1、人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册 问题问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？什么叫圆心角？指出图中的圆心角？顶点在圆心顶点在圆心的角叫圆心角的角叫圆心角,BOC.问题问题2 如图，如图，BAC的顶点和边有哪些特点的顶点和边有哪些特点?A BAC的顶点在的顶点在O上，角的两边分别交上，角的两边分别交O于于B、C两点两点.导入新知导入新知1.理解理解圆周角圆周角的概念，的概念，会叙述并证明会叙述并证明圆周角定理圆周角定理.3.理解掌握理解掌握圆周角定理的推论圆周角定理的推论及其证明过程及其证明过程.2.掌握圆周角与圆心角的关系并掌握圆周角与圆心角的关系并能运用能运用圆周角定圆周角定
2、理理解决简单的几何问题解决简单的几何问题.4.掌握掌握圆内接多边形圆内接多边形的概念的概念及及圆内圆内接四边形接四边形的的性质并能运用其性质进行计算性质并能运用其性质进行计算.素养目标素养目标顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角圆周角.（两个条件必须同时具备，缺一不可）探究新知探究新知知识点 1COABCOBCOBAACOABCOBCOBAA 练一练练一练：下列各图中的下列各图中的BAC是否为圆周角是否为圆周角并简述理由并简述理由.（2）（1）（3）（5）（6）顶点不在圆上顶点不在圆上边AC没有和圆相交探究新知探究新知 如图，连接如图，连接BO、C
3、O，得圆心角，得圆心角BOC.试猜想试猜想BAC与与BOC存在怎样的数量关系存在怎样的数量关系.12BACBOC 探究新知探究新知知识点 2测量与猜想测量与猜想圆心圆心O 在在BAC 的的 内部内部圆心圆心O在在BAC的的一边上一边上圆心圆心O在在BAC的的外部外部探究新知探究新知推导与论证推导与论证n 圆心圆心O在在BAC的一边上（特殊情形）的一边上（特殊情形）OA=OCA=CBOC=A+C12BACBOC证明：证明：探究新知探究新知OABCDn 圆心圆心O在在BAC的内部的内部11()22BACBADDACBODDOCBOC 证明：证明：连接连接AO并延长交并延长交 O于于D.探究新知探究
4、新知BCOADn 圆心圆心O在在BAC的外部的外部证明：证明：连接连接AO并延长交并延长交 O于于点点D.探究新知探究新知探究新知探究新知圆周角定理圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；问题问题1 如图，如图，OB，OC都是都是 O的半径，点的半径，点A,D 是上是上任意两点，连接任意两点，连接AB，AC，BD，CD.BAC与与BDC相等吗？请说明理由相等吗？请说明理由.D1,2BACBOC 1,2BDCBOCBAC=BDC答：答：相等相等.证明：证明：在在 O中中，探究新知探究新知互动探究互动探究DABOCEF问题问题2 如图，若如图，若 A与与B相等吗？相等吗？，CDEF
5、，CDEF 答：答：相等相等.CODEOF ，1122ACODBEOF.AB 想一想：想一想：(1)反过来，若反过来，若A=B，那么，那么 成立吗？成立吗？CDEF(2)若若CD是直径，你能求出是直径，你能求出A的度数吗？的度数吗？证明：证明：连接连接OC，OE，OD，OF成立成立90探究新知探究新知DABOCEF答：答：相等相等.CODEOF ，1122ACODBEOF.AB 证明：证明：连接连接OC，OE，OD，OF探究新知探究新知A1A2A3探究新知探究新知圆周角定理的推论圆周角定理的推论同弧或等弧所对同弧或等弧所对的的圆周角相等圆周角相等.试一试试一试 如图，点如图，点A、B、C、D在
6、在O上，点上，点A与点与点D在在点点B、C所在直线的同侧，所在直线的同侧，BAC=35.(1)BOC=，理由，理由是是 ;(2)BDC=，理由是，理由是 .7035同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角相等一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半探究新知探究新知 如图，线段如图，线段AB是是O的直径，点的直径，点C是是 O上的任上的任意一点（除点意一点（除点A、B外），那么，外），那么，ACB就是直径就是直径AB所对的圆周角，想一想，所对的圆周角，想一想，ACB会是怎样的角？会是怎样的角？OACB解解：OA=OB=OC，AOC、BOC都是等腰三角形都是
7、等腰三角形.OAC=OCA，OBC=OCB.又又 OAC+OBC+ACB=180.ACB=OCA+OCB=1802=90.探究新知探究新知探究新知探究新知圆周角和直径的关系圆周角和直径的关系半圆或直径所对的圆周角是半圆或直径所对的圆周角是直角直角，90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是直径直径.例例1 如图，如图，AB是是O的直径，的直径，A=80.求求ABC的的大小大小.OCAB解：解：AB是是O的直径的直径，ACB=90ABC=180-A-ACB =180-90-80=10.利用圆周角定理及推论求角的度数利用圆周角定理及推论求角的度数素养考点素养考点 1探究新知探究新知1.如图，如图，A
8、B是是 O的直径，的直径，A10，则则ABC_巩固练习巩固练习80例例2 如图，分别求出图中如图，分别求出图中x的大小的大小.60 x3020 x解：解：(1)同弧所对圆周角相等同弧所对圆周角相等，x=60.ADBEC(2)连接连接BF，F同弧所对圆周角相等同弧所对圆周角相等，ABF=D=20，FBC=E=30.x=ABF+FBC=50.60 xABDC探究新知探究新知2.如图如图,正方形正方形ABCD的顶点都在的顶点都在O上上,P是弧是弧DC上的一点上的一点,则则BPC=_.解析：解析：连接连接BD,则则BD是直径是直径,BCD是等腰直角三角形是等腰直角三角形,BDC=45,BPC=BDC=
9、45.巩固练习巩固练习45 例例3 如如图，图，O的直径的直径AC为为10cm，弦，弦AD为为6cm.（1）求）求DC的长的长；（2）若）若ADC的平分线交的平分线交 O于于B,求求AB、BC的长的长B解解：(1)AC是直径是直径，ADC=90.在在RtADC中中，22221068;D CA CA D利用圆周角定理及推论进行计算及证明线段相等利用圆周角定理及推论进行计算及证明线段相等素养考点素养考点 2探究新知探究新知在在RtABC中中，AB2+BC2=AC2，(2)AC是直径是直径,ABC=90.BD平分平分ADC,ADB=CDB.又又ACB=ADB,BAC=BDC.BAC=ACB,AB=B
10、C.22105 2(cm).22ABBCACB解题妙招解题妙招在圆周角问题中，若题在圆周角问题中，若题干中出现干中出现“直径直径”这个这个条件，则找直径所对的条件，则找直径所对的圆周角，通过圆周角，通过构造直角构造直角三角形三角形来解决。来解决。探究新知探究新知3.如图，如图，BD是是 O的直径，的直径，CBD30，则则A的度数为的度数为()A30 B45 C60 D75C巩固练习巩固练习 如果如果一个多边形所有一个多边形所有顶点都在同一个圆上顶点都在同一个圆上，这个多边形，这个多边形叫做叫做圆内接多边形圆内接多边形，这个圆叫做这个，这个圆叫做这个多边形的外接圆多边形的外接圆.探究新知探究新知
11、知识点 3 如图，四边形如图，四边形ABCD为为 O的内接四边形，的内接四边形，O为四边形为四边形ABCD的外接圆的外接圆.猜想：猜想：A与与C,B与与D之间之间的关系为：的关系为：A+C=180，B+D=180想一想：想一想：如何证明你的猜想呢？如何证明你的猜想呢？探究新知探究新知探究性质探究性质 弧弧BCD和弧和弧BAD所对的圆心角的和是周角，所对的圆心角的和是周角，AC180，同理同理BD180，推论：推论：圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补.证明：证明：探究新知探究新知CODBA 弧弧BCD和弧和弧BAD所对的圆心角的和是周角，所对的圆心角的和是周角，AC180，同理同理BD
12、180，EBCDDCE180.ADCE.想一想：想一想：图中图中A与与DCE的大小有何关系？的大小有何关系？探究新知探究新知推论：推论：圆的内接四边形的任何一个圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角外角都等于它的内对角.CODBAE探究新知探究新知例例4 如如图，图，AB为为 O的直径，的直径，CFAB于于E，交，交 O于于D，AF交交 O于于G.求证：求证：FGDADC.证明：证明：四边形四边形ACDG内接于内接于 O，FGDACD.又又AB为为 O的直径，的直径，CFAB于于E，AB垂直平分垂直平分CD，ACAD，ADCACD，FGDADC.素养考点素养考点3圆内接四边形性质的应用圆
13、内接四边形性质的应用素养考点素养考点 3探究新知探究新知4.如图，在如图，在 O的内接四边形的内接四边形ABCD中，中，BOD120，那么，那么BCD是是()A120 B100C80 D60A巩固练习巩固练习1.如如图，图，O中，弦中，弦BC与半径与半径OA相交于点相交于点D，连接，连接AB，OC若若A=60，ADC=85，则，则C的的度数是（）度数是（）A25 B27.5C30 D35巩固练习巩固练习连 接 中 考连 接 中 考D2.如如图，点图，点B，C，D在在 O上，若上，若BCD=130，则则BOD的度数是（的度数是（）A50B60C80D100解析：解析：圆上取一点圆上取一点A，连接
14、，连接AB，AD，点点A、B、C、D在在 O上上BCD=130，BAD=50，BOD=100巩固练习巩固练习连 接 中 考连 接 中 考D1.判断判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角）同一个圆中等弧所对的圆周角相等（相等（）（2）相等的弦所对的圆周角也）相等的弦所对的圆周角也相等（相等（）（3）同弦所对的圆周角）同弦所对的圆周角相等（相等（）课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题2.已知已知ABC的三个顶点在的三个顶点在 O上上,BAC=50,ABC=47,则则AOB=BACO166课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题3.如图，已知如图，已知BD是是 O的直径，的
15、直径，O的弦的弦ACBD于于点点E，若，若AOD=60，则，则DBC的度数为（的度数为（）A.30 B.40 C.50 D.60A课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题ABCDO4.如图，四边形如图，四边形ABCD内接于内接于 O,如如BOD=130则则BCD的度数是（的度数是（）A.115 B.130 C.65 D.50C课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题AOBCACB=2BAC证明：证明：如图，如图，OA，OB，OC都是都是 O的半径，的半径，AOB=2BOC.求证：求证：ACB=2BAC.QACBAOB1,21,2BACBOCAOB=2BOC，课堂检测课堂
16、检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题 船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经表示灯塔，暗礁分布在经过过A、B两点的一个圆形区域内，优弧两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点上任一点C都是有触礁危险的临界点，都是有触礁危险的临界点，ACB就是就是“危险角危险角”，当船位于安全区，当船位于安全区域时，域时，与与“危险角危险角”有怎样的有怎样的大小关系？大小关系？课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题解：解：当船位于安全区域时，即船位当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即于
17、暗礁区域外（即O外）外），与两，与两个灯塔的夹角个灯塔的夹角小于小于“危险角危险角”.即：在即：在 O中，中，ACB=AEB在在PEB中，中，AEB=ACB=课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题圆心角圆心角类比圆周角圆周角圆周角定义圆周角定义圆周角定理圆周角定理圆周角定理的圆周角定理的推论推论在同圆或等圆中，同弧在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等圆周角所对的弧相等.1.90的圆周角的圆周角所对的弦是直径；所对的弦是直径；2.圆内接四边形圆内接四边形的对角互补的对角互补.1.顶点在圆上，顶点在圆上，2.两边都与圆相两边都与圆相交的角（二者必交的角（二者必须同时具备）须同时具备）圆周角与直圆周角与直径径的的关系关系半圆或直径半圆或直径所对的圆周所对的圆周角是直角角是直角.课堂小结课堂小结课后作业课后作业作业作业内容内容教材作业教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排自主安排配套练习册练习配套练习册练习
