1、九年级 数学 上册人教版人教版3.能运用垂径定理计算和证明实际问题.1.理解圆的轴对称性.2.通过对圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质.学习目标学习目标l l l 什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线如果一个图形沿一条直线对折对折，直线两旁的部，直线两旁的部分能够互相分能够互相重合重合，那么这个图形叫轴对称图形，那么这个图形叫轴对称图形线段线段角角等腰三角形等腰三角形矩形矩形菱形菱形等腰梯形等腰梯形正方形正方形圆圆复习导入复习导入圆也是轴对称图形吗？圆也是轴对称图形吗？沿着圆的任意一条直径对折沿着圆的任意一条直径对折圆是轴对称图形圆是轴对称图形探索新知探
2、索新知任何一条直径任何一条直径所在的直线所在的直线都是它的对称轴都是它的对称轴圆有哪些对称轴？圆有哪些对称轴？O探索新知探索新知OABCDE 是轴对称图形是轴对称图形大胆猜想大胆猜想已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E 左图是轴对称图形吗？左图是轴对称图形吗？探索新知探索新知已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E求证：AEBE，ACBC，ADBD证明：连接证明：连接OA，OB，则，则OAOB 垂直于弦垂直于弦AB的直径的直径CD所在的直线所在的直线 既是等既是等腰三角形腰三角形OAB的对称轴又的对称轴又 是是 O的对称轴的对称轴 当把圆沿着直径当把圆沿着直径C
3、D折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，A点和点和B点重合，点重合，AE和和BE重合，重合，AC，AD分别和分别和BC，BD重合重合 AEBE，ACBC，ADBD叠合法叠合法DOABEC 垂直垂直于弦的直径于弦的直径平分平分弦，并且平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧 DOABEC探索新知探索新知AEBEACBCADBDCD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB直径直径垂直于弦垂直于弦平分弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧题设题设结论结论DOABEC将题设与结论调换将题设与结论调换过来，还成立吗？过来，还成立吗？这五条进行这
4、五条进行排列组合，会出排列组合，会出现多少个命题？现多少个命题？探索新知探索新知 直径直径 平分弦平分弦 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （1）平分弦平分弦（不是直径）的（不是直径）的直径直径垂直于弦垂直于弦，并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧DOABEC已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CD平分平分AB求证：求证：CDAB，ADBD，ACBC探索新知探索新知一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立OABMNCD注意注意为什么强调这里为什么强调这里的弦的弦不是直径不
5、是直径？探索新知探索新知 直径直径 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 平分弦平分弦 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （2）平分弦所对的一条弧平分弦所对的一条弧的的直径直径，垂直平垂直平分弦分弦，并且，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且ACBC 求证：求证：CD平分平分AB，CD AB，ADBDDOABEC探索新知探索新知 直径直径 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 平分弦平分弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 垂直于弦垂直于弦 （2）平分弦所对的一条弧平分弦所对的一条弧的的直径直径，垂直平垂直平分弦分弦，并
6、且，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧已知：已知：CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且ADBD 求证：求证：CD平分平分AB，CD AB，ACBCDOABEC探索新知探索新知 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 直径直径 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （3）弦的）弦的垂直平分垂直平分线线 经经过圆心过圆心，并且，并且平分平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧 已知：已知：AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD AB，求证：求证：CD是直径，是直径，ADBD，ACBCDOABEC探索新知探索新知 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 直
7、径直径 平分弦平分弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 直径直径 平分弦平分弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 （4）垂直于弦垂直于弦并且并且平分弦所对的一条弧平分弦所对的一条弧的的直直线经线经过圆心过圆心，并且并且平分弦和平分弦和弦弦所对的另一条弧所对的另一条弧探索新知探索新知 平分弦平分弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 直径直径 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 （5）平分弦平分弦并且并且平分弦所对的一条弧平分弦所对的一条弧的的直直线经线经过圆心过圆心，垂直于弦垂直于弦，并且并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一
8、条弧 平分弦平分弦 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 直径直径 垂直于弦垂直于弦 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧探索新知探索新知 平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 直径直径 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 （6）平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧的的直直线经线经过圆心过圆心，并且并且垂直平分弦垂直平分弦探索新知探索新知AMBM，CMDM圆的两条圆的两条平行弦平行弦所夹的所夹的弧相等弧相等MOABNCD证明：作直径证明：作直径MN垂直于弦垂直于弦AB ABCD 直径直径MN也垂直于弦也垂直于弦CDAMCM BMDM 即即 ACBD探索新知探索新知ABCD两条
9、弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论2有这两种情况：有这两种情况：OOABCD探索新知探索新知EOABDCd+h=r222)2(adrdhar 在在a，d，r，h中，已知其中任意中，已知其中任意两个量，可以求出两个量，可以求出其他两个量其他两个量探索新知探索新知例 一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为.64 D DC CBOADO OA AB BC典题精讲典题精讲2cm或7cm问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱
10、的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？赵州桥主桥拱的半径是多少？典题精讲典题精讲37.4m7.2mABOCD典题精讲典题精讲分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形解：如图，用弧解：如图，用弧AB表示主桥拱，设其所在圆的圆心为表示主桥拱，设其所在圆的圆心为O，半，半径为径为R,经过点经过点O作弦作弦AB的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与弧与弧AB相交于点相交于点C，连接，连接OA。根据垂径定理，。根据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是弧弧AB的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高由题设可知由题设可知AB=37.4
11、m CD=7.2 m所以所以AD=0.5AB=0.537.4=18.7mOD=OC-CD=R-7.2在在RTOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2解得解得R27.9（m）因此，赵州桥的主桥拱半径约为因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m典题精讲典题精讲例 在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示。若油面宽AB600毫米，求油的最大深度。典题精讲典题精讲CD解：建立如图所示坐标系则OA=OB=OD=325mm，AC=300mm在RTACO中，由勾股定理有OA2=OC2+AC2解得OC=125则CD=OD-OC=200mm所以油的最大深度为200mmO
12、AB典题精讲典题精讲1.如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，CEB=30，DE=10，CE=2，求弦AB的长。EDOCABF222=301=22=42cmAB82O EFCEBO EcmAFAOO EAFcm解：CDCE+DE12cm OC6cm，OE4cm又 OF由 勾 股 定 理弦 的 长课堂作业课堂作业由勾股定理得FAB弦的长为 2 已知已知P为为 O内一点，且内一点，且OP2cm，如果，如果 O的半的半径是径是3cm，那么过，那么过P点的最短的弦等于点的最短的弦等于_ E D C B A P O2 5cm课堂作业课堂作业1 圆是轴对称图形圆是轴对称图形任何一条直径任何一条直径所在
13、的直线所在的直线都是它的对称轴都是它的对称轴O课堂小结课堂小结 垂直垂直于弦的直径于弦的直径平分平分弦，并且平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧 2 垂径定理垂径定理DOABEC课堂小结课堂小结 平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧的另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和弦所对的另一条弧分弦和弦所对的另一条弧平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦3垂径定理的推论垂径定理的推论 经常是过圆心作弦的经常是过圆心作弦的垂线垂线，或作，或作垂直于弦垂直于弦的直径的直径，连接半径连接半径等辅助线，为应用垂径定理等辅助线，为应用垂径定理创造条件创造条件4 解决有关弦的问题解决有关弦的问题课堂小结课堂小结
