(m)(nm)f(x0)成立.试用这一性质证明：方程f(x)x0有且只有一个实数根.解析答
6、案证明证明假设方程f(x)x0存在两个实数根，()，则f()0，f()0.不妨设，根据题意存在c(，)，满足f()f()()f(c).因为f()，f()，且，所以f(c)1.与已知0f(x)1矛盾.又f(x)x0有实数根，所以方程f(x)x0有且只有一个实数根.思维升华应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤：第一步：分清命题“pq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相反的假设綈q；第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题pq为真.所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理
7、、已知定义、已知定理或已知矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果.思维升华跟踪训练3解析答案解析答案假设不成立，即数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列.返回思想与方法系列思想与方法系列思维点拨根据菱形对角线互相垂直平分及点B的坐标设出点A的坐标，代入椭圆方程求得点A的坐标，后求AC的长；思想与方法系列24.反证法在证明题中的应用规范解答温馨提醒思维点拨返回解解因为四边形OABC为菱形，则AC与OB相互垂直平分.由于O(0,0)，B(0,1)规范解答(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形.思维点拨将直线方程代入椭圆方程求出AC的中点坐标(即OB的中点坐
8、标)，判断直线AC与OB是否垂直.规范解答温馨提醒思维点拨证明证明假设四边形OABC为菱形，因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.6分设A(x1，y1)，C(x2，y2)，规范解答规范解答因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，所以OABC不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.12分温馨提醒(1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，正确作出假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的.(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，
9、常采用反证法.(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去.温馨提醒返回思想方法思想方法感感悟悟提高提高1.分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知.2.综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知.3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.方法与技巧1.用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即证”“只需证”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论.2.利用反证法证明数学问题时，要假设结论
10、错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.失误与防范返回练出高分练出高分1.有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母.现规定：当卡片的一面为字母P时，它的另一面必须是数字2.如图，下面的四张卡片的一个面分别写有P，Q,2,3，为检验这四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是()A.第一张，第三张 B.第一张，第四张C.第二张，第四张 D.第二张，第三张解析答案解析解析由题意知如果卡片的一面为P，另一面必须是2，所以一定要看P的另一面是否为2，一面为2的另一面可以是任意有关字母，一面为3的卡片的另一面一定不能是
11、P，所以必须翻看第一张、第四张卡片.答案答案B2.已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|2，所以不正确；对于，其假设正确.答案答案D解析答案(ac)2ac3a2 a22acc2ac3a20 2a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.答案答案C解析答案P2Q2，P1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是()A.B.C.D.解析答案但a1，b2，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，
12、a，b中至少有一个大于1.答案答案C6.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个“整数对”是_.解析答案解析解析依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n1，且每组共有n个“整数对”，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各数对依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60个“整数对”是(5,7).答案答案(5,7)解析
13、答案8.若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1，在区间1,1内至少存在一点c，使f(c)0，则实数p的取值范围是_.解析答案9.已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明证明要证明2a3b32ab2a2b成立，只需证：2a3b32ab2a2b0，即2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.ab0，ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0成立，2a3b32ab2a2b.解析答案A解析答案11.如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则()A.A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形B.A1B1C1和A2B2
14、C2都是钝角三角形C.A1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形D.A1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形解析答案解析解析由条件知，A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1是锐角三角形，假设A2B2C2是锐角三角形.解析答案这与三角形内角和为180相矛盾.所以假设不成立，又显然A2B2C2不是直角三角形.所以A2B2C2是钝角三角形.答案答案D解析解析由条件得cn随n的增大而减小，1cn解析答案证明证明f(x)的图像与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不等实根x1，x2，f(c)0，x1c是f(x)0的根，解析答案由0 x0，解析答案(3)证明：2b0，c0，b0，b2，2b1.解析答案解析答案解析答案(2)证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列.解析答案证明证明用反证法证明.假设数列bn存在三项br，bs，bt(rsbsbt，则只能有2bsbrbt成立.两边同乘以3t121r，解析答案化简得3tr2tr22sr3ts.由于rst，上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾.故数列bn中任意三项不可能成等差数列.返回更多精彩内容请登录：
