1、引例一、多米诺骨牌游戏引例一、多米诺骨牌游戏思考，所有多米诺牌全部倒下的条件？思考，所有多米诺牌全部倒下的条件？（1 1）第一块骨牌倒下）第一块骨牌倒下（2 2）第）第k k张骨牌倒时保证第张骨牌倒时保证第k+1k+1张骨牌也倒张骨牌也倒引例二、引例二、1112341,(1,2,3,),1(1),?nnnnnaaaanaa a a aa数列中，求并猜测通项(2).证明猜想多米诺骨牌游戏原理多米诺骨牌游戏原理 数学归纳法证明步骤数学归纳法证明步骤（1）第一块骨牌倒下。）第一块骨牌倒下。（1）当）当n=1时猜想成立。时猜想成立。（2）若第）若第k块倒下时，则相块倒下时，则相邻的第邻的第k+1块也倒
2、下。块也倒下。根据（根据（1）和）和 （2），可知不论有），可知不论有多少块骨牌都能全部倒下。多少块骨牌都能全部倒下。根据（根据（1）和（）和（2），可知对所），可知对所有的自然数有的自然数n，猜想都成立。，猜想都成立。(2)假设假设n=k,时命题成立，时命题成立，证明当证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立一、数学归纳法的概念及步骤一、数学归纳法的概念及步骤证明某些与正整数有关的命题证明某些与正整数有关的命题,可用下列方法来证明可用下列方法来证明:(1)(1)验证验证当当n n取取第一个值第一个值n n0 0(例如例如n n0 0=1)=1)时命题成立时命题成立(2)(2)假设假设当当n=
3、k(kn=k(k N N*，k k n n0 0)时命题成立时命题成立,证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立验证验证n=nn=n0 0时命时命题成立题成立若当若当n=k(n=k(k k n n0 0)时命题成立时命题成立,证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立命题对从命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。都成立。【归纳奠基】【归纳奠基】【归纳递推】【归纳递推】例例1:1:用数学归纳法证明用数学归纳法证明22222222n(n+1)(2n+1)n(n+1)(2n+1)1+2+3+n=1+2+3+n=6 6注意注意 1 1.用数学归
4、纳法进行证明时用数学归纳法进行证明时,要分两个要分两个步骤步骤,两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可.2(1)(1)(归纳奠基归纳奠基)是递推的基础是递推的基础.找准找准n n0 0(2)(2)(归纳递推归纳递推)是递推的依据是递推的依据n nk k时时命题成立作为必用的条件运用，而命题成立作为必用的条件运用，而n nk+1k+1时情况则有待时情况则有待利用假设利用假设及已知的定义、公式、及已知的定义、公式、定理等加以证明定理等加以证明考点一、用数学归纳法证明等式考点一、用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明用数学归纳法证明 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1)1)2)(1(31 n
5、nn练习练习1 证明证明:2)假设假设n=k时命题成立时命题成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk则当则当n=k+1时，时，)1(.433221 kk)2)(1(kk)2)(1(31 kkk+)2)(1(kk=)2)(1(kk)131(k n=k+1时命题正确。时命题正确。由由(1)和和(2)知，当知，当 ，命题正确，命题正确。nn =2111)1(31 kkk1)当当n=1时，左边时，左边=12=2,右边右边=2.命题成立命题成立1 11 12 23 33 3这就是说当这就是说当 时等式成立，时等式成立，所以所以 时等式成立时等式成立.1 kn*Nn224621nnn思考思
6、考1 1：下列推证是否正确，并指出原因下列推证是否正确，并指出原因.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：kn 证明：假设证明：假设 时，等式成立，时，等式成立，126422kkk就是就是122642kk1212kkk2111kk那么那么1)1(1321211nnnn思考思考2 2：下面是某同学用数学归纳法证明命题：下面是某同学用数学归纳法证明命题 的过程的过程.你认为他的证法正确吗你认为他的证法正确吗?为什么为什么?21211211111)1(1321211kkkk(1)当当n=1时时,左边左边=,右边右边=(2)假设假设n=k(kN*)时命题成立时命题成立，那么那么n=k+1时时,即即n=k
7、+1时时,命题也成立命题也成立.由由(1)(2)知知,对一切自然数对一切自然数,命题均正确命题均正确.1)1(1211)2111()3121()211(kkkkk=右边右边,左边左边思考思考3 3：下列证法对吗？下列证法对吗？用数学归纳法证（nN+):1+2+3+2n=n(2n+1)1+2+3+2n=n(2n+1)证明：证明：1)左边左边=1=2)2)假设假设n=kn=k时等式成立时等式成立,即即:1+2+3+2k=k(2k+1).1+2+3+2k=k(2k+1).1+2+3+2k+2(k+1)1+2+3+2k+2(k+1)=k(2k+1)+2(k+1)=k(2k+1)+2(k+1)=那么那么
8、，n=k+1 n=k+1 时时，1+2+3+2k=k(2k+1).1+2+3+2k=k(2k+1).1+2+3+2k+1+2+3+2k+(2k+1)+2(k+1)(2k+1)+2(k+1)=k(2k+1)+=k(2k+1)+(2k+1)+2(k+1)(2k+1)+2(k+1)=那么那么，n=k+1 n=k+1 时时，证明：证明：1)左边左边=1+2=3=右边右边 2)2)假设假设n=kn=k时等式成立时等式成立,即即:左边时则当已知1,13131211)(.1nnnf左端需增乘的代数式为到从用数学归纳法证明1),)(12(3212)()2)(1(:.2kkNnnnnnnn课堂练习课堂练习._2
9、1121413121141kknnaannaa，则中，、在数列)()1(1312111)(.3kfkfnnnnf则已知123411112,1 4 4 7 7 103-2(31)(1),nnnS SS SS例、已知数列，（）计算的结果，并猜想 的表达式；2.（）用数学归纳法进行证明考点二、归纳考点二、归纳猜想猜想证明证明练习练习2 2、112341,2(1),;nnnaaa aaa a a已知数列满足求(2)na推测数列的通项公式，并用数学归纳法证明.例例3、求证、求证:).2,(12131211222nNnnn证证:(1)当当n=1时时,左边左边=,右边右边=,由于由于 故不等式成立故不等式成
10、立.45211223212,2345(2)假设假设n=k()时命题成立时命题成立,即即 2,kNk.12131211222kk则当则当n=k+1时时,22222)1(112)1(1131211kkkk考点三、用数学归纳法证明不等式考点三、用数学归纳法证明不等式练习练习3 3、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明:).,2(2413212111*Nnnnnn证证:(1)当当n=2时时,左边左边=不等式不等式 成立成立.,241324144131221121(2)假设当假设当n=k(k2)时不等式成立时不等式成立,即有即有:,2413212111kkk则当则当n=k+1时时,我们有我们有:)11221121(212111221121212)1(11)1(1kkkkkkkkkkk
