1、定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直求近似以直(不变不变)代曲代曲(变变)取极限取极限 定积分的计算可概括为四个步骤：定积分的计算可概括为四个步骤：分、匀、合、精分、匀、合、精微元法的实质是微元法的实质是近似、求和近似、求和回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)(xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 一、元素法的思想与方法面积表示为定积分的步骤如下面积
2、表示为定积分的步骤如下（1）把把区区间间,ba分分成成 n个个长长度度为为ix 的的小小区区间间，相相 应应的的曲曲边边梯梯形形被被分分为为 n 个个小小窄窄曲曲边边梯梯形形，第第 i 个个小小窄窄 曲曲边边梯梯形形的的面面积积为为iA，则则 niiAA1.（2）计算）计算iA 的近似值的近似值iiixfA )(iix （3）求和，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA ab xyo)(xfy （4）求极限，得求极限，得A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 若用若用A 表示任一小区间表示任一小区间,xxx 上的窄曲边梯形的面积，上的窄曲边梯形的
3、面积，则则 AA，并取，并取dxxfA)(，于是于是 dxxfA)(dxxfA)(lim.)(badxxfxdxx dA面积元素面积元素Calculus 在数学上谓在数学上谓之：微积分，在医学之：微积分，在医学上的意思是：上的意思是：结石结石当当所所求求量量U符符合合下下列列条条件件：(1)U是是与与一一个个变变量量 x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（2）U对对于于区区间间 ba,具具有有可可加加性性，就就是是说说，如如果果把把区区间间 ba,分分成成许许多多部部分分区区间间，则则 U 相相应应地地分分成成许许多多部部分分量量，而而 U等等于于所所有有部部 分分量量之之和和；（
4、3）部分量）部分量iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf)(；就可以考虑用定积分来表达这个量就可以考虑用定积分来表达这个量 U 元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：1）根根据据问问题题的的具具体体情情况况，选选取取一一个个变变量量例例如如 x为为积积分分变变量量，并并确确定定它它的的变变化化区区间间,ba；2）设想把区间）设想把区间,ba分成分成 n个小区间，取其中任个小区间，取其中任一小区间并记为一小区间并记为,dxxx，求出相应于这小区间，求出相应于这小区间的部分量的部分量U 的近似值的近似值.如果如果U 能近似地表示为能近似地表示为,ba上的一个连续函数在上的一个连续函数在x处的
5、值处的值)(xf与与 dx的的乘积，就把乘积，就把dxxf)(称为量称为量 U的元素且记作的元素且记作 dU，即即dxxfdU)(；0dxxUf xxox,()()且且当当时时 必必须须有有验验证证较较困困难难3）以所求量）以所求量U的元素的元素dxxf)(为被积表达式，为被积表达式，在区间在区间,ba上作定积分，得上作定积分，得 badxxfU)(，即为所求量即为所求量U的积分表达式的积分表达式.这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法或或微元法微元法应用方向：应用方向：平面图形的面积、体积、平面曲线平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长、旋转曲面的面积；功、水压力、引力和的弧长、旋转曲面
6、的面积；功、水压力、引力和平均值等的计算。平均值等的计算。xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12xxxx 1.直角坐标系情形直角坐标系情形二、定积分在几何上的应用(I)面积xx 例例 1 计算由两条抛物线计算由两条抛物线xy 2和和2xy 所围成的所围成的图形的面积图形的面积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1,0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 如
7、果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或（或 2t,1t）上）上)(tx 具有连续导数，具有连续导数，)(ty 连续连续.相当于定积分相当于定积分作变量代换作变量代换例例 2 求求椭椭圆圆12222 byax的的面面积积.解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积aAydxbtd atabtdtab22002044s
8、in(cos)4sin 设由曲线设由曲线)(r及射线及射线 、围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)(在在,上连续，且上连续，且0)(xo d d 面积元素面积元素 ddA2)(21 曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)(212 dA )(r这是在作特别的定积分的变量代换。这是在作特别的定积分的变量代换。2 .极坐标系情形极坐标系情形就象中国就象中国的纸折扇的纸折扇例例 3 求双纽线求双纽线 2cos22a 所围平面图形所围平面图形的面积的面积.解解由由对称性对称性知总面积知总面积=4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积14AA Aada420214cos22 xy 2co
9、s22a 1Aakk22cos2022,22235,4 444 例例 4 求求心心形形线线)cos1(ar所所围围平平面面图图形形的的面面积积)0(a.解解 ddAadAadaa222202021(1cos)212(1cos)2312sinsin2 2432 由由对对称称性性可可知知由由1+cos 是是偶函数偶函数得对称性得对称性因为因为10ra(cos)0(a，所以所以 100 2cos,思考题思考题 设曲线设曲线)(xfy 过原点及点过原点及点)3,2(，且，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线取
10、一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与与x轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积是另一条平围成的面积是另一条平行线与行线与y轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积的两围成的面积的两倍，求曲线方程倍，求曲线方程.思考题解答思考题解答1S2Sxyo)(xfy ),(yxxxxxxSSSf x dxSxySxyf x dxf x dxxyf x dxf x dxxyx21201200002,()()()2()3()2,两两边边同同时时对对 求求导导f xyxyxyydydyxydxdydxdxyxyxCycxyf xcyxf xyx222123()222122lnlnlnln9()(2,3)29,
11、23(),2.2曲曲线线过过点点单单调调 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1.旋转体的体积旋转体的体积二、定积分在几何上的应用(II)体积一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx，取取以以dx为为底底的的窄窄
12、边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)(xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)()(xfy a aoyx例例 5 求求星星形形线线323232ayx )0(a绕绕 x 轴轴旋旋转转 构构成成旋旋转转体体的的体体积积.解解aayaxyaxVaxdxa222333322233322333,32105 旋旋转转体体的的体体积积类 似 地类 似 地,如 果 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线如 果 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线)(yx 、直线、直线cy 、dy 及及 y 轴所轴所围成的曲边梯形绕围成的曲边梯形绕
13、 y轴旋转一周而成的立轴旋转一周而成的立体体,体积为体积为 xyo)(yx cddcVydy2()例例 6 求摆线求摆线)sin(ttax ，)cos1(tay 的的一拱与一拱与0 y所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕 x 轴、轴、y 轴旋轴旋转构成旋转体的体积转构成旋转体的体积.解解 绕绕 x 轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积 axVyx dxatat dtattt dta22022202323230()(1cos)(1cos)(13cos3coscos)5 a 2a)(xy绕绕y轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积 可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC 分别绕分别绕y轴旋转构成
14、旋转体的体积之差轴旋转构成旋转体的体积之差.aayVxy dyxy dyattatdtattatdtatttdta21222200222220232330()()(sin)sin(sin)sin(sin)sin6 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线)(xfy 、直线直线ax 、bx 及及x轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为轴旋转一周而成的立体，体积为又及：又及：dxxfxVbay|)(|2 利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中ayVxf xdxa ttat d a ttatttdta20
15、202320332|()|2(sin)(1cos)(sin)2(sin)(1cos)6 此结果稍后此结果稍后给出给出这是理解为：沿着平行于这是理解为：沿着平行于y轴的方向把柱壳剖轴的方向把柱壳剖开摊平，该柱壳的体积近似于一个长方体的开摊平，该柱壳的体积近似于一个长方体的体积：长体积：长2 x宽宽 f(x)高高 dx如图，小曲边梯形如图，小曲边梯形绕着绕着y轴旋转一周轴旋转一周所成的立体我们称所成的立体我们称之为圆之为圆柱壳柱壳，该柱，该柱壳的体积微元为壳的体积微元为0axb0yf xy,()问问题题：计计算算 由由平平面面图图形形绕绕轴轴旋旋转转所所成成的的旋旋转转体体的的体体积积。oxyx+
16、dxxy=f(x)ba()dV2 xf x dx 柱柱(壳壳)切法切法 这是理解为：沿着平行于这是理解为：沿着平行于y轴的方向把柱轴的方向把柱壳剖开摊平，该柱壳的体积近似于一个长方壳剖开摊平，该柱壳的体积近似于一个长方体的体积：长体的体积：长2 x宽宽 f(x)高高 dxdVxf x dx2()把所有的柱壳的体积累积起来，就是把所有的柱壳的体积累积起来，就是()baV2 xf x dx 柱切法柱切法想象那种山东大葱想象那种山东大葱(京葱京葱)的鳞茎结构的鳞茎结构由一层一层由一层一层的组织叠加而成的组织叠加而成 如何如何分分？xoabxdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是
17、旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的的已已知知连连续续函函数数,)(dxxAdV .)(badxxAV立体体积立体体积体积微元体积微元二、二、定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用(II)体积体积2.平行截面面积为已知的立体的体积 这一做法就是 中国古代学者祖暅的思想“祖暅原理”“夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异”的应用。人们也常把上述人们也常把上述原理原理称为称为“刘（徽）刘（
18、徽）祖（暅）原理祖（暅）原理”。直到一千多年后，。直到一千多年后，意大利人意大利人 卡瓦来利卡瓦来利才提出同样的理论。才提出同样的理论。不过，不过，西方人还给出了具体的计算方西方人还给出了具体的计算方法法积分计算的积分计算的技术技术，是一大进步。，是一大进步。历史上的例子历史上的例子“牟合方盖牟合方盖”两两个半径相同的圆柱其中心轴垂直相交所个半径相同的圆柱其中心轴垂直相交所成的那一部分的立体成的那一部分的立体体积的计算。体积的计算。东汉末的东汉末的刘徽刘徽就是通过计算出牟合方盖就是通过计算出牟合方盖的体积从而推算出：牟合方盖的体积的体积从而推算出：牟合方盖的体积:其内切球的体积其内切球的体积=
19、4:圆周率，这一成圆周率，这一成果为后人果为后人祖冲之祖冲之推算出圆周率之推算出圆周率之祖率祖率奠奠定了基础。定了基础。(引自引自九章算术注九章算术注)容易看出容易看出旋转体的体积计算公式旋转体的体积计算公式是是平行截面面积为已知的立体的体积计平行截面面积为已知的立体的体积计算公式算公式的特殊情形。的特殊情形。例例7 刘徽刘徽牟合方盖的体积牟合方盖的体积两个半径相同的圆柱其中心轴垂直相交所成两个半径相同的圆柱其中心轴垂直相交所成的那一部分的立体，利用其对称性，考虑其的那一部分的立体，利用其对称性，考虑其1/8的那一部分之体积计算。的那一部分之体积计算。yzxo坐标坐标x处的截面面积处的截面面积
20、A(x)x刘徽刘徽牟合方盖的体积牟合方盖的体积两个半径相同的圆柱其中心轴垂直相交所成两个半径相同的圆柱其中心轴垂直相交所成的那一部分的立体，利用其对称性，考虑其的那一部分的立体，利用其对称性，考虑其1/8的那一部分之体积计算。的那一部分之体积计算。yzxo222222,xyaxza考考虑虑两两个个圆圆柱柱面面2222200,Dx yxyaxyzax考考虑虑在在第第一一卦卦限限内内的的部部分分：就就是是以以=(,):为为底底曲曲曲曲面面顶顶柱柱，以以为为顶顶部部的的体体的的立立体体。xyzox2222200,Dx yxyaxyzax考考虑虑在在第第一一卦卦限限内内的的部部分分：就就是是以以=(,
21、):为为底底曲曲曲曲面面顶顶柱柱，以以为为顶顶部部的的体体的的立立体体。坐标坐标x处的截面面积处的截面面积A(x)222A xBCaxoxxyaBCxzxo 222A xBCax坐标坐标x处的截面面积处的截面面积A(x)oxxyaBC aaVA x dxaxdxa0223081683 牟牟33164433:VVaa球球牟牟:：yx想想：想想：刘徽刘徽在在那那个时代就能得到个时代就能得到这一结果是多么这一结果是多么的了不起啊！的了不起啊！1 1.求求222ayx 绕绕)0(abbx旋旋转转所所成成旋旋转转体体的的体体积积 .2 2.设设有有一一截截锥锥体体，其其上上，下下底底均均为为椭椭圆圆，椭
22、椭圆圆的的轴轴长长分分别别为为和和BA 2,2ba2,2,h高高为为，求求这这截截锥锥体体的的体体积积 .3 3.设设直直线线baxy 与与直直线线0 x，1 x及及0 y所所围围 成成梯梯形形面面积积等等于于A，试试求求ba,使使这这个个梯梯形形轴轴绕绕 y 旋旋转转所所得得体体积积最最小小 .练练 习习 题题到此，我们要稍作停顿，回顾一下到此，我们要稍作停顿，回顾一下微元法微元法，baxxdxdUUf x dxUf x dxx 待待计计算算的的量量关关于于变变量量 具具有有可可加加性性，在在，内内()()，则则()()现在的问题是，我们如何对现在的问题是，我们如何对U进行分割呢？进行分割呢
23、？通常是用直线分割平面图形，用平面切割空间通常是用直线分割平面图形，用平面切割空间立体，但是也并非绝对。立体，但是也并非绝对。如计算圆的面积时，我们可以用半径为如计算圆的面积时，我们可以用半径为x和和x+dx的同心圆分割圆，则所成的圆环之面积即的同心圆分割圆，则所成的圆环之面积即为圆的面积微元为圆的面积微元2dArdr 圆圆 切切 法法2dArdr 该圆环之面积相当于以圆周长为长、该圆环之面积相当于以圆周长为长、以以dx为宽度的矩形的面积，相当于将圆环为宽度的矩形的面积，相当于将圆环拉直，其面积用矩形面积公式近似计算。拉直，其面积用矩形面积公式近似计算。圆的直径与圆周相垂直，圆的直径与圆周相垂
24、直，2002aaAdArdra圆圆 切切 法法24dVr dr 同样地，在计算球的体积时，我们可以同样地，在计算球的体积时，我们可以用半径为用半径为x和和x+dx的的同心球面同心球面切割球体，则切割球体，则所成的所成的球壳球壳之体积即为球体的体积微元之体积即为球体的体积微元球体的半径与球面相垂直，球体的半径与球面相垂直，这就相当于将球壳这就相当于将球壳“摊平摊平”，球壳球壳的体的体积就相当于以半径为积就相当于以半径为x的球面为底，以的球面为底，以dx为为高的柱体的体积。高的柱体的体积。球球 切切 法法220443aVr dra 想象：洋葱、想象：洋葱、滚雪球？滚雪球？xoy0MA nMB 1M
25、2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此此折折线线的的长长|11 niiiMM的的极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为曲曲线线弧弧AB的的弧弧长长.二、定积分在几何上的应用(III)弧长1.平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoy0MA nMB 1M2M1 nM定义定义 1 1 对于曲线对于曲线 C，如果作任意的分割，如果作任意的分割 T，只要，只要 分割分
26、割T 的模的模10iiiTMMmax，存在有限数，存在有限数 s ，使得，使得101niiTiMMslim|，则称数则称数 s 为可求长为可求长曲线曲线 C 的弧长的弧长.xx tCtyy tx ty txtyttC22():,()(),(),()()0,对对于于平平面面曲曲线线如如果果在在上上有有连连续续的的导导数数 并并光光且且则则称称 为为一一滑滑曲曲线线.定义定义2光滑曲线的光滑曲线的显著几何特显著几何特征是处处有征是处处有切线切线xx tCyy ttCsxtyt dt22():,(),()()平平面面上上的的光光滑滑曲曲线线是是可可求求长长的的 并并且且曲曲线线段段 的的弧弧长长为为
27、 dsxtyt dtdxdy2222()()定理定理1该定理的证明并不很难该定理的证明并不很难,请诸位自学请诸位自学,只需联只需联想到想到Chap9的的Th9.1的证明的证明,多多相似多多相似.但需注意所谓但需注意所谓弧长微元弧长微元或曰或曰弧微分弧微分者者:xoyabxdxx dyxx tCtyy tyf xaxbf xa bxa bx xdxdxdyy dxdsdxdy22222(),()()(),(),()()1()()光光滑滑曲曲线线或或曲曲线线表表示示为为其其中中在在上上有有一一阶阶连连续续导导数数 取取积积分分变变量量在在上上任任取取以以对对应应小小切切线线段段的的长长替替代代小小
28、曲曲线线弧弧段段的的长长弧弧长长微微元元=弧弧微微分分以直以直_切切线线_替替代代曲曲线弧线弧xoyabxdxx dy222222211()()()()badsdxdydsdxdyy dxsy dx弧微分弧微分2.直角坐标情形解解例例8 计算计算 圆周长。圆周长。222xya2x2yy0 由由对称性对称性 xatt02yatcos,/sin xay注注意意到到在在处处不不存存在在a20s41y dx 考虑作变量代换考虑作变量代换 x atasy dxtat dtadtaacos0220/2/204141cotsin4422 曲线弧为曲线弧为,)()(tytx )(t其其中中)(),(tt 在在
29、,上上具具有有连连续续导导数数.22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧长弧长.)()(22dttts 3.参数方程情形例例 9 求星形线求星形线323232ayx )0(a的全长的全长.解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为 taytax33sincos)20(t根据对称性根据对称性14ss xydattdtt222020443 sin cos 曲线弧为曲线弧为)()(rr 其其中中)(在在,上上具具有有连连续续导导数数.sin)(cos)(ryrx)(22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧长弧长.)()(22 drrs 4.极坐标情形思考
30、题思考题 闭区间闭区间,ba上的连续曲线上的连续曲线)(xfy 是否一定可求长？是否一定可求长？思考题解答思考题解答 不一定仅仅有曲线连续还不够，我们不一定仅仅有曲线连续还不够，我们只知道光滑的曲线是可求长的只知道光滑的曲线是可求长的 例如例如,那种处处连续而处处不光滑的曲线是那种处处连续而处处不光滑的曲线是不可求长的不可求长的,换言之换言之,往往其长度是无穷大往往其长度是无穷大.象前面曾经介绍过的象前面曾经介绍过的Koch雪花曲线就是一例雪花曲线就是一例.在分形几何中这种例子比比皆是在分形几何中这种例子比比皆是.求求心心形形线线的的全全长长)cos1(ar 8a 二、定积分在几何上的应用(I
31、V)旋转曲面的面积 bbaayfx,xa,b,fxdxxdSf,.SfxfxxxyfxyxySdSfxfxydxdxdx2222222021022 考考虑虑平平面面上上的的光光滑滑曲曲线线不不妨妨设设详细介绍请见教材详细介绍请见教材 P 254.用计算圆用计算圆台的侧面台的侧面积方法解之积方法解之 bbaaSdSf xfx dxxtaytbtordSf xdxSttdtdty2222221,(,)2)2(作作变变量量代代换换 22222210 xyabxabxatbyaxtaybt,cos,.sin 考考虑虑椭椭圆圆设设绕绕 轴轴旋旋转转 故故只只取取椭椭圆圆的的参参数数方方程程例例10 推导旋转椭球面的面积推导旋转椭球面的面积.解解222202Sbt btat dtsincossin 222St(t)tdt222202Sbt aabt dtsin()cos用凑微分法不难计算得到结果用凑微分法不难计算得到结果,略繁略繁.xyabxabbyaxaxattybtSbtaabt dtabSatdta222222222202201,cos,0,.sin2sin()cos2sin4 考考虑虑椭椭圆圆设设绕绕 轴轴旋旋转转 故故只只取取椭椭圆圆的的参参数数方方程程当当时时得得到到球球面面的的面面积积 222St(t)tdt椭圆积分椭圆积分
