1、13.1 拉普拉斯变换一、拉氏变换一、拉氏变换(Laplace transformation)的定义的定义象函数(transform function)F(s)原函数(original function)f(t)t 0,)时域(time domain)复频域(complex frequency domain)j s复频 率(complex frequency)第1页/共59页ttfsFstde)()(0 正变换正变换 de)(j21)(jjssFtfst 反变换反变换拉氏变换对拉氏变换对(Laplace pairs)一一 一对应一对应记号记号Lf(t)表示取拉氏变换表示取拉氏变换L-1 F(s
2、)表示取拉氏反变换表示取拉氏反变换定义式定义式(Laplace transformation)(inverse Laplace transformation)第2页/共59页积分下限从积分下限从0 开始，称为开始，称为0 拉氏变换拉氏变换。积分下限从积分下限从0+开始，称为开始，称为0+拉氏变换拉氏变换。当f(t)含有冲激函数项时，此项 00+拉氏变换和0拉氏变换的区别 ttfttfttfsFstststde)(de)(de)()(0000 象函数象函数F(s)用大写字母表示用大写字母表示，如，如 I(s)，U(s)原函数原函数f(t)用小写字母表示，如用小写字母表示，如 i(t)，u(t)注
3、意注意为了把为了把0-0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变换定义式中积分下限从换定义式中积分下限从 0-开始开始第3页/共59页二、拉氏变换存在条件二、拉氏变换存在条件可进行拉氏变换。可进行拉氏变换。存在，存在，的全部范围内收敛，即的全部范围内收敛，即在在则则时时当当)(de)(e)(0e)(lim000tfttftftftttt 不同的不同的 f(t)，0的值不同，称的值不同，称 0为复平面为复平面s内的收敛横坐标。内的收敛横坐标。0j 0收敛坐标收敛坐标收敛轴收敛轴收敛区收敛区第4页/共59页电工中常见信号为指数阶函数，即电工中常见信号为指数
4、阶函数，即为有限实数为有限实数是正实数，是正实数，CMtMtfCt),0 e)(tMttftCtdede)()(00 CM C 选选进进行行拉拉氏氏变变换换。就就可可以以对对衰衰减减函函数数，为为，则则，选选例例)(ee)5(5e)(505tftfttt 由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论中一般不再写出其收敛范围。中一般不再写出其收敛范围。返回目录第5页/共59页 0e1stststatatdeee L0 0)(e1 tasasas 1 0e)()(Ldtttst 0de0tst)()(.1ttf )(e)(.2ttfat j1e
5、Lj st 0de)()(Ltttst )()(.3ttf 00d)(tt=1s1 13.2 常用函数的拉普拉斯变换第6页/共59页0elim stnttnttf)(.4tttstnndeL0 stnst ed0nststntsstdee00 ttsnstnde01 LL1 nntsnt21L1stn 当当322L2stn 当当1!L nnsnt得得依次类推，依次类推，第7页/共59页1f1(t)e-tt0求图示两个函数的拉氏变换式求图示两个函数的拉氏变换式 ssF1)(1f2(t)e-tt0解解 由于定义的拉氏变换积分下限是由于定义的拉氏变换积分下限是0，两个函数的拉氏变换，两个函数的拉氏变
6、换 式相同式相同t-s e1L1 0 t当取上式的反变换时，只能表示出当取上式的反变换时，只能表示出0 t区间的函数式区间的函数式返回目录第8页/共59页13.3 拉普拉斯变换的基本性质一、线性一、线性(linearity)性质性质)()(L,)()(L2211sFtfsFtf 若若)()(L21tfbtfa 则则j1j1j21 SS)()(21sbFsaF 22 S)ee(j21Ljjtt SA)11(ssAL A例例1)e1(L tA 例例2sinL t 例例3第9页/共59页二、原函数的微分二、原函数的微分(differentiation)0()(d)(dL fssFttfsin1022
7、 tss 22 ss)(sindd1LcosLttt )(Lt)(ddLtt 1)(10 tss)()(LsFtf 设设：例例1例例2)0()(d)(dL)(101 knkknnnnfssFsttf第10页/共59页三、原函数的积分三、原函数的积分(integration)(1)(L0sFsdft L t21)(Lsst )(L0 td )()(LsFtf 设设：例例第11页/共59页四、时域平移四、时域平移(time shift)(e)()(L000sFttttfst )()(LsFtf 设设：f(t)(t-t0)tt00tf(t-t0)(t-t0)t00f(t)(t)t0f(t)(t)f(
8、t-t0)(t-t0)平移f(t)(t-t0)不是平移第12页/共59页例例1 求图示函数的拉氏变换式求图示函数的拉氏变换式)()()(Ttttf sTsssF e11)()()()(Tttttf )()()()()(TtTTtTttttf sTsTsTsssF ee11)(22例2 求图示函数的拉氏变换式1Ttf(t)0TTf(t)0第13页/共59页例例3 周期函数周期函数(periodic function)的拉氏变换的拉氏变换 设设f1(t)为第一个周期的函数为第一个周期的函数)()(L11sFtf)(e11)(L1sFtfsT 则：则：)2()2()()()()()(111TtTtf
9、TtTtfttftf 证：证：)(e)(e)()(1211sFsFsFtfLsTsTeee1)(321 sTsTsTsF)(e111sFsT .tf(t)1T/2 T0第14页/共59页)e1()e1(1)(2TssTssF )e1(12Tss )2()()(1Ttttf )e1(1)(21TsssF 五、五、复频域平移复频域平移(frequency shift)()(e L sFtft)()(LsFtf 设设：第15页/共59页六、初值六、初值(initial-value)定理和终值定理和终值(final-value)定理定理)(lim)(lim)0(0ssFtffst 初值定理初值定理若若
10、Lf(t)=F(s)，且，且f(t)在在t=0处无冲激，则处无冲激，则存在时存在时)(limtft)(lim)(lim0ssFtfst 终值定理终值定理f(t)及其导数及其导数f (t)可进行拉氏变换，且可进行拉氏变换，且cose Ltt 22)(ss2)(1 seLtt sine Ltt 22)(s例例1例例2例例3第16页/共59页例例111lim)(0 sstst 例例22215)(sssI3)/212/115(lim)2215(lim)0(sssssissstL1)(例例3111e1 L)(sssI-t1)111(lim)(0 ssstist返回目录第17页/共59页13.4 拉普拉斯
11、反变换一、由象函数求原函数一、由象函数求原函数(1)利用公式利用公式0de)(j21)(jj tssFtfst (2)经数学处理后查拉普拉斯变换表经数学处理后查拉普拉斯变换表)()()()(21sFsFsFsFn )()()()(21tftftftfn 象函数的一般形式：象函数的一般形式：)()()()(11011021mnbsbsbasasasFsFsFnnnmmm 二、将二、将F(s)进行部分分式展开进行部分分式展开(partial-fraction expansion)f(t)=L-1F(s)较麻烦较麻烦第18页/共59页nsssF，有不等实根有不等实根120)(.1 nnsskssks
12、sksF 2211)(nitsiiktf1e)(1)()(11sssFssk 2)()(22sssFssk nssnnsFssk )()()(1ss)(1ss)(1ss)(1ss 等式两边同乘等式两边同乘(s-s1)=0第19页/共59页)()()(lim211sFsFsssFissi )()(21iisFsF )()(21iiisFsFk ki也可用也可用分解定理分解定理求求 nitsiiisFsFtf121e)()()()()(lim21sFsssFkissii nniissksskssksFsFsF 1121)()()()(iss)(iss)(iss)(iss 等式两边同乘等式两边同乘(
13、s-si)(iss，应用洛比达法则求极限，应用洛比达法则求极限00第20页/共59页21321 sksksk5.2)(01 SssFk0e5.1e55.2)(2 ttftt)2)(1(52 sssss例例1)23(5)(22 ssssssF5)1)(12 SssFk5.1)2)(23 SssFk第21页/共59页例例252)(2 ssF用分解定理0e7e3e)()(e)()()(3233 -s2122 -s21 tsFsFsFsFtftttt6554)(2 ssssF)()(21iiisFsFk 3221 ss21122 ss0ee2)(2)(2 tttftt)2)(1(32 sss例例323
14、772)(22 sssssFm n，用长除法，得，用长除法，得第22页/共59页有有共共轭轭复复根根)(.22sF jskjsksF 21)(k1,k2也是一对共轭复数也是一对共轭复数)eeee()()j(j)j(jttkktf ee e)(j)(j tttk0)cos(e2 ttkt js 2,1假设只有两个根假设只有两个根 jkke1 jkk e2可据前面介绍的两种方法求出可据前面介绍的两种方法求出 k1,k2设设第23页/共59页52)(2 ssssF2j11 s6.26559.041j2124 j22j1222j11 Sssk6.26559.041j2124 j22j1222j12 S
15、ssk)6.262cos(e559.02)(ttft0)6.262cos(e12.1 ttt例例2j12 s法一：部分分式展开，求系数部分分式展开，求系数第24页/共59页法二：法二：522 sss22222)1(12)1(1 sss02sine212cose)(ttttftt0)6.262cos(e12.1 ttt即即222)1(ss将将F2(s)改写为改写为(s )2+2222)1(11 ss第25页/共59页有有相相等等的的实实根根（重重根根）)(.32sF21211211)()()()(sskssksssFsF 1)()(212SSsFssk 1)()(dd211SSsFsssk 21
16、121)()(kssksssF 等式两边乘等式两边乘21)(ss 0ee)(1121 ttkktftsts第26页/共59页221)1()1(SkSk2)1(52)(sssF3)1()1(521222 Ssssk2)52(dd11 Sssk0e3e2)(tttftt例例132322221)2()2()2(sksksk32)2(22)(ssssF例例22)2()2(42233223 Sssssk等式两边乘等式两边乘3)2(s23222213)2()2()2)(kskskssF 第27页/共59页122dd21)2()2()22(dd21223322221 sssssssssk0ee2e)(222
17、2 ttttfttt2)22()2()2(22dd2233222 sSssssssk22213)2(2)2)(ddkskssFs 32)2(2)2(2)2(1)(ssssF23222213)2()2()2)(kskskssF 213222)2)(ddkssFs 第28页/共59页)()(1110nmmmssasasasF nnnnsskssksskssksF)()()()(111121211 一般多重根情况一般多重根情况1)()(1SSnnsFssk 1)()(dd11SSnnsFsssk 1)()(dd211222SSnnsFsssk 1)()(dd)!1(11111SSnnnsFsssnk
18、 返回目录第29页/共59页一、电路元件的运算形式一、电路元件的运算形式(operator form)电阻电阻Ru=R i)()(sGUsI)()(sRIsU 13.5 复频域中的电路定律、电路元件与模型+u -i(t)R+U(s)-I(s)R取拉氏变换取拉氏变换第30页/共59页电感LtiLuLLdd)0()()0()()(LLLLLLissLIissILsUsisLsUsILLL)0()()(iL+uL -L+-sL)0(LLiUL(s)IL(s)-+取拉氏变换取拉氏变换)0(d10 LtLLituLisL+-UL(s)IL(s)siL/)0(第31页/共59页电容电容C susIsCsU
19、CCC)0()(1)()0(d10 CtCCutiCu)0()()(CCCCussCUsI+uC -iCIC(s)1/sCuC(0-)/sUC(s)+-+1/sCCuC(0-)IC(s)UC(s)-+取拉氏取拉氏变换变换tuCiCCdd 第32页/共59页 tiMtiLutiMtiLudddddddd12222111 )0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiLsISLSUMissMIiLsISLSU互感互感M 取拉氏取拉氏变换变换ML1L2i1i2+u1-+u2-+U2(s)-+-I1(s)sL1sL2sM+-+-U1(s)I2(s)0(11
20、iL)0(22 iL)0(1 Mi)0(2 Mi+-第33页/共59页1211uuRiu )()()()(1211sUsURsIsU 受控源受控源+-U1(s)+-RI1(s)U1(s)+-U2(s)+u1-+u2-Ri1 u1+-二、电路定律的运算形式二、电路定律的运算形式 0 KVL 0 KCL ui 0)(sU 0)(sI第34页/共59页 ttiCtiLiRu0d1dd)(1)()()(sIsCssLIRsIsU +u-iRLC设电路无初始储能设电路无初始储能+U(s)-I(s)RsL1/sC)1)(sCsLRsI sCsLRsZ1)()()()(sIsZsU)()()(sUsYsI)
21、(1)(sZsY 运算形式的欧姆定律运算形式的欧姆定律运算阻抗运算阻抗(operational impedance)运算导纳运算导纳(operational admittance第35页/共59页三、运算电路模型三、运算电路模型1.电压、电流用象函数形式电压、电流用象函数形式2.元件用运算阻抗或运算导纳元件用运算阻抗或运算导纳3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示电容电压和电感电流初始值用附加电源表示时域电路时域电路0)0(0)0(LCiuRRLCi1i2E(t)+-运算电路运算电路RRsL1/sCI1(s)I2(s)E/s+-第36页/共59页uC(0-)=25V iL(0-)=5A时域
22、电路t=0 时打开开关时打开开关例例52F2010100.5H50V+-uC+-iL换路后 运算电路0.5sUC(s)20-+1/2s25/s2.55IL(s)+-解解返回目录第37页/共59页13.6 拉普拉斯变换法分析电路步骤步骤 1.由换路前电路计算uC(0-),iL(0-)；2.画运算电路模型；画运算电路模型；3.应用电路分析方法求出待求变量的象函数；应用电路分析方法求出待求变量的象函数；4.反变换求原函数。反变换求原函数。V100)0(Cu已已知知：t=0时闭合时闭合S，求，求iL，uL。例例1200V300.1H10-uC+1000FiL+-uL+-S第38页/共59页A5)0()
23、1(Li(2)画运算电路画运算电路ssL1.0 sssC1000101000116 V100)0(Cu200/s 300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+-解解第39页/共59页 )3(回路法回路法221)200()40000700(5)(sssssI5.0200)(10)1.040)(21 ssIssIssIssI100)()100010()(1021 )(1sI)(2sI200/s 300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+-第40页/共59页)(lim)0()0(1ssFiisL 5200400)40000700(5lim222 ssss
24、s)(lim)()(01ssFiisL 5200400)40000700(5lim2220 sssss2222111)200(200)(sKsKsKsI(4)反变换求原函数反变换求原函数221)200()40000700(5)(sssssI校核初值和终值校核初值和终值第41页/共59页01)(SssFK5200400)40000700(50222 Sssss1500)200)(200222 SssFK2222111)200(200)(sKsKsKsI0)()200(dd200221 SsFssK21)200(1500)200(05)(ssssI0A)e15005()()(2001 tttiti
25、tL第42页/共59页5.0)()(1 sLsIsUL2)200(30000200150 ss0Ve30000e150)(200200 tttuttL要考虑初值要考虑初值思考：思考：uL是哪两端是哪两端 的电压？的电压？200/s 300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+-UL(s)+-第43页/共59页111)(sCRsCRsUC)1(11RCsCRCsR 1)()(RsCRsCsCsUsICC)1(11RCsRC 例例2 求图示电路的单位冲激响应求图示电路的单位冲激响应uC(t)，iC(t)。RCuC (t)iC+-R1/sCUC(s)1IC(s)+-第44页/共
26、59页tuC(V)C10tiCRC1)(t)0(e1/tCuRCtC)0(e1)(/tRCtiRCtC 返回目录第45页/共59页13.7 网络函数网络函数(network function)一、定义一、定义零状态零状态零状态零状态)()()(L)(L)(sEsRtetrsH def单个独立源作用的线性网络单个独立源作用的线性网络零 状态e(t)r(t)E(s)R(s)(转移函数转移函数(transfer function)第46页/共59页)()()(SsUsUsHC sCRsC11 11 RsCRC+_+_uS例例uCR1/sC+_+_US(s)UC(s)网络函数是由网络的结构和参数决定，
27、与激励无关；网络函数是由网络的结构和参数决定，与激励无关；网络函数是实系数的有理函数。网络函数是实系数的有理函数。第47页/共59页1.策动点函数策动点函数)()()(sIsUsZ)()()(sUsIsY 策动点阻抗策动点阻抗策动点导纳策动点导纳2.转移函数转移函数(传递函数传递函数)()()(12sUsIsH)()()(12sIsUsH)()()(12sUsUsH)()()(12sIsIsH 转移导纳转移导纳转移阻抗转移阻抗转移电压比转移电压比转移电流比转移电流比二、网络函数的具体形式U(s)I(s)+-U2(s)I2(s)U1(s)I1(s)+-+-第48页/共59页三、单位冲激响应与网络
28、函数的关系三、单位冲激响应与网络函数的关系零状态零状态(t)h(t)(L)(L)(L)(thtthsH )(L)(1sHth e(t)r(t)()(sHth)()()(sHsEsR)(L)(1sRtr 若单位冲激响应若单位冲激响应h(t)已知，则任意激励已知，则任意激励e(t)产生的响应产生的响应r(t)可求。可求。单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对返回目录第49页/共59页13.8 网络函数的极点(pole)和零点(zero)一、复频率平面一、复频率平面 j j s)()()()()()()(110nmPsPsZsZsHsDsNsH 为零点为零点，则称，则称时时若若mjZZsHZs 10
29、)(为极点为极点，则称，则称时时若若niPPsHPs 1)(在复平面上用在复平面上用“”表示表示极点极点，用用“。”表示零点。表示零点。极点。零点第50页/共59页2)(1 ZsH的的零零点点为为 j。2-31 j1304)(4,321 PPPsH个极点，分别为个极点，分别为有有例例)22)(3()2(2)(2 ssssssH绘出其极零点图绘出其极零点图(pole-zero diagram)-1j-j0第51页/共59页二、极点分布与冲激响应的关系二、极点分布与冲激响应的关系)()(LsHth)(L)(1sHth H(s)在在s平面上极点位置不同，冲激响应波形不同。平面上极点位置不同，冲激响应
30、波形不同。单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对第52页/共59页 j ssHi1)(assHi 1)(assHi 1)(22)(ssHi22)()(assHi22)()(assHi极点的位置决定冲激响应的波形极点的位置决定冲激响应的波形极点和零点共同决定冲激响应的的幅值极点和零点共同决定冲激响应的的幅值第53页/共59页网络函数极点的位置决定了系统的稳定性网络函数极点的位置决定了系统的稳定性(stability)全部极点在全部极点在 s 左半平面的电路动态响应是稳定的；左半平面的电路动态响应是稳定的；有位于有位于 s 右半平面极点的电路动态响应是不稳定的；极点右半平面极点的电路动态响应是不稳
31、定的；极点在在 s 平面的虚轴上，且只有一阶，则电路动态响应是临界平面的虚轴上，且只有一阶，则电路动态响应是临界稳定的。稳定的。网络函数极点是该网络变量的固有频率网络函数极点是该网络变量的固有频率 R(s)=H(s)E(s)个根个根有有若若issDsDsNsH0)()()()(个根个根有有jssQsQsPsE0)()()()(设设D(s)和和E(s)没有相同的极点没有相同的极点第54页/共59页 mjjjniiissAssAsQsPsDsNsR11 )()()()()(mjtsjnitsijiAAtr11ee)(由网络函数极点形成的由网络函数极点形成的 自由分量自由分量由激励函数极点形成的由激
32、励函数极点形成的 强制分量强制分量系数系数Ai和和Aj是由零点和极点共同决定是由零点和极点共同决定返回目录第55页/共59页13.9 卷积卷积(convolution)定理定理)()(L )()(L2211sFtfsFtf 若若)()()(*)(L2121sFsFtftf 则则h(t)r(t)e(t)H(s)R(s)E(s)R(s)=E(s)H(s)零状态零状态 tdthethtetr0)()()(*)()(第56页/共59页)()()(21sFsFsY 令令证明证明ttfsFstde)()(011 ttfsFstde)()(022 d)()()(*)(20121 tfftftft de)()()(021sfsFsY d)(e)(021 fsFs延时延时 d)()()(L021 ft-t-f d)(d)e()(020-1 ftt-t-fst dd)()e()(002-1 tft-t-fst第57页/共59页去掉去掉 0001)(t-t-t-tft-t-fstded)()()(00-21 tft-ftstded)()(00-21 ttftfstde)(*)(0-21 积分上限改为积分上限改为 t第58页/共59页谢谢您的观看！第59页/共59页
