1、Page 1定义1维向量维向量设有设有n,2121 nnyyyyxxxx nnyxyxyxyx 2211,令令 .,的的与与为为向向量量称称yxyx内积一、内积的定义及性质Page 2说明1 维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义 4 nn .,:,2 yxyxyxT 为为内积可用矩阵记号表示内积可用矩阵记号表示向量向量都是列都是列如果如果内积是向量的一种运算内积是向量的一种运算Page 3内积的运算性质 :,为实数为实数维向量维向量为为其中其中 nzyx ;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx .0,0,0,)4(xxxxx时有时有且当且
2、当Page 4定义2 非负性非负性.1齐次性齐次性.2三角不等式三角不等式.3 ,22221nxxxxxx 令 .或或的的维向量维向量为为称称xnx长度范数向量的长度具有下述性质：;0,0;0,0 xxxx时时当当时时当当;xx .yxyx 二、向量的长度及性质单单位位向向量量：1,.xx 当当时时 称称为为单位向量Page 5 正交的概念 正交向量组的概念.,0,yxyx与与称向量称向量时时当当 正交.,0,与任何向量都正交与任何向量都正交则则若若由定义知由定义知 xx 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组三、正交向量组的概念及求法Page 6,0021111 T由由.0
3、1 从而有从而有.02 r 同理可得同理可得.,21线性无关线性无关故故r 使使设有设有r ,21证明02211 r 得得左左乘乘上上式式两两端端以以,1aT0111 T 正交向量组的性质线性无关.线性无关.,则则非零向量,非零向量,是一组两两正交的是一组两两正交的,维向量维向量若若定理定理rrn 2121 1Page 7nnRnR定定义义3 3 欧欧几几里里得得空空定定义义了了内内积积的的实实向向量量空空间间称称为为 维维(Euclidean space)(Euclidean space)，在在间间中中，规规(范范1)1)正正交交由由单单位位向向组组 量量构构成成的的正正交交组组叫叫做做(或
4、或标标准准正正交交组组)；4 规范正交基12,0,(,)1,nnijijnRijij (2)(2)称称含含有有 个个向向量量的的规规范范正正交交组组(II)(II)为为的的一一个个(或或规规范范正正交交基基标标准准正正交交)，即即 (II)(II)基基满满足足.L LPage 8.212100,212100,002121,0021214321 eeee例如 .4,3,2,1,1,.4,3,2,1,0,jijieejijieejiji且且且且由于由于.,44321的的一一个个规规范范正正交交基基为为所所以以ReeeePage 9.1000,0100,0010,00014321 同理可知.4的一个
5、规范正交基的一个规范正交基也为也为RPage 10（1）正交化，取 ，11ab ,1112122bbbabab 12,ra aaV若若为为向向量量空空间间 的的一一个个极极大大无无关关组组L L5 求规范正交基的方法1212121212 ,.rrrrrVVe eee ee 设设是是向向量量空空间间 的的一一个个极极大大无无关关组组 要要求求 的的一一个个规规范范正正交交基基 就就是是要要找找一一组组两两两两正正交交的的单单位位向向量量使使与与等等价价 这这样样一一个个问问题题 称称为为把把这这个个极极大大无无关关组组规规范范正正交交化化L LL LL LL LL LPage 111111222
6、21111,rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,111等价等价与与且且两两正交两两正交那么那么rrraabbbb（2）单位化，取,222111rrrbbebbebbe .,21的一个规范正交基的一个规范正交基为为那么那么Veeer222321113133,bbbabbbbabab Page 12例1 用施密特正交化方法，将向量组)1,1,5,3(),4,0,1,1(),1,1,1,1(321 aaa正交规范化.解 先正交化，1,1,1,111 ab 1112122,bbbabab 1,1,1,111114114,0,1,1 3,1,2,0 取.,11 称称为为的的过过程程向
7、向量量组组构构造造出出正正交交上上述述由由线线性性无无关关向向量量组组rrbbaa施密特正交化过程Page 13222321113133,bbbabbbbabab 3,1,2,014141,1,1,1481,1,5,3 0,2,1,1 再单位化，143,141,142,03,1,2,0141222bbe 0,62,61,610,2,1,161333bbe得规范正交向量组如下 21,21,21,211,1,1,121111bbePage 14.,111 321321两两正交两两正交使使求一组非零向量求一组非零向量已知已知aaaaaa 例2解.110,10121 它的基础解系为它的基础解系为.0,
8、0,321132 xxxxaaaT 即即应满足方程应满足方程Page 15把基础解系正交化，即合所求亦即取,12 a.,1112123 a于是得于是得其中其中,2,1,1121 ,1012 a.12121101211103 aPage 16 为正交矩阵的充要条件是 的列向量和行向量都是标准（规范）正交基AA证明TAEA E 定义4 .,1正交矩阵正交矩阵为为称称则则即即满足满足阶方阵阶方阵若若AAAEAAAnTT 定理2112111112112222212221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa 四、正交矩阵Page 17 1212,TTnTnE 1211112
9、22212TTTnTTTnTTTnnnnE 1,;,1,2,0,Tijijiji jnij 当当当当Page 18又又由由定定义义知知正正交交正正交交TAA的的列列向向量量组组是是标标准准正正交交基基,TA的的行行向向量量组组是是标标准准正正交交基基.A12,n 是是标标准准正正交交基基，Page 19定理3对称矩阵的特征值为实数.证明,对应的特征向量对应的特征向量为为复向量复向量的特征值的特征值为对称矩阵为对称矩阵设复数设复数xA.0,xxAx 即即,的的表示表示用用 共共轭轭复复数数xAxA 则则 .xxAx 五、对称矩阵的性质说明：以下所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵,的的
10、表示表示xx共轭复向量共轭复向量Page 20于是有AxxTAxxT 及及 AxxT xxT ,xxT xAxTT xxAT xxT .xxT 两式相减，得 .0 xxT ,0 x但因为但因为 ,0 ,即即.是实数是实数由此可得由此可得,0 121 niiniiiTxxxxx所以所以Page 21定理3的意义 ,()0,0,.iiiAAE xAE 由由于于对对称称矩矩阵阵 的的特特征征值值为为实实数数 所所以以齐齐次次线线性性方方程程组组是是实实系系数数方方程程组组 由由知知必必有有实实的的基基础础解解系系 从从而而可可以以对对应应的的特特向向量量取取征征实实向向量量Page 22121212
11、12 ,.Apppp 定定理理4 4设设是是对对称称矩矩阵阵的的两两个个特特征征值值是是对对应应的的特特征征向向量量 若若则则 与与正正交交证明,21222111 AppApp,AAAT 对称对称 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT .0 2121 ppT ,21 .21正交正交与与即即pp.021 ppTPage 23 ,(),.AnArAER AEnrr 设设为为 阶阶是是 的的特特征征多多项项式式的的 重重根根 则则矩矩阵阵的的秩秩从从而而对对应应特特征征值值恰恰有有个个线线性性无无关关的的对对称称矩矩定定理理5 5
12、特特征征向向量量阵阵1 ,.AnPPAPAn 设设 为为 阶阶对对称称矩矩阵阵 则则必必有有正正交交矩矩阵阵使使其其中中是是以以 的的个个特特征征值值为为对对角角元元素素的的定定6 6对对角角矩矩阵阵理理证明,21s 它们的重数依次为srrr,21).(21nrrrs 根据定理3（对称矩阵的特征值为实数）和定理5(如上)可得：设 的互不相等的特征值为APage 24,21知知由由nrrrs 由定理4知对应于不同特征值的特征向量正交，(1,2,),.isriiri 对对应应特特征征值值恰恰有有个个线线性性无无关关的的把把它它们们即即得得个个实实特特征征向向量量正正交交单单位位正正交交的的特特化化
13、单单位位化化征征向向量量并并 PPAPP11.,11个特征值个特征值的的是是恰恰个个个个的对角元素含的对角元素含其中对角矩阵其中对角矩阵nArrss 这样的特征向量共可得 个.n故这 个单位特征向量两两正交.n以它们为列向量构成正交矩阵 ，则PPage 25根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：六、利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.;,0的特征向量的特征向量求出求出由由AxEAi 1.;的特征值的特征值求求APage 26解 20212022EA 214 0.2,1,4321 得得220212,020A 例3 对下列实
14、对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使 为对角阵.APP1 P第一步 求 的特征值APage 27 的特征向量的特征向量求出求出由由第二步第二步AxEAi,0 得得由由对对,04,41 xEA 04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系.1221 得得由由对对,0,12 xEA 0202202323121xxxxxx解之得基础解系.2122 Page 28 得得由由对对,02,23 xEA 02202320243232121xxxxxxx解之得基础解系.2213 第三步 将特征向量正交化.,3,321321故它们必两两正交故它们必两两正交的特征向量的特征向量个不同特征值个不同特征
15、值的的是属于是属于由于由于 A第四步 将特征向量单位化.3,2,1,iiii 令令Page 29,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP则则Page 301将一组极大无关组规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将极大无关组正交化，然后再将其单位化 ;11TAA ;2EAAT ;3单位向量单位向量的列向量是两两正交的的列向量是两两正交的A .4单位向量单位向量的行向量是两两正交的的行向量是两两正交的A七、小结2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：APage 313.对称矩阵的性质：(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值4.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量正交化；(4)最后单位化
