1、小学奥数专题最最 值值小学奥数专题最 值宗煌（K Y O）【最小值问题】例1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加_位民警。【最小值问题】例1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。现要在他们
2、各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（500080004000）5001=35（名）。讲析：如图5.9 1，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处 例2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示，它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）例2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C 的位置上 讲析：因为三只蚂蚁速度相
3、等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。故，O点即为三只蚂蚁会面之处。讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，【最大值问题】【最大值问题】例1 有三条线段a、b、c，并且abc。判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？（全国第二届“华杯赛”初赛试题）【最大值问题】例1 有三条线段a、b、c，并且a b c。判下
4、图中的一个长方形纸板每个角都被剪掉了一个小长方形。如果被切掉的小长方形的8对对边的长度分别是一个1，四个2，两个3和一个4，那么纸板剩下部分的面积最大是多少？解析：大减4小下图中的一个长方形纸板每个角都被剪掉了一个小长方形。如果被切讲析：三个图的面积分别是：三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（abc）的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知，（ab）c这组数的值最接近。故图（3）的面积最大。讲析：三个图的面积分别是：例题2 牧羊人用15段每段长2米的篱笆，一面靠墙围成一个长方形羊圈，则最大面积是（）平方米。A
5、.100 B.108 C.112 D.122试数方法：由中间试数，因为边长相等时，正方形面积最大。所以由中到边试C把一块长90厘米，宽42厘米的长方形纸板恰好无剩余地剪成边长都是整数厘米，面积都相等的小正方形纸片，最少能剪出（）块，这种剪法剪成的所有正方形纸片的周长之和是（）厘米。例题2 牧羊人用1 5 段每段长2 米的篱笆，一面靠墙围成一个长如下图所示，某小区花园的道路由一个长480米，宽200米的的长方形，一个边长为260米的菱形和十字交叉的两条道路组成。一天，王大爷从A出进入花园，走遍花园的所有道路并从A处离开。如果他每分钟走60米，那么他从进入花园到走出花园最少要（）分钟。A解析：（4
6、80+200）3+2606 =2040+1560 =3600360060=60(分钟)如下图所示，某小区花园的道路由一个长4 8 0 米，宽2 0 0 米的的例2 某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品100元售出后，能卖出500个。已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。为了使这一天能赚得更多利润，售价应定为每个_元。（台北市数学竞赛试题）例2 某商店有一天，估计将进货单价为9 0 元的某商品 讲析：因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，其销量减少10个，所以，这种商品按单价90元进货，共进了600个。现把600个商品按每份10个，可分成60份。因每个涨价1元，
7、销量就减少1份（即10个）；相反，每个减价1元，销量就增加1份。所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为60），根据等周长长方形面积最大原理可知，当把60分为两个30时，即每个涨价30元，卖出30份，此时有最大的利润。因此，每个售价应定为9030=120（元）时，这一天能获得最大利润。讲析：因为按每个1 0 0 元出售，能卖出5 0 0 个，每个涨价1 元，例题1 A,B都是整数，A大于B，且AB=2009，那么A-B的最大值为（），最小值为（）解析：因为AB积个位为9，所以A和B两个数个位为1，9或者3，3。所以最大时选20091,A=2009，B=1.A-B=2009-1=2008
8、当两个数差最小时，必须两个数尽量接近，4149，4353试4149=2009所以A=49，B=41.A-B=49-41=8例题1 A,B 都是整数，A 大于B，且A B=2 0 0 9，某商店出售啤酒，规定每四个空瓶可以换一瓶啤酒，小明家买了24瓶啤酒，他一家前后最多能喝到（）瓶啤酒。有一个奇妙的国家叫一0国。”他们只有1和0两个数字。所以，当遇到比较大的数时，他们就要用好多个1和0组合起来相加来表示。比如说：12可以表示成三个数的和10+1+1，或者11+1.那么在“一0国”，20120204最少要用（）个数相加起来表示。某商店出售啤酒，规定每四个空瓶可以换一瓶啤酒，小明家买了2 4最 值
9、规 律【积最大的规律】（1）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们的积最大。用字母表示，就是它们的积最大。用字母表示，就是 如果如果a1+a2+an=b（b为一常数），为一常数），那么，当那么，当a1=a2=an时，时，a1a2an有最大值。有最大值。由“积最大规律”，可以推出以下的结论：结论1 所有周长相等的n边形，以正n边形（各角相等，各边也相等的n边形）的面积为最大。结论2 在三度（长、宽、高）的和一定的长方体中，以正方体的体积为最大（2）将给定的自然数）将给定的自然数N，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只
10、有，分拆成若干个（不定）的自然数的和，只有当这些自然数全是当这些自然数全是2或或3，并且，并且2至多为两个时，这些自然数的积最大。至多为两个时，这些自然数的积最大。最 值 规 律【积最大的规律】（1）多个数的和一定（为【和最小的规律和最小的规律】几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达，几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达，就是如果就是如果a1a2an=c（c为常数），为常数），那么，当那么，当a1=a2=an时，时，a1+a2+an有最小值。有最小值。推论推论 由由“和最小规律和最小规律”可以推出：在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小。可以推出
11、：在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小。【面积变化规律】【面积变化规律】在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。推论推论 由这一面积变化规律，可以推出下面的结论：由这一面积变化规律，可以推出下面的结论：在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。【体积变化规律】【体积变化规律】在表面积一定的正多面体（各面为正在表面积一定的正多面体（各面为正n边形，各面角和各二面角相等的边形，各面角和各二面角相等的多面体）中，面数越多，体积越大。多面体）中，面数越多，体积越大。推论推论 由这一体积变化规律，可
12、推出如下结论：由这一体积变化规律，可推出如下结论：在表面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。在表面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。【和最小的规律】几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相【排序不等式排序不等式】对于两个有序数组：对于两个有序数组：a1a2an 及及b1b2bn，则则a1b1+a2b2+anb抇抇n（同序）（同序）Ta1b抇抇1+a2b抇抇2+anb抇抇n（乱序）（乱序）a1b n+a2bn-1+anb1（倒序）（其中（倒序）（其中b抇抇1、b抇抇2、b抇抇n 为为b1、b2、bn的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且
13、仅当仅当a1=a2=an，或，或b1=b2=bn时，式中等号成立。）由这一不等时，式中等号成立。）由这一不等式可知，同序积最大，倒序积最小。式可知，同序积最大，倒序积最小。例题：设有10个人各拿一只水桶，同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第一、第二、九、十个人的桶，分别需要1、2、3、9、10分钟。问：如何安排这10个人的排队顺序，可使每个人所费时间的总和尽可能少？这个总费时至少是多少分钟？【排序不等式】解 设每人水桶注满时间的一个有序数组为：1，2，3，9，10。打水时，等候的人数为第二个有序数组，等候时间最长的人数排前，这样组成 1，2，3，9，10。根据排序不等式，最小积的和为倒序，即
14、110+29+38+47+56+65+74+83+92+101=（110+29+38+47+56）2=（10+18+24+28+30）2=220（分钟）其排队顺序应为：根据注满一桶水所需时间的多少，按从少到多的排法。解 设每人水桶注满时间的一个有序数组为：1，2，3，9最优方案与最佳策略最优方案与最佳策略 例1 某工厂每天要生产甲、乙两种产品，按工艺规定，每件甲产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、1、4、0小时；每件乙产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、2、0、4小时。已知A、B、C、D四台设备，每天最多能转动的时间分别是12、8、16、12小时。生产一件甲产品该厂得利
15、润200元，生产一件乙产品得利润300元。问：每天如何安排生产，才能得到最大利润？（中国台北第一届小学数学竞赛试题）最优方案与最佳策略例1 某工厂每天要生产甲、乙两种产品，按工 讲析：设每天生产甲产品讲析：设每天生产甲产品a件，乙产品件，乙产品b件。由于设备件。由于设备A的转动时间每天最多为的转动时间每天最多为12小时，则有：（小时，则有：（2a2b）不超过）不超过12。又（又（a2b）不超过）不超过8，4a不超过不超过16，4b不超过不超过12。由以上四个条件知，由以上四个条件知，当当b取取1时，时，a可取可取1、2、3、4；当当b取取2时，时，a可取可取1、2、3、4；当当b取取3时，时，
16、a可取可取1、2。这样，就是在以上情况下，求利润这样，就是在以上情况下，求利润200a300b的最大值。可列表如下：的最大值。可列表如下：所以，每天安排生产4件甲产品，2件乙产品时，能得到最大利润1400元。讲析：设每天生产甲产品a 件，乙产品b 件。由于设备A 的转动时间【最佳策略】【最佳策略】例1 A、B二人从A开始，轮流在1、2、3、1990这1990个数中划去一个数，直到最后剩下两个数互质，那么B胜，否则A胜。问：谁能必胜？制胜的策略是什么？（中华电力杯少年数学竞赛试题）讲析：将这1990个数按每两个数分为一组；（1、2），（3、4），（5、6），（1989、1990）。当A任意在括号中划去一个时，B就在同一个括号中划去另一个数。这样B就一定能获胜。例2 桌上放有1992根火柴。甲乙两人轮流从中任取，每次取得根数为1根或2根，规定取得最后一根火柴者胜。问：谁可获胜？（1992年乌克兰基辅市小学数学竞赛试题）讲析：因为两人轮流各取一次后，可以做到只取3根。谁要抢到第1992根，谁就必须抢到第1989根，进而抢到第1986、1983、1980、6、3根。谁抢到第3根呢？自然是后取的人。即后取的可以获胜。【最佳策略】下课
