1、24.1.4 圆周角圆周角 问题问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？什么叫圆心角？指出图中的圆心角？顶点在圆心的角叫圆心角顶点在圆心的角叫圆心角,BOC.导入新课导入新课 问题问题2 如图，如图，BAC的顶点和边有哪些特点的顶点和边有哪些特点?A BAC的顶点在的顶点在O上，角的两边分别交上，角的两边分别交O于于B、C两点两点.如图，四边形ABCD内接于O，E为BC延长线上一点，若A=110，则DCB=_,同弧所对的圆周角相等.（2）若ACB的平分线（两个条件必须同时具备，缺一不可）如图，AB是O的直径，点C在圆上，A=80.O的内接四边形ABCD中，A B C=1 2 3，求证：(1)D
2、ACDBA；BOD120，则BCD为_.例5 如图，AB是 O的直径，BD是 O的弦，延长BD到C,使AC=AB，BD与CD有什么关系.5=.例5 如图，AB是 O的直径，BD是 O的弦，延长BD到C,使AC=AB，BD与CD有什么关系.圆内接多边形与多边形的外接圆求证:CD=DE=BD则D=.在同一个圆中一条弧所对的圆周角有多少个？顶点在圆心的角叫圆心角,BOC.辨析 下列各图中的BAC是否为圆周角并简述理由.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.如图，四边形ABCD内接于O，E为BC延长线上一点，若A=110，则DCB=_,则A的度数为_BOD120，则B
3、CD为_.如图，O是ABC的外接圆，BC是 O的直径，ABAC，ABC的平分线交AC于点D，交 O于点E，连接CE.顶点在顶点在圆上圆上，并且，并且两边两边都都与圆相交与圆相交的角叫做圆周角的角叫做圆周角.（两个条件必须同时具备，缺一不可）（两个条件必须同时具备，缺一不可）讲授新课讲授新课圆周角的定义BAC为圆周角为圆周角.COABCOBCOBAACOABCOBCOBAA辨析辨析 下列各图中的下列各图中的BAC是否为圆周角并简述理由是否为圆周角并简述理由.（2）（1）（3）（5）（6）顶点不在圆上顶点不在圆上边AC没有和圆相交1.在同一个圆中一条弧所对的圆周角有多少个？在同一个圆中一条弧所对的
4、圆周角有多少个？2.这些圆周角的度数是否发生变化？（用量角器这些圆周角的度数是否发生变化？（用量角器量量看）量量看）3.同一条弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？同一条弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？（用量角器量量看）（用量角器量量看）（画图观察）思考以下问题：（画图观察）思考以下问题：探究探究:（有无数个）（有无数个）（同一条弧同一条弧所对的圆周角相等）所对的圆周角相等）如图，连接如图，连接BO,CO,得圆心角得圆心角BOC.试猜想试猜想BAC与与BOC存在怎样的数量关系存在怎样的数量关系.12BACBOC圆周角定理及其推论测量与猜测圆心圆心O在在BAC的的 内部内部圆心圆心O在在BAC的的
5、一边上一边上圆心圆心O在在BAC的的外部外部推导与验证做一做做一做 在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？关系有几种情况？如图，点A、B、C、D在O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，BAC=35.如图，ABC内接于 O，AB为 O的直径，CBA的平分线交AC于点F，交 O于点D，DEAB于点E，且交AC于点P，连接AD.O的内接四边形ABCD中，A B C=1 2 3，5=.如图，ABC内接于 O，AB为 O的直径，CBA的平分线交AC于点F，交 O于点D，DEAB于点E，且交AC于点P，连接AD.一条弧所对的圆心角是圆周
6、角的2倍求证：(1)DACDBA；辨析 下列各图中的BAC是否为圆周角并简述理由.例4 如图，AB为 O的直径，CFAB于E，交 O于D，试猜想BAC与BOC存在怎样的数量关系.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.BOD120，则BCD为_.5=.90的圆周角所对的弦是直径.求证：(1)DACDBA；90的圆周角所对的弦是直径.同弧（或等弧）所对的圆周角相等；(2)点P是线段AF的中点在同一个圆中一条弧所对的圆周角有多少个？（2）若ACB的平分线辨析 下列各图中的BAC是否为圆周角并简述理由.顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆
7、周角.u圆周角定理：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.A1A2A3u推论推论1：同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角相等.5=.问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？(2)点P是线段AF的中点同一条弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？（用量角器量量看）O的内接四边形ABCD中，A B C=1 2 3，辨析 下列各图中的BAC是否为圆周角并简述理由.BOD120，则BCD为_.求证：PAPBPC.ABC=.在同一个圆中一条弧所对的圆周角有多少个？等弧所对的圆周角相等.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形
8、，这个圆叫做这个多边形的外接圆.5=.求证:CD=DE=BD则A的度数为_如图，ABC内接于 O，AB为 O的直径，CBA的平分线交AC于点F，交 O于点D，DEAB于点E，且交AC于点P，连接AD.在同一个圆中一条弧所对的圆周角有多少个？反之，直角所对的弦是直径.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.如图，AB是O的直径，点C在圆上，A=80.在同一个圆中一条弧所对的圆周角有多少个？如图，O是ABC的外接圆，BC是 O的直径，ABAC，ABC的平分线交AC于点D，交 O于点E，连接CE.练习练习1.如图，点如图，点A、B、C、D在在O上，点上，点A与点与点D
9、在点在点B、C所在直线的同侧，所在直线的同侧，BAC=35.(1)BOC=，理由是理由是 ;(2)BDC=，理由是，理由是 .7035同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角相等一条弧所对的圆心角是圆周角的一条弧所对的圆心角是圆周角的2倍倍(1)完成下列填空完成下列填空 1=.2=.3=.5=.教材教材P88第第2题题2.如图，点如图，点A、B、C、D在同一个圆上，在同一个圆上，AC、BD为为四边形四边形ABCD的对角线的对角线.ABCD123456782.如图，点如图，点A、B、C、D在同一个圆上，在同一个圆上，AC、BD为四为四边形边形ABCD的对角线的对角线.（2）若若AB=AD，则，则1与
10、与2是否相等，为什么？是否相等，为什么？u推论推论2：等弧所对的圆周角相等等弧所对的圆周角相等.练习练习 如图，如图，O中，中，OABC，AOB=50，则，则ADC=.2.如图，点如图，点A、B、C、D在同一个圆上，在同一个圆上，AC、BD为为四边形四边形ABCD的对角线的对角线.（3）若若AC是半圆，是半圆，ADC=，ABC=.9090若若AC是直径是直径，ADC=，ABC=.9090推论推论3 半圆半圆(或直径或直径)所对的圆周角是直角所对的圆周角是直角.90的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径.练习练习 1.如图，如图，AB是是O的直径，点的直径，点C在圆上，在圆上，A=80.则
11、则ABC=.2.如图，如图，BD是是O的直径，点的直径，点A、C均在圆上，均在圆上，CBD30，则则A的度数为的度数为_ 圆内接多边形与多边形的外接圆圆内接多边形与多边形的外接圆 如果一个多边形的如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上所有顶点都在同一个圆上，这个多边形，这个多边形叫做叫做圆内接多边形圆内接多边形，这个圆叫做这个，这个圆叫做这个多边形的外接圆多边形的外接圆.同理同理 B+D=1800圆内接四边形的性质：圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补.如图，四边形如图，四边形ABCD是是O的的 ；O是四边形是四边形ABCD的的 .内接四边形内接四边形外接圆外接圆探
12、究：探究：圆内接四边形圆内接四边形ABCD的对角的对角A与与C有什么关系？有什么关系？A+C=1800练习练习 1.如图，四边形如图，四边形ABCD内接于内接于O，E为为BC延延长线上一点，若长线上一点，若A=110，则，则DCB=_,DCE=_.圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.2.如图，在如图，在O的内接四边形的内接四边形ABCD中，中，BOD120，则，则BCD为为_.3.O的内接四边形的内接四边形ABCD中，中，A B C=1 2 3，则则D=.例例1 如图，如图，O直径直径AB为为10 cm，弦，弦AC为为 6 cm.（1）求）
13、求BC的长；的长；（2）若）若ACB的平分线的平分线交交O于于D,求求AD、BD的长的长典例精析OABCD例例2 如图，如图，OA，OB，OC都是都是O的半径，的半径，AOB=2BOC.求证：求证：ACB=2BAC.AOBC教材教材P88第第3题题例例3 如图，如图，AB是是O的直径，弦的直径，弦CD交交AB于点于点P，ACD=60,ADC=70.求求APC的度数的度数.OADCPB例例4 如图，如图，AB为为O的直径，的直径，CFAB于于E，交，交O于于D，AF交交O于于G.求证：求证：FGDADC.例例5 如图，如图，AB是是O的直径，的直径，BD是是O的弦，延长的弦，延长BD到到C,使使
14、AC=AB，BD与与CD有什么关系有什么关系.为什么为什么?ABCD变变:若若AC交交O于点于点E,求证求证:CD=DE=BDABCDEO例2 如图，OA，OB，OC都是 O的半径，AOB=2BOC.例5 如图，AB是 O的直径，BD是 O的弦，延长BD到C,使AC=AB，BD与CD有什么关系.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.求证:CD=DE=BD同一条弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？（用量角器量量看）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；如图，AB是O的直径，点C在圆上，A=80.如图，点A、B、C、D在O上，点A与点D在点B、C
15、所在直线的同侧，BAC=35.一条弧所对的圆心角是圆周角的2倍 O的内接四边形ABCD中，A B C=1 2 3，例2 如图，OA，OB，OC都是 O的半径，AOB=2BOC.90的圆周角所对的弦是直径.5=.顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.如图，ABC内接于 O，AB为 O的直径，CBA的平分线交AC于点F，交 O于点D，DEAB于点E，且交AC于点P，连接AD.O的内接四边形ABCD中，A B C=1 2 3，理由是 ;理由是 ;同弧（或等弧）所对的圆周角相等；如图，四边形ABCD内接于O，E为BC延长线上一点，若A=110，则DCB=_,同理 B+D=1800(2)点P是线
16、段AF的中点拓展与提高拓展与提高1.如图，如图，ABC内接于内接于O，AB为为O的直径，的直径，CBA的平分的平分线交线交AC于点于点F，交，交O于点于点D，DEAB于点于点E，且交，且交AC于点于点P，连接连接AD.求证：求证：(1)DACDBA；(2)点点P是线段是线段AF的中点的中点2.如图，如图，O是是ABC的外接圆，的外接圆，BC是是O的直径，的直径，ABAC，ABC的平分线交的平分线交AC于点于点D，交，交O于点于点E，连接，连接CE.若若CE ，则则BD的值为的值为_23.如图，如图，P是等边三角形是等边三角形ABC外接圆的外接圆的 上的任意一点上的任意一点.求证：求证：PAPBPC.BC圆心角类比圆周角圆周角定义圆周角定理圆周角定理的推论课堂小结课堂小结一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.1.同弧（或等弧）所对的圆周角相等；2.半圆所对的圆周角是直角；反之，直角所对的弦是直径.1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）
