1、三角函数三角函数1.4正弦函数余弦函数的性质正弦函数余弦函数的性质1.定义域和值域定义域和值域x22322523yO23225311x22322523yO23225311正弦函数正弦函数sinyx 定义域：定义域：R值域：值域：-1，1余弦函数余弦函数cosyx 定义域：定义域：R值域：值域：-1，1|sin|1|cos|1xx练习练习 P 46 练习练习2(1)2cos3x 2(2)sin0.5x 3cos2x 1 sin0.5x 1,1 周期函数定义：对于函数周期函数定义：对于函数f(x)，如果存在，如果存在一个一个非零常数非零常数T，使得当，使得当x取定义域内的取定义域内的每每一个值一个
2、值时，都有时，都有f(x+T)=f(x)那么函数那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。叫做这个函数的周期。2.周期性周期性判断下列命题是否正确 1、因为f(x+0)=f(0)，所以函数f(x)为周期函数，周期是0；2、因为f(x+2x)=f(x),所以函数f(x)为周期函数，周期是2x；3、因为sin(30+120)=sin30,所以函数f(x)=sinx为周期函数，周期是120；4、因为sin(x+4)=sinx,所以函数f(x)=sinx为周期函数，周期是4:期期例例1 1、求求下下列列函函数数的的周周.,都都指指最最小小正正周周期期若若不不
3、加加特特别别说说明明;,cos3)1(Rxxy;,2sin)2(Rxxy;),621sin(2)3(Rxxy)0,0.(),sin()4(ARxxAy 举例举例3cos(2)3cosxx 解：（解：（1）自变量自变量x只要并且至少要增加到只要并且至少要增加到x+2，函数，函数3cos,yx xR 的值才能重复出现的值才能重复出现.2 的周期是的周期是所以，函数所以，函数3cos,yx xR (2)sin(22)sin2()sin2xxx sin2,yx xR 的值才能重复出现的值才能重复出现.，自变量自变量x只要并且至少要增加到只要并且至少要增加到x+，函数，函数 的周期是的周期是所以，函数所
4、以，函数2sin,yx xR 111(3)2sin(2)2sin()2sin()262626xxx 自变量自变量x只要并且至少要增加到只要并且至少要增加到x+，函数，函数的值才能重复出现的值才能重复出现.12sin()26yx 12sin(),26yxxR 所以所以,函数函数 的周期是的周期是)0,0.(),cos()0,0.(),sin(ARxxAyARxxAy思考思考(4)2|T 练习练习 已知函数已知函数 的周期是的周期是3，且当，且当 时，时，求，求()yf x 0,3x 2()1f xx(1),(5),(16).fff思考思考：吗？吗？2(5)5126f正弦函数的图象正弦函数的图象探
5、究探究余弦函数的图象余弦函数的图象问题：它们的图象有何问题：它们的图象有何对称性对称性？x22322523yO23225311x22322523yO232253113.3.奇偶性奇偶性3.3.奇偶性奇偶性(1)()sin,f xx xRxR 任意任意()sin()fxxsin x ()f x ()sin,f xx xR为为奇奇函数函数(2)()cos,f xx xRxR 任意任意()cos()fxxcos x()f x()cos,f xx xR为为偶偶函数函数x22322523yO23225311PP正弦函数的图象正弦函数的图象53113,22222x对称轴：对称轴：,2xkkZ (,0),(
6、0,0),(,0),(2,0)对称中心：对称中心：(,0)kkZ 余弦函数的图象余弦函数的图象,0,2x 对称轴：对称轴：,xkkZ 35(,0),(,0),(,0),(,0)2222 对称中心：对称中心：(,0)2kkZ PPx22322523yO23225311练习练习 为函数为函数 的一条对称轴的是的一条对称轴的是（）sin(2)3yx x22322523yO232253114.3A x 12x .2B x .0D x 解：经验证，当解：经验证，当.12C x 时时232x12x 为对称轴为对称轴例题例题 求求 函数的对称轴和对称中心函数的对称轴和对称中心sin(2)3yx 23zx 解
7、解（1）令）令则则sin(2)sin3yxz sinyz 的对称轴为的对称轴为,2zkkZ 232xk 解得：对称轴为解得：对称轴为,122xkkZ(2)sinyz 的对称中心为的对称中心为(,0),kkZ 23xk 对称中心为对称中心为62xk zk (,0),Z62kk练习练习 求求 函数的对称轴和对称中心函数的对称轴和对称中心1cos()24yx 四、最最大大值值与与最最小小值值yxo;1,22,1,22时取得最小值且仅当当时取得最大值正弦函数当且仅当ZkkxZkkx.1,2,1,2时取得最小值当当且仅时取得最大值余弦函数当且仅当ZkkxZkkx例例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，
8、请写出取最大、最小下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2,.yxxRyx xR(1);(2)解：解：这两个函数都有最大值、最小值这两个函数都有最大值、最小值.（1）使函数）使函数 取得最大值的取得最大值的x的集合，就是的集合，就是使函数使函数 取得最大值的取得最大值的x的集合的集合cos1,yxxRcos,yx xR|2,x xkkZ 使函数使函数 取得最小值的取得最小值的x的集合，就是的集合，就是使函数使函数 取得最小值的取得最小值的x的集合的集合cos1,y
9、xxRcos,yx xR|(21),x xkkZ 函数函数 的最大值是的最大值是1+1=2；最小值是；最小值是-1+1=0.cos1,yxxR例例1.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么的集合，并说出最大、最小值分别是什么.cos1,3sin2,.yxxRyx xR(1);(2)解：解：（2）令）令t=2x,因为使函数因为使函数 取最大值的取最大值的t的集合是的集合是3sin,yt tR|2,2t tkkZ 222xtk 由由4xk 得得所以使函数所以使函数 取最大
10、值的取最大值的x的集合是的集合是3sin2,yx xR|,4x xkkZ 同理，使函数同理，使函数 取最小值的取最小值的x的集合是的集合是3sin2,yx xR|,4x xkkZ函数函数 取最大值是取最大值是3，最小值是，最小值是-3。3sin2,yx xR 1、_，则，则f（x）在这个区间上是）在这个区间上是增增函数函数.)()(21xfxf4.4.正弦余弦函数的单调性正弦余弦函数的单调性函数函数(),yf x若在指定区间任取若在指定区间任取 ，12x x、且且 ，都有：，都有：21xx函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。观察正余弦函数的图象，
11、探究其单调性观察正余弦函数的图象，探究其单调性2、_，则，则f（x）在这个区间上是）在这个区间上是减减函数函数.)()(21xfxf增函数：上升增函数：上升减函数：下降减函数：下降探究：正弦函数的单调性探究：正弦函数的单调性25232223,25，、，、当当 在区间在区间上时，上时，x曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，sin的值由的值由 增大到增大到 。11753357,22222 222、，、，、当当 在区间在区间x上时，曲线逐渐下降，上时，曲线逐渐下降，sin的值由的值由 减小到减小到 。11x22322523yO23225311探究：正弦函数的单调性探究：正弦函数的单调性x22322523yO
12、23225311正弦函数在每个闭区间正弦函数在每个闭区间)(22,22Zkkk都是增函数，其值从都是增函数，其值从1增大到增大到1；而在每个闭区间而在每个闭区间32,2()22kkkZ上都是上都是减函数，其值从减函数，其值从1减小到减小到1。探究：余弦函数的单调性探究：余弦函数的单调性 3,2 0 2 3,4、，、，当当 在区间在区间x上时，上时，曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，cos的值由的值由 增大到增大到 。11曲线逐渐下降，曲线逐渐下降，sin的值由的值由 减小到减小到 。11 2,0 23 、，、，当当 在区间在区间x上时，上时，x22322523yO23225311探究：余弦函数的单调
13、性探究：余弦函数的单调性x22322523yO23225311由余弦函数的周期性知：由余弦函数的周期性知：其值从其值从1减小到减小到1。而在每个闭区间而在每个闭区间上都是减函数，上都是减函数，2,2kk 其值从其值从1增大到增大到1；在每个闭区间在每个闭区间2,2kk都是都是增函数增函数，例2.求函数的单调增区间 解：123sinyx sinyz 2222zkk1222223xkk 54433kxk4,433,5kkkZ 求函数的单调增区间5334,4kk 12sin,2,23xyx 1,k 2 2 1711,330,k 5,33 1,k 711,33 求函数的单调求函数的单调增增区间区间1s
14、in23yx sinyz 32222zkk12322232xkk 5114433xkk4,4133,51kkkZ 求函数的单调增区间1sin23yx sin()sin 1sin23yx sinyz sinyz cos()cos 求函数的单调增区间1cos23yx sin()sin 1cos23yx cosyz cosyz cos()cos(,0)()kkz已知三角函数值求角 已知 求3sin2 x22322523yO23225311已知三角函数值求角 已知 求 的范围。3sin2 3sin602 3sin1202 x22322523yO23225311120,60 360k 360kZk 小结：y=sinx和y=cosx的性质函数y=sinxy=cosx图象周期性奇偶性单调性最值对称性对称中心：对称中心：对称轴：对称轴：
