1、第一章 二次函数 1.2 二次函数的图象与性质学习目标学习目标1.进一步熟悉作函数图象的方法与步骤，会画二次函数图象进一步熟悉作函数图象的方法与步骤，会画二次函数图象.2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握二次逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握二次函数的主要性质函数的主要性质.3.能够根据函数图象判断该函数的一些性质，如：根据二次能够根据函数图象判断该函数的一些性质，如：根据二次函数图象判断其开口方向，对称轴以及其增减性等函数图象判断其开口方向，对称轴以及其增减性等.情景导入正比例函数，反比例函数，一次函数的图象是怎么样的？二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数
2、的图象？xyO画函数图象的步骤（描点法）：列表、描点、连线.思考思考1：观察右图，点：观察右图，点A与点与点A，点，点B与点与点B，它们有什，它们有什么关系？取更多的点试试，你能么关系？取更多的点试试，你能得出函数得出函数y=x2的图象关于的图象关于y轴对轴对称吗？称吗？画二次函数y=x2的图象1.列表列表x-3-2 -1012 3y94190142.描点描点1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5AABBy=x23.连线连线 思考思考2：观察右图，：观察右图，y轴右边轴右边描出的各点，当横坐标增大时，描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标有什么变化？纵坐标有什么变化？y
3、轴右边的轴右边的所有点都具有纵坐标随着横坐标所有点都具有纵坐标随着横坐标的增大而增大的特点吗？的增大而增大的特点吗？可以证明y=x2的图象关于y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”.思考思考观察发现 1 我们已经正确画出了y=x2的图象，因此，现在可以从图象（见图）看出 y=x2 的其他一些性质（除了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外）：对称轴与图象的交点是_；图象的开口向_；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_，简称为“左降”；当 x=_时，函数值最_O(0,0)上上减小减小0 0小小类似地，当a0时，y=ax2的图象也具有上述性质
4、，于是我们在画y=ax2(a0)的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因为我们知道了图象的性质）【例1】画二次函数 的图象212yx解：解：因为二次函数的图像关于y轴对称，因此列表时，自变量x应该从原点的横坐标0开始取值.x0123.212yx00.524.5描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如右图.连线：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分（把y轴左边的对应点和原点用一
5、条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了 的图象如右图.212yx1234123412345AABB212yx1.抛物线y=6x2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在对称轴 侧，y随着x的增大而增大；在对称轴 侧，y随着x的增大而减小，当x=时，函数y的值最小，最小值是 ，抛物线y=6x2在x轴的 方(除顶点外).（0,0）y轴右左00上练习练习根据右图可以看出：共同点：开口方向一致，均向上；对称轴都是直线x=0；顶点坐标都是（0,0）；当x0时，y都随着x增大而增大，当x0时，y都随着x增大而减小.不同点：图象的开口大小不同，y=2x2图象开口较小.2.在同一坐标系中画出二次函数y=2x2及的图象并
6、比较它们的共同点和不同点.221xy 解：列表描点：先描出对称轴左侧的点，再利用对称性描出对称轴右侧的点.连线x00.5124y=2x200.52800.528221xy 86421234-1-2-3-4y=2x2221xy 我们已经会画 的图象，能不能从它得出函数 的图像呢？212yx221xy212yx212yx-224-4PQ24-2-41.在 的图象上任取一点P（），它关于x轴的对称点Q的坐标是（）.212yx21,2aa21,2aa2.从点Q的坐标可以看出，点Q在 的图象上.所以 的图象与 的图象关于x轴对称.212yx212yx 212yx 3.把 的图象沿着x轴翻折并将图象“复制
7、”出来，就可以得到 的图象.212yx212yx 练习练习观察发现 2 我们已经正确画出了 的图象，因此，现在可以从图象（见图）看出 的其他一些性质：对称轴是 轴，对称轴与图象的交点是_；图象的开口向_；图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而_，简称为“右降”；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_，简称为“左升”；当 x=_时，函数值最_O(0,0)下下减小减小0 0大大221xy221xyy增大增大x-2-1.5-1-0.50 0.5 1 1.5 2y=x2 4 2.25 1 0.250 0.25 1 2.25 4y=-x2-4-2.25-1-0.250-0.25
8、-1-2.25-4【例2】画二次函数y=x2和y=-x2的图象 列表列表描点描点连线连线注意：列表时自变量注意：列表时自变量取值要均匀和对称取值要均匀和对称.2xy2xy 解析式解析式y=ax2y=-ax2顶点坐标顶点坐标（0,0）对称轴对称轴y轴位置位置x轴上方x轴下方开口方向开口方向向上向下y=ax2与y=-ax2关于x轴对称推论增减性增减性当当x0时，时，y随随x增增大而增大；当大而增大；当x0时时y随随x增大而减小增大而减小.当当x0时，时，y随随x增增大而减小；当大而减小；当x0时时y随随x增大而增大增大而增大.极值极值当当x=0时，时，ymin=0当当x=0时，时，ymax=03.
9、抛物线y=-6x2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在对称轴 侧，y随着x的增大而增大；在对称轴 侧，y随着x的增大而减小，当x=时，函数y的值最大，最小值是 ，抛物线y=-6x2在x轴的 方(除顶点外).（0,0）y轴左右00下练习练习4.在同一坐标系中画出二次函数y=-2x2及的图象并比较它们的共同点和不同点.221xy解：列表描点连线x00.5124y=-2x20-0.5-2-80-0.5-2-8221xy42-2-4-2-4-6-8y=-2x2221xy根据右图可以看出：共同点：开口方向一致，均向上；对称轴都是直线x=0；顶点坐标都是（0,0）；当x0时，y都随着x增大而减小，当x0时，y都
10、随着x增大而增大.不同点：图象的开口大小不同，y=2x2图象开口较小.根据练习2、4可以看出丨a丨大的，开口较小.如图，在铅球比赛中，铅球沿着一条曲线运动，它与二次函数y=ax2（a0）的图象相像吗？联系实际242424 以铅球在空中经过 的路线的最高点为原点建立直 角坐标系，x轴的正方向水平向右，y 轴的正方向竖直向上，则可以看出铅球在空中经过的路程是形如y=ax2（a0）的图象的一段.由此受到启发，我们把二次函数y=ax2的图象这样的曲线叫做抛物线，简称抛物线y=ax2.意大利著名科学家伽利略将炮弹发射经过的路线命名为“抛物线”.把二次函数 的图象E向右平移1个单位，得到图形F，如下图所示
11、：抛物线F是哪个函数的图象呢？212yxE F1 2 3 412345123O思考思考由于平移不改变图形的形状和大小，因此在向左平移1个单位后：原像原像像像抛物线E：.图形F也是抛物线.E的顶点O（0,0）F的顶点O（1,0）E的对称轴是直线l（与y轴重合）F的对称轴是直线l（过点O且与y轴平行）E开口向上F开口向上212yx在抛物线 上任取一点 ，那么在向右平移一个单位后，点P的像点Q的坐标是什么？212yx221,aaP把点P的横坐标a加1，纵坐标不变，就得到像点Q的坐标为 221a.21,12aa记b=a+1，则a=b-1，从而点Q的坐标为这表明：点Q在函数 的图象上.由此得出，抛物线F
12、是函数 的图象.函数 的图象是抛物线F，它的开口向上，顶点是O（1,0），对称轴是过点O（1,0）且平行于y轴的直线l.直线l是由横坐标为1的所有点组合成的，我们把直线l记作直线x=1.121,2bb2121xy2121xy2121xy观察发现 3二次函数y=a(x-h)2的图象是抛物线，它的对称轴是直线 ，它的顶点坐标是 .当a0时，抛物线的开口向 ；当a0时，抛物线的开口向 .x=h(h,0)上下【例3】画函数y=(x-2)2的图象解：抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2,0).列表：自变量x从顶点的横坐标2开始取值.x2345y=(x-2)201491234-1-2
13、-3-46284描点和连线：先描对称轴右半部分的点，利用对称性描左半部分的点，用平滑的曲线进行连线，即可得到y=(x-2)2的图象.5.说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.21(1)(5)3yx对称轴 x=5顶点坐标（5，0）开口向上2(2)3(2)yx 对称轴 x=-2顶点坐标（-2，0）开口向下练习练习6.画二次函数 y=-(x-1)2的图象.x11.5233.5 y=-(x-1)200.25146.25-2-424-2-4如何画二次函数 的图象？31212xy我们先来探究 与 之间的关系.31212xy2121xy二次函数二次函数图象上的点图象上的点横坐标x纵坐标yaa3
14、1212xy2121xy2121a31212a思考思考从表中可以看出：对于每一个给定的x值，函数的值都要比 的值大3，由此可见函数 的图象可由函数 的图象平移三个单位得到.31212xy2112yx31212xy2112yx1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5二次函数 的图象也是抛物线，它的对称轴为直线x=1（与抛物线 的对称轴一样），顶点坐标为（1,3）（它是由抛物线 的顶点（1,0）向上平移3个单位得到的），它的开口向上.31212xy2121xy2121xy观察发现 4一般地，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是抛物线.抛物线抛物线y=a(x-h)2+k对
15、称对称轴轴顶点顶点坐标坐标开口开口方向方向最值最值性质性质在对称轴左边在对称轴右边a0a0 x=h(h,k)向下当x=h时，有最大值y=ky随x的增大而减小y随x的增大而增大x=h(h,k)向上当x=h时，有最小值y=ky随x的增大而减小y随x的增大而增大画画y=a(x-h)2+k图象的步骤：图象的步骤：1.写出对称轴和顶点坐标，并在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；2.列表（自变量x从顶点的横坐标开始取值），描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；3.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分（只要先把对称轴左边的对称点描出来，然后用光滑的曲线顺次连接它们和顶点）.【例4】画二次函数 的图象
16、31212xy解：对称轴是x=-1，顶点坐标为（-1，-3）.列表：自变量x从顶点的横坐标-1开始取值.x-10123-3-2.5-11.5531212xy描点和连线：利用对称性画出图象在对称轴左边的部分.画出图象在对称轴右边的部分.24-2-4-2-424【例5】已知某抛物线的顶点坐标为（-2,1）且与y轴相交于点（0,4）求这个抛物线所表示二次函数的表达式.解：由于点(-2,1)是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数表达式为y=a(x+2)2+1.由函数图象过点(0,4)，可得 4=a(0+2)2+1，解得 因此，所求的二次函数表达式为 43a.4343124322xxxyy=a
17、x2y=a(x-h)2y=ax2+ky=a(x-h)2+k上加下减向上（k0）、下（k0）平移|k|个单位上加下减向上（k0）、下（k0）平移|k|个单位左加右减左加右减平移|h|个单位向右(h 0)、左（h 0）平移|h|个单位向右(h 0)、左（h 0）总结归纳7.说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.795212xy）（对称轴 x=9顶点坐标（9，7）开口向上13183122xy）（对称轴 x=-18顶点坐标（-18，-13）开口向下练习练习8.怎样由y=2x2的图象得到y=-2(x-2)2+3的图象.答：先将y=2x2的图象关于x轴对称得到 y=-2x2的图象.再将y=-
18、2x2的图象向右平移两个单位得到y=-2(x-2)2的图象.再将y=-2(x-2)2的图象向上平移三个单位即可得到y=-2(x-2)2+3的图象.答：先将y=2x2的图象向右平移两个单位得到y=2(x-2)2的图象.再将y=2(x-2)2的图象向上平移三个单位得到y=2(x-2)2+3的图象.再将y=2(x-2)2+3的图象关于x轴对称即可得到y=-2(x-2)2+3的图象.9.已知抛物线的顶点坐标为（-3,2），且经过点（-1,0），求这个抛物线所表示的二次函数表达式.解：由于点（-3,2）是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的表达式为y=a(x+3)2+2.由函数图象过点（-1
19、,0），可得 0=a(-1+3)2+2，解得 a=因此，所求二次函数表达式为 .21.23212xy如何画二次函数y=-2x2+6x-1的图象？我们已经会画y=a(x-h)2+k的图象了，因此只需把-2x2+6x-1配方成-2(x-h)2+k的形式就可以了.配方：y27232149223212323321321622222222xxxxxxxx思考思考23x27,23对称轴是直线 ，顶点坐标是 .23列表：自变量x从顶点的横坐标 开始取值.x1.522.533.5272322xy3.531.5-1-4.51234-1-2-3-41324-5-1描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性
20、，画出图象在对称轴左边的部分.当x等于多少时，函数y=-2x2+6x-1的值最大？这个值是多少？当x等于顶点的横坐标 时，函数值最大，这个最大值等于顶点的横坐标 .2327观察发现 5一般地，二次函数y=ax2+bx+c，当x等于顶点的横坐标时，达到最大值(a0)或最小值(a0)，这个最大（小）值等于顶点的纵坐标.【例6】求二次函数 的最大值.12212xxy解：配方：y 顶点坐标是（2,1），于是当x=2时，y达到最大值为1.122114212211224211221222222xxxxxx总结归纳一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c进行配方：.4424222222222222abaca
21、bxacabaabxacababxabxacbxaxy顶点坐标是：.44,22abacababx2当 时，函数达到最大值（a0）或最小值（a0）：.abac442二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，是常数，a0）图象 （a0）（a0）开口方向开口向上开口向下对称轴 直线x=坐标顶点增减性当x 时，y随x增大而减小；当x 时，y随x增大而增大.当x 时，y随x增大而增大；当x 时，y随x增大而减小.最值当x=时，y有最小值 .当x=时，y有最大值 .2ba24,24bacbaa2ba244acba2ba244acba2ba2ba2ba2baxyoxyo1.a的作用：决定开口的
22、方向和大小（1）a0，开口向上，a0开口向下.（2）|a|越大，抛物线开口越小，|a|越小，抛物线开口越大.2.b的作用：决定顶点的位置.（1）a，b同号，对称轴在y轴左侧.（2）a，b异号，对称轴在y轴右侧.（3）b0，对称轴为y轴.3.c的作用：决定抛物线与y轴的交点位置.（1）c0时，抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上.（2）c0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上.（3）c=0时，抛物线过原点.10.说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.16312xxy）（对称轴 x=1顶点坐标（1，-2）开口向上14122xxy）（对称轴 x=2顶点坐标（2，2）开口向下练习练习11.求下列二次函数的顶点坐标以及它们的最大值或最小值.2312xxy）（配方法:所以，顶点坐标为 ，有最小值为41232232332322222xxxxxy41,23.41123122xxy）（配方法:所以，顶点坐标为（-3,4），有最大值为4.4331199631163112312222xxxxxxxy通过本节通过本节课课，你有，你有什么什么收获？收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。我思 我进步
