1、函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 函数的奇偶性函数的奇偶性 函数奇偶性的几个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 1若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R，则()Af(x)与g(x)均为偶函数 Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数 Cf(x)与g(x)均为奇函数 Df(x)
2、为奇函数，g(x)为偶函数 解析：由f(x)3x3xf(x)可知f(x)为偶函数，由g(x)3x3x(3x3x)g(x)可知g(x)为奇函数 答案：B 答案：B 周期性周期性 1周期函数 对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 2最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正数，那么这个就叫做f(x)的最小正周期f(xT)f(x)存在一个最小最小正数 答案：A 4设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)13，则f(x)的周期为_ 答案：4 函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断【例1】(2
3、013年高考广东卷)定义域为R的四个函数yx3，y2x，yx21，y2sin x中，奇函数的个数是()A4B3C2D1 解析对于yx3，y2sin x满足f(x)f(x)；对于yx21满足f(x)f(x)；对于y2x均不满足奇、偶函数的定义，故奇函数有2个 答案C 反思总结 判断函数奇偶性的方法(1)首先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则既不是奇函数也不是偶函数(2)若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断：定义判断：f(x)f(x)f(x)为偶函数 f(x)f(x)f(x)为奇函数 等价形式判断：f(x)f(x)0f(x)为偶函数，基础自测基础自测1.1.对任意实数对
4、任意实数x x,下列函数为奇函数的是下列函数为奇函数的是 （）A.A.y y=2=2x x-3 B.-3 B.y y=-3=-3x x2 2 C.C.y y=ln 5=ln 5x x D.D.y y=-|=-|x x|cos|cos x x 解析解析 A A为非奇非偶函数为非奇非偶函数,B,B、D D为偶函数为偶函数,C,C为奇函为奇函 数数.设设y y=f f(x x)=ln 5)=ln 5x x=x xln 5,ln 5,f f（-x x）=-=-x xln 5=ln 5=-f f（x x）.C2.2.（20082008全国全国理）理）函数函数 的图象关于的图象关于 （）A.A.y y轴对
5、称轴对称 B.B.直线直线y y=-=-x x对称对称 C.C.坐标原点对称坐标原点对称 D.D.直线直线y y=x x对称对称 解析解析 f f（x x）是奇函数）是奇函数.f f（x x）的图象关于原点对称）的图象关于原点对称.xxxf1)(,1)(xxxf).()1(1)(xfxxxxxfC3.3.（20082008福建理）福建理）函数函数f f（x x）=x x3 3+sin+sin x x+1(+1(x xR R),),若若f f（a a）=2=2，则，则f f（-a a）的值为）的值为 （）A.3 B.0 C.-1 D.-2 A.3 B.0 C.-1 D.-2 解析解析 设设g g
6、(x x)=)=x x3 3+sin+sin x x,很明显很明显g g(x x)是一个奇函数是一个奇函数.f f（x x）=g g（x x）+1.+1.f f（a a）=g g（a a）+1=2+1=2，g g（a a）=1=1，g g（-a a）=-1=-1，f f（-a a）=g g（-a a）+1=-1+1=0.+1=-1+1=0.B4.(2011年全国大纲卷)设f(x)是周期为2的奇函数,当0 x1时,f(x)=2x(1-x),则f(-)等于()522已知已知f(x)在在R上是奇函数，且满足上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当，当x(0,2)时，时，f(x)2x2，则，则f(7)
7、()A2 B2C98 D98解析：解析：f(x4)f(x)，f(7)f(34)f(3)f4(1)f(1)又又f(x)f(x)，f(1)f(1)2122，f(7)2，故选，故选A.答案：答案：A0 03已知已知yf(x)是定义在是定义在R上的奇函数，当上的奇函数，当x0时，时，f(x)x22x，则，则f(x)在在R上的表达式为上的表达式为_设设x0，则，则x0，代入，代入f(x)的解析式利用奇的解析式利用奇偶性即可得到结论偶性即可得到结论.周期性问题周期性问题答案A 变式训练 3函数f(x)是周期为4的偶函数，当x0,2时，f(x)x1，则不等式xf(x)0在1,3上的解集为()A(1,3)B(
8、1,1)C(1,0)(1,3)D(1,0)(0,1)解析：f(x)的图象如图 当x(1,0)时，由xf(x)0得x(1,0)；当x(0,1)时，由xf(x)0得x(1,3)故x(1,0)(1,3)答案：C 求函数值求函数值 与函数图象相结合问题与函数图象相结合问题 解析f(x2)f(x)，T2.又0 x1时，f(x)x2，可画出函数yf(x)在一个周期内的图象如图 显然a0时，yx与yx2在0,2内恰有两个不同的公共点 函数的奇偶性、单调性、周期性的综合函数的奇偶性、单调性、周期性的综合【典例3】(2014年广州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函
9、数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)解析由函数f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是增函数可以推知f(x)在2,2上递增，又f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故f(25)f(80)f(11)答案D1已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2 011)f(2 012)()A1log23 B1log23 C1 D1 解析：f(x)是(，)上的偶函数，f(2 011)f(2 011)当x0时，f(x4)f(x2)f(x)，则f(x)是以4为周期的函数注意到2 01145023，2 0124503，f(2 011)f(3)f(12)f(1)log2(11)1，f(2 012)f(0)log210，f(2 011)f(2 012)1，选C.答案：C
