1、5.15.1 相交线相交线5.1.1 5.1.1 对顶角对顶角1.1.掌握对顶角的定义并能够在图形掌握对顶角的定义并能够在图形中识别出来中识别出来.2.2.能够用对顶角的性质解决有关的能够用对顶角的性质解决有关的问题问题.大桥上的钢梁和钢索大桥上的钢梁和钢索棋盘上的横线和竖线棋盘上的横线和竖线 学校操场上的双杠学校操场上的双杠,教室中课桌面、黑板面教室中课桌面、黑板面相邻的两条边与相对的两条边相邻的两条边与相对的两条边都给我们以都给我们以平行线、相交线的形象平行线、相交线的形象.请你画出任意两条相交直线，看看这四个角有什请你画出任意两条相交直线，看看这四个角有什么关系么关系?问题问题:两条相交
2、直线形成的小于平角的角有几个两条相交直线形成的小于平角的角有几个?问题探究：问题探究：观察用剪刀剪布片的过程中有关角的变化观察用剪刀剪布片的过程中有关角的变化.任意画两条相交直线任意画两条相交直线,在形成的四个角在形成的四个角(如图如图)中中,两两相配共组成几对角？各对角存在怎样的位置关两两相配共组成几对角？各对角存在怎样的位置关系系?它们的大小关系如何？它们的大小关系如何？两直线相交两直线相交 所形成的所形成的角角分分 类类A AB BC CD D）（1 13 34 42 2）（3311224411和和2,2,4 422和和 和和,和和1 14 43 3 4 411和和3 3，和和 2 2
3、3 3，对顶角的概念对顶角的概念2 23 31 14 4A AB BD D11和和3 3具有相同的顶点，且具有相同的顶点，且1 1的两边的两边OAOA，OCOC分分别与别与3 3的两边的两边OBOB，ODOD互为反向延长线，我们把这互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做对顶角样的两个角叫做对顶角.性质：对顶角相等性质：对顶角相等.C CO O1 1下列各图中下列各图中1 1，2 2是对顶角吗？为什么？是对顶角吗？为什么？2 21 12 22 21 1练一练：练一练：不是不是不是不是不是不是【例例】已知：直线已知：直线a a，b b相交，相交，1=401=40.求求2 2，3 3，4 4的度数的
4、度数.a ab b1 12 23 34 4解：解：3=1=403=1=40 （对顶角相等），（对顶角相等），2=1802=180-1=180-1=180-40-40=140=140（平角的定义），（平角的定义），4=2=1404=2=140（对顶角相等）（对顶角相等）.1.1.如图，已知如图，已知O O是直线是直线ABAB上一点，上一点，1 14040，ODOD平分平分BOCBOC，则，则2 2的度数是（的度数是（)A A2020 B B2525 C C3030 D D70702 2D DC CA AB BO O1 1【解析解析】选选D.D.因为因为1 14040，所以所以BOCBOC1401
5、40，因为，因为ODOD平分平分BOCBOC，所以，所以2 27070.2.2.如图，三条直线如图，三条直线AB,CD,EFAB,CD,EF相交于一点相交于一点O,AOCO,AOC的对顶角是的对顶角是 ，COFCOF的对顶角是的对顶角是_._.A AB BC CD DE EF FO OBODBODEODEOD3.3.如图，如图，1=21=2，则，则2 2与与3 3的关系是的关系是 ，1 1与与3 3的关系是的关系是 .1 12 23 3互补互补互补互补4.4.一个角的补角是一个角的补角是36363535，这个角的度，这个角的度数数 【解析解析】根据互为补角的定义，这个角根据互为补角的定义，这个
6、角=180=180363635=14335=14325.25.答案：答案：1431432525通过本课时的学习，需要我们掌握对顶角的相关知识如下：通过本课时的学习，需要我们掌握对顶角的相关知识如下：1.1.特征：特征：两条直线相交形成的角；两条直线相交形成的角；有一个公共顶点；有一个公共顶点；没有公共边没有公共边.2.2.性质：性质：对顶角相等对顶角相等5.1.2 5.1.2 垂线垂线1.1.在丰富的现实情境中，通过画、折等在丰富的现实情境中，通过画、折等活动，进一步丰富对两条直线互相垂直活动，进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，掌握有关的符号表示的认识，掌握有关的符号表示.2.2.会借助三角
7、尺、量角器、方格纸画垂会借助三角尺、量角器、方格纸画垂线，进一步丰富操作活动的经验线，进一步丰富操作活动的经验.3.3.在操作活动中，探索有关垂直的一些在操作活动中，探索有关垂直的一些性质性质.平面内的两条直线有哪些位置关系平面内的两条直线有哪些位置关系?平行平行相交相交想一想想一想下面两种相交的情况有什么不同？下面两种相交的情况有什么不同？两直线不垂直两直线不垂直两直线垂直两直线垂直议一议议一议4.4.怎样用符号表示两条直线的垂直关系？怎样用符号表示两条直线的垂直关系？1.1.什么叫做两条直线互相垂直？什么叫做两条直线互相垂直？2.2.你能用三角尺、直尺、量角器画互相垂直的直线吗？你能用三角
8、尺、直尺、量角器画互相垂直的直线吗？5.5.过一点能画多少条已知直线的垂线？过一点能画多少条已知直线的垂线？6.6.你是如何理解点到直线的距离的？你是如何理解点到直线的距离的？3.3.怎样用折纸法折出垂线？怎样用折纸法折出垂线？自学提纲自学提纲定义：当两条直线定义：当两条直线AB,CDAB,CD所构成的四个角中有一个所构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，直为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，直线线AB,CDAB,CD互相垂直互相垂直.O新知探究新知探究BACD（1 1）你能用三角尺在白纸上画两条互相垂直的直线吗？）你能用三角尺在白纸上画两条互相垂直的直线吗？（3 3
9、）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？直线吗？（2 2）你能用量角器在白纸上画两条互相垂直的直线吗？）你能用量角器在白纸上画两条互相垂直的直线吗？做一做做一做0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5用三角尺作两条互相垂直的直线用三角尺作两条互相垂直的直线根据图示能折出互相垂直的直线，您不妨试试看！根据图示能折出互相垂直的直线，您不妨试试看！折一折折一折O OD DC CB BA Am mn n图
10、中，直线图中，直线ABAB与直线与直线CDCD垂直垂直,记作：记作：ABCDABCD；直线直线 m m 与直线与直线 n n 垂直垂直,记作：记作：mn mn；互相垂直的两条直线的交点叫做垂足互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.注意：注意：“”“”是是“垂直垂直”的记号，的记号，而而“”“”是图形中是图形中“垂直垂直(直角直角)”的标记的标记.垂直的表示垂直的表示结论结论在图中过点在图中过点A A作作m m的垂线，你能作多少条？的垂线，你能作多少条？A A A Am mm m平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.想一想想一想看图回答看图回答你能
11、用一句话表示这个结论吗？你能用一句话表示这个结论吗？P PA AB BC Cm mD D从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离线的距离.直线外一点与直线上各点连成的所有线段中，垂线段最短直线外一点与直线上各点连成的所有线段中，垂线段最短.线段线段PA,PB,PC,PDPA,PB,PC,PD谁最短？谁最短？结论结论线段线段PBPB叫做点叫做点A A到直线到直线m m的垂线段的垂线段.【例例】作一条直线作一条直线l，在直线，在直线l上取一点上取一点A A，l0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2
12、 3 4 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5在在l外取一点外取一点B B，试分别过点，试分别过点A A，B B用三角尺作直线的垂线用三角尺作直线的垂线.找出下图中互相垂直的直找出下图中互相垂直的直线线.（1 1）（2 2）A AB BC CD DO OBOOD(BOOD(或或AOOC)AOOC)ACBC(ACBC(或或CDAB)CDAB)【跟踪训练跟踪训练】OEDCBA1.1.如图，直线如图，直线ABAB与直线与直线CDCD相交于点相交于点O O，E E是是AODAOD内一点，已知内一点，已知OEABOEAB，BOD=45BOD=45，则
13、则COECOE的度数是的度数是()()A.125A.125 B.135 B.135 C.145C.145 D.155 D.155【解析解析】选选B.B.因为因为OEABOEAB，所以，所以BOE=90BOE=90，又因为，又因为BOD=45BOD=45，所以，所以EOD=45EOD=45，因为，因为COD=180COD=180，所以，所以COE=CODCOE=COD EOD=180EOD=1804545=135=135.2.2.如图，点如图，点O O在直线在直线ABAB上，且上，且OCODOCOD，若，若COA=36COA=36，则则DOBDOB的大小为的大小为()()A A3636B B54
14、54 C C6464 D D7272【解析解析】选选B.B.因为因为OCODOCOD，所以，所以COD=90COD=90，又因为，又因为AOB=180AOB=180，所以所以DOB=AOBDOB=AOBCODCODCOA=180COA=18090903636=54=54.3.3.如图，直线如图，直线ABCDABCD，垂足为，垂足为O O，射线，射线OPOP在在AODAOD的内部，的内部，且且POA=4PODPOA=4POD，则，则COPCOPBOPBOP的值为（的值为（）A.3A.32 B.42 B.41 1 C.9C.91 D.51 D.53 3 AB DCOP【解析解析】选选A.A.因为因
15、为ABCDABCD，所以，所以AOD=90AOD=90，又因为，又因为POA=4PODPOA=4POD，所以，所以POA+POD=4POD+POD=POA+POD=4POD+POD=AOD=90AOD=90，所以，所以POD=18POD=18，POA=4POA=41818=72=72，所以所以COP=COA+POA=90COP=COA+POA=90+72+72=162=162，BOP=BOD+POD=90BOP=BOD+POD=90+18+18=108=108.所以所以COPCOPBOP=162BOP=162108108=3=32.2.1.1.垂直的定义垂直的定义.2.2.垂直的画法垂直的画法
16、.3.3.垂直的记法垂直的记法.4.4.垂直的一个结论垂直的一个结论.5.5.点到直线的距离点到直线的距离.6.6.丰富了对平行、垂直和角的认识丰富了对平行、垂直和角的认识.对人不尊敬，首先就是对自己的不尊敬.5.1.3 同位角、内错角、同旁内角1.1.认识两条直线被第三条直线所截而产生的三种角认识两条直线被第三条直线所截而产生的三种角同位角、内错角、同旁内角同位角、内错角、同旁内角.2.2.能从复杂图形中找出基本图形，增强对图形的认识能从复杂图形中找出基本图形，增强对图形的认识.如图，两条直线如图，两条直线a a，b b相交形成四个角相交形成四个角1 1，2 2，3 3，4 411与与3 3
17、 22与与4 4 对顶角：对顶角：互补的角：互补的角：11与与2 2 22与与3 3 33与与4 4 44与与1 1 1.两条直线被第三条直线所截两条直线被第三条直线所截（1 1）直线）直线l与两直线与两直线a,ba,b分别相交于点分别相交于点P,QP,Q（2 2）直线）直线l截直线截直线a,ba,b于点于点P,QP,Q（3 3）直线）直线a,ba,b被直线被直线l所截所截直线直线l叫做截线叫做截线直线直线a,ba,b叫做被截直线叫做被截直线你认为截线和被截直线该怎样区分？你认为截线和被截直线该怎样区分？a ab blP PQ Q问题：你能说出以下这些图形，哪两条直线被第三条问题：你能说出以下
18、这些图形，哪两条直线被第三条直线所截吗？直线所截吗？直线直线a,ba,b被直线被直线l所截所截直线直线BC,DE BC,DE 被直线被直线ABAB所截所截la ab bB B在一个平面内，一条直线在一个平面内，一条直线l与两条直线与两条直线a a，b b分别相交于点分别相交于点P P，Q Q（直线（直线l 分别截直线分别截直线a a，b b于点于点P P，Q Q 或者就说两条直线或者就说两条直线a a，b b被直线被直线l所截）所截）.两条直线被第三条直线所截，两条直线被第三条直线所截，形成形成“三线八角三线八角”的图形的图形.bl57a1 134286截线截线P PQ Q图中图中1 1与与5
19、 5的位置有什么关系呢？的位置有什么关系呢？11与与5 5处于直线处于直线l的的_，l57a ab b1 134286截线截线左侧左侧上方上方上方上方 且分别在直线且分别在直线a,ba,b的的_._.这样位置的一对角就是这样位置的一对角就是 _._.1 15像这样位于截线像这样位于截线l的同侧，在两条被截直线的同侧，在两条被截直线a a，b b的同一方的同一方的同位角还有的同位角还有_、_、_.22与与6 633与与7 744与与8 8623748（1 1）同位角）同位角同一侧同一侧同一方同一方同位角同位角左左 右右2.特殊位置的角特殊位置的角abl截线截线1 13428576图中图中3 3与
20、与5 5的位置有什么关系呢？的位置有什么关系呢？33与与5 5处于直线处于直线l的的_，直线直线a a，b b的的_，这样位置的一对角就是这样位置的一对角就是_._.35像这样位于截线像这样位于截线l的两侧，在两条直线的两侧，在两条直线a a，b b的内部的内的内部的内错角还有错角还有 .44与与6 646左左 右右（2 2）内错角）内错角内内 部部两侧两侧内部交错内部交错内错角内错角内部内部图中图中4 4与与5 5的位置有什么关系呢？的位置有什么关系呢？l57ab1 134286截线截线44与与5 5处于直线处于直线l的的_，_，左侧左侧这样位置的一对角就这样位置的一对角就是是_._.45像
21、这样位于截线像这样位于截线l的同侧，两条直线的同侧，两条直线a a，b b的内部的同旁的内部的同旁内角还有内角还有.33与与6 636（3 3）同旁内角）同旁内角左左 右右同一侧同一侧同旁内角同旁内角内部内部直线直线a a，b b的的同位角同位角模型模型内错角内错角模型模型同旁内角同旁内角模型模型在两被截直线的内部，在两被截直线的内部，在截线的两侧内部交错在截线的两侧内部交错 在两被截直线的内部，在两被截直线的内部，截线的同侧截线的同侧同位角同位角 内错角内错角同旁同旁内角内角位置关系位置关系基本模型基本模型在两被截直线的同一方，在两被截直线的同一方，在截线的同一侧位置相在截线的同一侧位置相同
22、同同位角、内错角、同旁内角是三种特殊位置关系的角，同位角、内错角、同旁内角是三种特殊位置关系的角，在找这些角时，要注意到两个角的公共边所在的直线是在找这些角时，要注意到两个角的公共边所在的直线是截线，其余两边是两条被截直线截线，其余两边是两条被截直线.如图如图,所标的六个角中，所标的六个角中，1 1与与 是同位角；是同位角；5 5与与 是同旁内角；是同旁内角；2 2与与 是内错角是内错角.663 3 或或4 411 2.2.根据图形按要求填空：根据图形按要求填空：（1 1）1 1与与2 2是直线是直线 和和 被直线被直线 所截而得的所截而得的 .A AB BC CD DE EF F1 13 35 52 24 4BCBCABABDEDE同位角同位角 做事是否成功，不在一时奋发，而在能否坚持.
