1、高一第一学期期末物理复习极值问题例1、有一小船在渡河，如图所示，在离对岸30m时，其下游40m处有一危险水域，假若水流速度为5m/s，为了使小船在危险水域之前到达对岸，求小船从现在起，相对于静水的最小速度。解答：解答：如图，设水流相对岸的速度为V1，小船相对水的速度V2，小船相对岸的速度V是V1和V2的叠加，三者组成矢量三角形。当小船到达对岸恰好在危险水域前时，V指向对岸与危险水域交界处，即V方向确定，由矢量三角形易知V2垂直于V时，V2最小。设V2与水流方向的锐角夹角成a，则有 V2=V1cosa由位移关系可得 cosa=3/5解得最小速度 V2=3m/s，a=53船头指向与水流方向应成18
2、0-53=127一、物理矢量图法变式：如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点。现用水平力 F 缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是（）A.FN保持不变，FT不断增大B.FN不断增大，FT不断减小C.FN保持不变，FT先增大后减小 D.FN不断增大，FT先减小后增大 解答：解答：由于用水平力F缓慢推动斜面体，小球处于动态平衡。小球受到大小方向不变的重力、方向不变的斜面支持力、方向大小均变化的细线拉力，三力构成封闭的三角形，画出小球受力动态图，如图所示。当细线与
3、斜面平行时，细线拉力FT2与支持力方向垂直，细线拉力FT2最小。当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，细线拉力为FT4，所以F，先减小后增大。而此过程中斜面对小球的支持力FN一直增大。选项D正确。一、物理矢量图法例2、质量为m的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为要使物体做匀速直线运动，拉力的最小值是多少?解答解答:如图，物体受到四个力而平衡：重力G、拉力T、水平面支持力N、摩擦力f.注意到不管支持力N与摩擦力f多大，这两个力都互相垂直且比值一定，N与f的合力F在一个确定的方向上，这样问题转化为本类型的三力平衡问题：方向确定大小未定的F、方向和大小都确定的重力G、方向和大小都未定的拉
4、力T，如图构成矢量三角形，当T和F垂直时，T取最小值，设拉力与水平面夹角为a，由几何关系：由题意：f=uN可求得：一、物理矢量图法变式：一个质量为m的物块放在倾角=30的斜面上时恰好能匀速下滑。如果在物块上施力F如图所示，要求它能沿斜面匀速上滑，并且该力取最小值，那么力F与斜面间的夹角应该为多大?这个最小力为多大?解答：解答：设物块与斜面间的动摩擦因数为u，根据物块沿斜面匀速下滑的条件，有:mgsina=mgcosa 得：u=tana 设物块沿斜面上滑时受到的摩擦力为f，支持力为N，它们两者的合力为R。于是，物块上滑时就可以从原来所受的四个力转化为只受三个力作用。设合力R与N之间的夹角为，如图
5、所示。即合力的方向一定。因此，根据三个共点力平衡的条件可知，当拉力的方向垂直于R的方向时，F有最小值，其值为：一、物理矢量图法则有：NftanmgmgmgF232sin)sin(min 对于一元二次函数y=ax+bx+c（a0）来说：当x=-b/2a时，有最值；且最值公式为：（4acb）/4a当a0时，为最小值，当a0，根据二次式的性质，s有极小值.即当时两车相距最近。此时例1、甲、乙两地相距l=200km，汽车以速度V1=40km/h从甲地向正西方向的乙地行驶，同时有一摩托车以速度V2=30km/h从乙地向着正南方向行驶。试问：两车何时相距最近?最近距离是多少?二、二次函数极值法212222
6、122222112222122)(2)()(ltlvtvvtvtvtlvltvtvlshhvvlvabt513900160040200)(22222211变式：如图所示，一小球由距地面高为处自由下落，下落h时与斜面相碰，碰后小球以原速率水平抛出。当h为多大时小球落地时的水平位移x最大?二、二次函数极值法一元二次方程根的判别式关于x的一元二次方程：ax+bx+c=0 (a#0)用配方法可得：=b-4ac称为根的判别式。0，则方程有两个不相等的实数根=0，则方程有两个相等的实数根0，则方程没有实数根反过来也成立。根的判别式主要用来解决以下两类问题：(l)不解方程，判断方程实数根的情况；(2)根据方
7、程实数根的情况，确定方程中某一字母系数的取值范围。以上结果，由此可用于解决物理问题中的极值问题，可谓别开生面、另辟蹊径，令人耳目一新。三、二次判别式法例1、质量为m的小木块放在水平地面上，已知木块与地面间的动摩擦因数为u。那么，为了使木块移动，所需的最小作用力为多大?【解析】设所加外力与水平方向的夹角为，当物体匀速移动时，则Fcos=u(mg-Fsin）对上式进行变换，得到一个关于cos的二次方程其判别式为：解得：所以，施加的最小作用力为：三、二次判别式法例2、如图所示，倾角为30的足够长的光滑斜面下端与一足够长的光滑水平面相接，连接处用一光滑小圆弧过渡，斜面上距离水平面高度分别为h1=5m和
8、h2=0.2m的两点上各静止放置一小球A和B。某时刻由静止释放球，经过一段时间t后，再由静止开始释放B球。g取10m/s2 (1)为了保证A、B两球不会在斜面上相碰，t最长不能超过多少?(2)若A球从斜面上h1高度处自由下滑的同时，B球受到恒定外力作用从C点以加速度a由静止开始向右运动，则加速度a最大为多大时，A球能够追上B球?【解析】(1)两球在斜面上下滑的加速度相同，设加速度为ao，由牛顿第二定律得mgsin 30=mao 解得 ao=5m/s 设A、B两球下滑到斜面底端所用时间分别为t1,和t2,则有 解得：t1=2s;t2=0.4s 为了保证A、B两球不会在斜面上相碰，t最长不能超过t
9、=t1-t2=1.6s(2)A球运动到C点时速度v=aot1=10m/s设A球在水平面上再经过to追上B球，则有:a(to十t1)/2=vto代入相关数据得ato+2(2a-10)to+4a=0这是关于to的一元二次方程，此方程有实数解的判别式条件：=2(2a-10)-4a4a0解得：a2.5m/s即B球加速度a最大为2.5m/s时，A球能够追上B球。22002210012130sin,2130sintahtah三、二次判别式法对于三角函数极值问题:(1)对于y=sin(x+xo)或y=cos(x+xo)来说，用0或/2或等取其最大值或最小值即可。(2)对于y=sinxcosx可利用二倍角公式
10、转化后分析其极值。(3)对于y=sincos 或 sincos的三角函数可用均值不等式求解其极，本公众在很早之前就专门讨论过，并举出大量实例。(4)对于y=asin+bcos的三角函数可化成 y=a+bsin(+)(式中tan=b/a),根据正弦函数的最大值等于1得出物理量的极值。四、三角函数极值法2222cos,sinbabbab例1、某人用细绳拉物体沿水平地面运动，若物体质量为m，物体与地面间的动摩擦因数，则当拉绳方向与地面成多大角度时最省力?解答：解答：设物重为G，绳中拉力为F，绳与地面的夹角为，则：利用三角函数求极值的方法，即得拉力极小的极小值及对应角度：=2624四、三角函数极值法例
11、2、如图所示，木板与水平地面间的夹角可以随意改变，当=30时，可视为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑。若让该小物块从木板的底端以大小恒定的初速率vo=10m/s的速度沿木板向上运动，随着的改变，小物块沿木板滑行的距离x将发生变化，重力加速度g取10m/s(1)求小物块与木板间的动摩擦因数；(2)当角满足什么条件时，小物块沿木板滑行的距离最小，并求出此最小值。【解析】对物体受力分析如下图：四、三角函数极值法均值定理，又称基本不等式。主要内容为：对于任意两个正实数a、b，都有 当且仅当a=b时，等号成立。还可以表示为：当且仅当a1=a2=a3=a4.时取等号。五、均值定理极值法例1、在一个盛水
12、容器的侧壁开有一个小孔，使水从小孔射出。试问：小孔应该在水面下多深处，才能使得从小孔喷出的水射程最大?【解析】设容器中水面离桌面高H，小孔在水面下h处。由机械能守恒得从小孔射出的水流初速度为：v=2 g h 从小孔喷出的水流做平抛运动，它在空中运动时 间和水平射程分别为因为h+(H-h)=H是个定值，所以当h=H-h，即 h=H/2时，水平射程由最大值，其值为：Smax=Hg五、均值定理极值法变式1、如图所示，质量m=0.5kg的小球（可视为质点）从A点以速度v0水平抛出后撞到竖直挡板上，已知挡板与AB平行，间距为x=2m，AB高足够高，空气阻力不计，g=10m/s，求小球在A点以多大的初速度
13、抛出时，小球撞到挡板上的速度最小？速度最小值为多少？五、均值定理极值法练习、如图所示，在粗糙水平台阶上静止放置一质量m=0.5 kg的小物块，它与水平台阶表面间的动摩擦因数=0.5，且与台阶边缘O点的距离s=5 m。在台阶右侧固定了一个以O点为圆心的圆弧形挡板，并以O点为原点建立平面直角坐标系。现用F=5N的水平恒力拉动小物块，一段时间后撤去拉力，小物块最终水平抛出并击中挡板。(g取10 m/s）(1)若小物块恰能击中挡板的上边缘P点,P点的坐标为(1.6 m,0.8 m),求其离开O点时的速度大小;(2)为使小物块击中挡板,求拉力F作用的距离范围;(3)改变拉力F的作用时间,使小物块击中挡板的不 同位置,求击中挡板时小物块动能的最小值.(结果可保留根式)五、均值定理极值法
