1、数 学必修必修 人教人教A版版第一章集合与函数概念集合与函数概念13函数的基本性质函数的基本性质1.3.2奇偶性奇偶性1 1自主预习学案自主预习学案2 2互动探究学案互动探究学案3 3课时作业学案课时作业学案自主预习学案自主预习学案大自然是一个真正的设计师，它用对称的方法创造了千百万种不同的生命被誉为“上海之鸟”的浦东国际机场的设计模型，是一只硕大无比、展开双翅的海鸥它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，飞向更高、更广阔的天地，创造更新、更宏伟的业绩一些函数的图象也有着如此美妙的对称性，那么这种对称性体现了函数的什么性质呢？函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件对于f(x)定义
2、域内的任意一个x结论f(x)f(x)f(x)f(x)图象特点关于_对称关于_对称y轴原点(3)函数奇偶性的三个关注点若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数(4)奇、偶函数图象对称性的应用若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数B解析A、C、D中的图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，B中的图象关于y轴对称，是偶函数B解析yx1为非奇
3、非偶函数；yx2x为非奇非偶函数；令f(x)x2，f(x)(x)2x2f(x)，f(x)为偶函数；令g(x)x3，g(x)(x)3x3g(x)，g(x)为奇函数A8解析f(x)为3a,5上的奇函数，区间3a,5关于坐标原点对称，3a5，即a8.互动探究学案互动探究学案命题方向1 函数奇偶性的判断典例 1 思路分析(1)函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么特点？(2)判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？规律方法判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数此法多用在解选择题、填空题中分析根据函数奇偶性的定义，先
4、看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的条件(2)函数y3x21的定义域为R，关于原点对称，且f(x)3(x)213x21f(x)，y3x21是偶函数(3)显然函数f(x)的定义域关于原点对称当x0时，x0，f(x)x2x(xx2)f(x)，当x0，f(x)xx2(x2x)f(x)，f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(4)由于f(x)0f(x)，且f(x)0f(x)，f(x)0既是奇函数，又是偶函数(5)函数y2x1的定义域为R，关于原点对称f(x)2x1，f(x)2x1，f(x)f(x)，f(x)f(x)，y2x1既不是奇函数，又不是偶函数(6)函数f(x)
5、的定义域为(，1)(1，)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性命题方向2 奇、偶函数图象的应用思路分析函数f(x)为偶函数，f(x)的图象关于y轴对称，根据对称性作出函数yf(x)在x0时的图象典例 2 解析(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(1,0)，(1，)规律方法1研究函数图象时，要注意对函数性质的研究，这样可避免作图的盲目性和复杂性2利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称解析奇函数yf(x)的图象关于原点对称，则补全的图象如图，易知f(3)2.命题方向3 利用函数的奇偶性求解析式思路分析(1)如何把(，0)上的未知解
6、析式转移到(0，)上的已知解析式？(2)奇函数f(x)在x0处的函数值是多少？由函数图象关于原点对称可知yf(x)是奇函数利用奇函数性质可求得解析式典例 3 先画出函数在y轴右边的图象，再根据对称性画出y轴左边的图象如右图由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(，1、1，)，单调递减区间是1,0)、(0,1规律方法利用函数奇偶性求函数解析式利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f(x)f(x)或f(x)f(x)成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式解析设x0，f(x
7、)(x)2(x)1x2x1，f(x)为偶函数，f(x)f(x)，f(x)x2x1.当x(，0)时，f(x)x2x1.忽略函数奇偶性对定义域的限制条件导致判断错误 典例 4 错因分析要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)有时还需要在定义域制约条件下将f(x)进行变形，以利于判定其奇偶性警示1函数yf(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称2确定函数的定义域时，要针对函数的原解析式1在我们数学研究中，存在大量的恒成立问题，如：(1)f(x)在区间D上单调递增，则对任意x1，x2D，当x1x2时，f(x1)f(x2)恒成立；(2)若f(x)是奇函数，
8、定义域为M，则f(x)f(x)对任意xM恒成立；若f(x)是偶函数，定义域为M，则对任意xM，f(x)f(x)恒成立；(3)若f(x)的最大值为M，最小值为m，定义域为A，则对任意xA，有mf(x)M.解答这类问题时，应充分利用其恒成立的特点选取解答方法逻辑推理与转化思想的应用再谈恒成立问题 2遇到f(x)与f(x)的关系问题时，应首先从函数f(x)的奇偶性入手考虑，如果f(x)不具有奇偶性，看是否存在奇(偶)函数g(x)，使f(x)用g(x)表示，再利用g(x)的奇偶性来解答思路分析只有一个条件f(2)10，两个待定系数a，b，不能通过列方程组方法求出a，b.由f(2)求f(2)，我们可联想函数的奇偶性，观察f(x)的表达式有什么特征？如何借助函数的奇偶性求f(2)?典例 5 A解析为奇函数，的定义域关于原点不对称，不满足奇函数定义BB解析f(x)a(x)2ax2f(x)，f(x)为偶函数，f(a)f(a)C解析f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)，且f(0)0，f(x)f(x)f2(x)0，故选C0 解析f(x)为偶函数，则对称轴为xm0.解析(1)因为f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示(2)观察图象，知f(3)f(1)课时作业学案课时作业学案
