1、1 目的：了解集合的表示法；掌握集合的基本运算；熟悉一些常用集合的符号；准确理解集合序列的上、下限集。重点与难点：集合序列的上、下限集。基本内容：一背景1Cantor的朴素集合论2悖论3基于公理化的集合论2 二集合的定义具有某种特定性质的对象的全体1集合的几种表示法我们在诸如数学分析等前期课程中已接触过集合这个概念，所谓集合，指的是具有某种特定性质的对象的全体，通常用大写英文字母A，B，X，Y等表示；集合中的每个对象称为该集合的元素。一般说来，我们总用小写字母a,b,x,y表示集合中的元素。3 对于集合A，某一对象x如果是A的元素，则称x属于A，记作 ；如果x不是A的元素，则称x不属于A，记正
2、如定义所说，集合是由具有某种特定性质的对象全体组成的，因此，在表示一个集合时，常把这一性质写出来，例如，A是由具有性质P的元素全体组成时，通常记为：，其中P可以是一段文字，也可以是某个数学式子。|PxxA具有性质xAxAxA或4 2几个特殊的集合及其表示：除了上述方法之外，有时也用特殊记号表示某些特殊的集合。比如，在大多数场合下，R始终表示实数全体（或直线）C始终表示复数全体（或复平面），N、Z、Q分别表示自然数、整数、有理数全体，以后如无特别声明，我们也都不加解释地使用这些符号。此外，直线上的区间也采用诸如a,b，（a,b）等记号，如果一个集合仅由有限个元素组成，则最方便的办法是将其一一列出
3、，例如，1到10的自然数全体可记作1,2,3,10，不含任何元素的集合称为空集，记作 。5 三集合的运算1.集合的子集 假设A,B是两个集合，如果A中的元素都是B中的元素，则称A是B的子集，记作 前者读作“A包含于B中”，后者读着“B包含A”。显然，空集 是任何集合的子集，任何集合是其自身的子集。假如要证明A是B的子集，最常用的办法是，任取 。如果A是B的子集，且存在 ，则称A是B的真子集，记作 。如果A是B的子集，B又是A的子集，则称A与B相等，记作A=B。BxAx然后设法证明,AbBb使,BABAAB或6 2交运算 所有既属于A，又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集（或通集），记作 ，
4、若 ，则称A与B互不相交，显然 B当且仅当 且 。对于一簇集合 ，可类似定义其交集，即 BABAAxAxBxAA,|AxAxAA有对每一7 3.并运算 假设A，B是两个集合，所谓A与B的并集（或和集），指的是由A与B中所有元素构成的集合，记作 ，换句话说，对于一簇集合 ，可类似定义其并集，即 BA.BxAxBAx或当且仅当AA,AxAAA使存在8 注：在本书中我们未把0包含在N内,+不在中不在中,11:11NnxxAnnn设0,11nnA)1,2(1nnA()-2 -1-1/n -1 0 1-1/n 1 9 11nafnafEE则记设,)(:,:axfExEREfaf (a-1/n a),()
5、,11nnaa)(11nafnE),(11nna (a-1/n-1 a-1/n a-1/n+1 a10 则记设,)(:,:axfExEREfaf11nafnafEE(a a+1/n),(11nna)(11nafnE),),(11nnaa11 4差（余）运算 由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，称为A减B的差集，记作A-B（AB），也就是说，但 。AxBAx当且仅当Bx 12 应该注意的是，此处并未要求B是A的子集。假如B是A的子集，则称A-B为B关于A的余集，记作CAB。需要指出的是，我们讲某个集合的余集时，要弄清相对于哪个集合的余集，特别是涉及到多个集合时，尤其应注意。有时，我们总是限定
6、在某个固定集合A内讨论一些子集，在这种情况下，可以省略A，而将CAB记作CB（或BC）。集合 称为A与B的对称差，记作 。)()(ABBABA13 四.集合的运算问题问题1 1：回忆数的四则运算，由此猜测：回忆数的四则运算，由此猜测集合的运算应该具有什么性质。集合的运算应该具有什么性质。14 定理1 （1）（2）（3）（4）（5）（6）AAAAAA,AAAAA,ABBAABBA;)()(CBACBA;)()(CBACBA)()()(CABACBA)()()(CBCACBA15 （7）（8）（9）（10）（11）（12）。)()(BACBAC)()(BABABA)()()(CABACBA)()(
7、)(CABACBABCACCAB则若,ABABABAB,则若16 上述基本性质都是常用的，其中（9），（10）两式通常称为德摩根（De Morgan）法则，它们的证明也是容易的。现在以（10）式为例进行证明。17 (9)()()(10)()()AAAASASASASA18 五集合序列的上、下(极)限集19 ,:nAxNnNx使是一个集合序列设,21nAAA():limsuplimnnnnnnnAAx xAxAxA或属于无限多个集合存在无限多个，使1NNnnANB例：设A2n=0,1A2n+1=1,2;则上极限集为0,220 ():limliminfnnnnnnAAxxAxnxA或除去有限个集外
8、，有当 充分大时，有1NNnnA例：设A2n=0,1A2n+1=1,2;则上极限集为0,2,下极限集为111limlimnnnnnnnnAAAA1,:NNnnnAAxNnNx使():limsuplimnnnnnAAx xA或属于无限多个集合,:nAxNnNx有NB21 nAnAnAlimnnAAlimlimnnnnAAA22 ;),(1为单调减少则称满足若集列nnnnANnAAA;),(1为单调增加则称满足若集列nnnnANnAAA.)21limnnnnnAAA 单调减少，则若;,)11limnnnnnAAA则单调增加若23 1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1
9、,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA111nnNNnnnnNnnAAAA当An为单调增加集列时11NNNNnnNNnnAAAA24 1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA 11NNNNnnNNnnAAAA当An为单调减小集列时111nnNNnnnnNnnAAAA25 则设,),(),11,11(212NnnnAnnAnn1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA(）)-n -1 0 1
10、 2 n(,)limnnA (1,1limnnA 26 则设,1,4,1121112NnAAnnnnnn -1 0 1 2 3 41,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA(0,1limnnA0,4)limnnA27 111|)()(:|)()(lim:kNNnknnnxfxfxxfxfxknknnxfxfNnNxfxf11|)()(|,1,1:)()(lim有,:AxxA有,:AxxA使28 111)(:)(:)()(limkNNnknnnaxfxaxfxxfxf，则设knkkaxfNnNaxf111)
11、(,1,)(,1有利用极限的保号性知，使得从而aaxfnaxfNnNkknk111)()(,1,1取极限，则两边关于有则，若111)(:kNNnknaxfxx,)()(lim,)(axfxfaxfxxnn即：反之若a a+1/k f(x)29 一域与-域有理数全体（或实数全体）相对于四则运算是封闭的，人们通常称它们为有理数域（或实数域），整数集则不然。前面已经定义了集合的“并”、“交”、“差”运算，那么什么样的集簇相对于集合的运算是封闭的呢？30 这就是下面要引进的定义。定义2 假设S是一个给定的集合，F是以S的一些子集为元素的一个集合，称为S的子集簇，如果它满足（1）；（2）当 时，；（3）
12、当 。则说F是S的一些子集构成的一个域(或代数)。如果还有 是F中一列元素时,有 则称F为S的一些子集构成的一个 域(或 代数)。FAFACsFBAFBA,时,)3(21nAAA当FAnn1F31 不难发现，如果（1）、（2）、（3）成立，则必有 ，且对任意 。如果(3)成立，则对任意 有 。域的最简单例子是S的一切子集构成的簇，这是S的子集簇中最大者；另一个例子是由空集和S本身构成的簇，这是S的子集所构成的域中最小者。FS FBAFBA,21FAAAnFAnn132 问题问题5 5：对于一个给定集合的：对于一个给定集合的子集簇F，它关于集合的运算可能不是封闭，它关于集合的运算可能不是封闭的。
13、的。1.1.如何构造一个如何构造一个-域包含域包含F?F?2.2.这样的这样的-域有多少？域有多少？3.3.存不存在满足上述条件的最小的存不存在满足上述条件的最小的-域？域？4.4.如何构造？如何构造？33 我们所要的 域G(F)必须满足这样两个条件（i）（ii）任何包含F的 域都包含G(F)，换句话说，G(F)是包含F的 域中最小者。满足（i）的 域不难找，S的一切子集构成的 域便是一个，问题在于如何找最小的一个，为此，不妨把包含F的所有 域相交，记这个集合为 ，则显然有 ，而且任何包含F的 域当然也包含了 ，如果我们证明了 是一个 域，则它就是包含F的最小 域。)(FGF()FF F()F
14、F()FF()FF34 下面的定理说明，不仅是含F的最小 域，而且是满足（i）、（ii）的唯一 域定理3 假设F是S的子集簇，则 是满足（i）、（ii）的唯一的 域。()FF()FF35 36 目的：掌握势的定义，熟悉势的性质，了解势的比较。重点与难点：势的定义及比较。37 7苹果 1,2,3,4,5,6,7 7桔子38 一势的定义问题问题1 1：回忆有限集是如何计数的？：回忆有限集是如何计数的？问题问题2 2：有限集的计数方法如何移植到无限：有限集的计数方法如何移植到无限 集情形？集情形？39 定义定义1 1 假设是两个集合，如果在A与B之间存在一种一一对应关系 ，即对A中任一元素，通过 与
15、B中唯一元素对应，反之，对B中任一元素，A中也有唯一元素通过 与之对应，则称集合A与集合B是对等的或它们有相同的势或基数，记作 ，或 ，满足上述条件的 称为A和B之间的一个1-1对应。BA BA40 显然，任何集合A与它自身是对等的，即 ;若 ，则也有 ，若 ，则 。AA BA AB CB CA BA 例1 作对应关系则 是 与 之间的一一对应。ZN,2,1,0 ,12,12,2,1 ,2,2:kknkknkknkknNZ41 从例1看出，虽然 是 的真子集，甚至直觉上 比 的元素少很多，但他们却是对等的，这在有限集情形是做不到的，后面将会看到，一个集合可以与其真子集对 等 是 无 穷 集 的
16、 一 个 特 征。NZNZ42 例2 N与R1不对等，即 。若不然，存在 与 的一个一一对应 ，将与N中n对应的元素 记为 ，则 上至少有一个单位长度的区间不含 ，不妨设此间 分为三等分，则 中至少不含1RN)(n1R1,0,1,01将I120,133nr1r1RN2r43 以 表示这个区间，将 三等分，其左、右两个区间中至少有一个区间不含 ，记为 ，依此类推，可得一串闭区间 ，满足：（1），且 的长度趋 于0（2）。2I2I3r3InI321IIInI,3,2,1,nIrnn44 由闭区间套定理知 ，但对任意nnI1nnmIrm1,，换言之，nnI1 不在R1中，这是不可能的。这一矛盾说明，
17、N与R1不可能对等。45 例2 说明，两个无限集的确可能有不同的势，既然势可以不同，如何对其进行比较呢？下面的定义给出了比较的方法。二.势的比较问题问题3 3：如何判断两个有限集含相同数量的：如何判断两个有限集含相同数量的 元素？元素？问题问题4 4：从有限集所含元素个数的：从有限集所含元素个数的比较比较，启发我们如何比较无限集的势？启发我们如何比较无限集的势？46 定义定义2 2 假设A、B是两个集合，若A与B的某个真子集B*对等，但不与B对等，则说A的势小于B的势，记作 ，或说B的势大于A的势，记作 。BAAB 47 问题问题5 5：从通常自然数大小的比较，对无限：从通常自然数大小的比较，
18、对无限 集的势我们自然会猜测什么？集的势我们自然会猜测什么？48 从直觉上判断，上述定义是自然和合理的，但有没有可能发生这样的情况呢，即A与B不对等，但A可以与B的真子集对等，B也可以与A的真子集对等？如果是这样的话，将会出现既有 ，又有 ，这显然是不合理的。伯恩斯坦（Bernstein）定理指出这种情况不会发生。BA AB 49 *定理定理1(Bernstein)1(Bernstein)假设假设A A，B B是两个是两个集合，如果集合，如果A A与与B B的某个子集对等，的某个子集对等，B B又与又与A A的某个子集对等，则的某个子集对等，则 。证明：证明：略略BA 50 由Bernstei
19、n定理不难证明：若 ，且 ，则 。从合理性方面讲，任何两个集合A和B 的势都应该是可以比较大小的，即下面三种 情况必有且仅有一种情况出现：CBA CACBBA,51 （i）；（ii）；（iii）。BA BA 遗憾的是，至今尚无法证明或否认这是真的。Zermelo给集合论加上了一条公理，即Zermelo选择公理，依据这条公理便可证明（i）、（ii）、（iii）有且仅且一种情形发生。BA52 选择公理（选择公理（ZermeloZermelo）设）设 是一是一簇两两不相交的非空集，则存在集合簇两两不相交的非空集，则存在集合L L满足下满足下列条件：列条件：（1 1）；（2 2）L L与与F F中每一
20、个集合有且只有一个公中每一个集合有且只有一个公共元素。共元素。AaaAFaAaAL 三Zorn引理53 直观地看，可以从F的每个集合中各自仅取出一个元素来构造一个新的集合L，这条公理与后面要介绍曹恩（Zorn）引理是等价的。换句话说，可以由选择公理出发证明Zorn引理，也可以由Zorn引理出发证明选择公理。首先让我们对一般的集合引进所谓的序关系：54 定义定义3 3 设S是一非空集合，如果在S的部分元素之间引进了某种序关系 ，满足 （i）；（ii）若 ；（iii）若 。则称 是一个偏序集偏序集。如果对任意 必有一个成立，则称 为一个全序集全序集。)(Saaacacbba则,baabba则且,)
21、,(SabbaSba与,),(S55 定义定义4 4 设 是一个偏序集，若对一切 ，都有 ，则称 是 的一个上界。如果 ，使得 中不存在 ，使 ，则称 是 的一个极大极大元元。),(SSbSA,Axbx Saxxaxa,abASS56 ZornZorn引理引理 如果偏序集如果偏序集 中的任何全中的任何全序子集在序子集在S S中都有上界，则中都有上界，则S S中一定存在极大中一定存在极大元。元。),(S57 58 目的：熟悉常见的两类集合的势，掌握其 基本性质。重点与难点：可数集合的性质，连续势的 性质。59 一可数集合 定义定义 凡是与自然数对等的集称为可数集或可列集，凡与R1对等的集称为具有
22、连续势。可数集性质：定理定理2 2 任何无穷集都包含一个可数子集。任何无穷集都包含一个可数子集。60 证明：假设 是一个无穷集，任取 ，因 无穷，故 亦无穷，因此又可以从 中任取一个元素 ，显然 ，假如已从 中取出 个元素 ，则由 是无穷集知 仍是无穷集，从而可从中取出一个元素 ，由归纳法知可从 中取出互不相同得元素MMMx 1nM1nx1xM 1xM 2x12xx MMniix1niixM161 排成一无穷序列：，显然 是 的可数子列。证毕。,21nxxx,21nxxxM62 定理定理3 3 可数集合的无穷子集仍是可数的。可数集合的无穷子集仍是可数的。证明：假设 是可数集，是 的无穷子集，由
23、定理2，含可数子集 ，于是 ，但 ，故 ，从而 也是可数的。证毕。M2M1MM1MMM2MMM12MM 11M63 定理定理4 4 设设 是可数集，是可数集，是有限集或可数是有限集或可数 集，则集，则 可数。可数。证明：由于 有限或可数，故 有限或可数，所以 可以写成 ，或 ，又因 可数，从而 可以写成 ，将 按如下方法排列：当 时，将 排成 BAABBBAA1iibABAB,21nbbbA1iiaBAniibAB164 当 将 排成无论哪种情形，显然都是可数的。证毕。,2121mnaaabbb1iibAB,2211nnbababaBABA65 定理定理5 5 有限个或可数个有限集或可数集的有
24、限个或可数个有限集或可数集的 并仍是有限集或可数集。并仍是有限集或可数集。证明：不妨假设 是一列有限或可数集（有限个集合情形证明相仿）。将 中元素排列成 ，（如果 是有限集，则排列成 ）。于是 表示 中的,21nAAAiAija,21iniiiaaaA iA,21iniiiaaaAiA66 第 个元素，记 ，则对任意自然数 ，满足 的数组 必为有限个，首先按 从小到大的顺序进行编号，即将 编为对每个 ，将 重新写成 jnjinnjinn),(ji1iiA1iijnjianjiija,1,12211nnnaaa67 即按第一个下标 从小到大的顺序排列，应该注意的是 中可能含一些重复的元素，暂且将
25、重复元素留着，最后将 排成在上述序列中，去掉重复元素，则剩下的是有限集或可数集。证毕。i1iiAija,1,111211312213211211nnnaaaaaaaaa68 如果说 表示正整数，表示一个有限集与可数集之并的势，表示 个可数集之并的势，表示可数个可数集之并的势，则定理5蕴含了下列各式：（1）（2）（3）（4）0C0C00CC 00CC 00CC 000CCC000CCC69 定理定理6 6 。证明：记 ，显然 是可数集，故 可数；同理每个 也可数，从而 可数，于是0CQ,3,2,1,mnmAn,1,2,3,nmAmn 1nnAnA1()nnA0)(11nnnnAAQ70 是可数的
26、，即 。证毕。定理6告诉我们，尽管有理数全体在数轴上处处稠密，然而，它和自然数集却是对等的，这与我们的直觉是多么不同！0QC71 问题问题1 1：可数集合的性质与有限集合的性：可数集合的性质与有限集合的性 质有何异同？其本质差别是什么？质有何异同？其本质差别是什么？72 前面已经看到，可数集是无穷集中势最小者，下面的命题指出，任一无穷集并上一个可数集不影响它的势。73 命题命题1 1 假设假设 A A 是无穷集是无穷集,B,B是可数集是可数集或有限集，则或有限集，则 。证明：由 可数或有限知 也可数或有限，且 ，故不妨假设 与 不相交。由定理2知 含可数子集，不妨记为 ，则 仍可数，于是 与
27、ABABBBA()ABAA0AA0AB0AB74 对等，又 与自身对等，不妨设 是 与 的1-1对应，是 到自身的恒等映射，则令 ，易知 是 0A0AB0A0AA0AA00)()()(AAaaAaaa当当0000()()()AAAAABABAA与75 的1-1对应，从而 。证毕。二无限集的特征 问题问题2:2:有限集与无限集的本质差别是否也有限集与无限集的本质差别是否也 体现在一般的无限集？这种差别是体现在一般的无限集？这种差别是 否正是无限集的特征？否正是无限集的特征？ABA76 命题命题2 2 是无穷集当且仅当它可以与其是无穷集当且仅当它可以与其 真子集对等。真子集对等。证明：先证必要性，
28、若 可数，则结论显然，故不妨设 不是可数集，由定理2，含可数子集 ，由于 非可数，所以 仍是无穷集，由命题1立知 AAA0AAA0AA000)(AAAAAA77 即 与其真子集 对等。为证充分性，我们要证，若 与其真子集对等，必是无穷集。假若不然，是有限集，不妨设为 ，与其真子集对等，记与 对等的真子集为 ，是 与 之间的1-1对应。则 ，注意0AAAAA12,nAa aaAAA120,miiiAa aamnA0()AA0A78 且因 是一一的，故对不同的 ，。故 是 中 个不同的元素，于是 。然而 。这说明 。这个矛盾意味着 必是无穷集。证毕。120()(),(),(),miiiAaaa()
29、()kjiiaa,k j0()AAmmA)(0An0()AAA79 在例2中，我们已经看到 与 是不对等的，因此 是一个不可数集合，我们也知道 是最小的无穷集，所以 。有一个很有意思的问题，存不存在这样的集合 ，其势位于 与 之间？即 。Cantor首先考虑了这个问题，但他未能解决。他猜测，没有这个中NAC0C1R1RN1RN0CAC80 间势，这就是著名的连续统假设，严格说来，至今没有人能证明是否存在这种势，但大家普遍承认Cantor的猜测，并将此作为集合论的一条公理。人们已经证明，这条公理与集合论的其它公理是相互独立的，换言之，无论是承认还是否认这条公理，都不会与其它公理发生冲突。81 三
30、具有连续势的集合例3 只要ab则 。令 则 是(a,b)到 的一个1-1对应，故 。显然当 的势均为C。同样 的势也为C。Cba),()2()(abaxtgx),(Cba),(),(,babababa时),),(aa82 定理定理7 7 如果如果 都是势小于或等都是势小于或等 于于 的集合，且其中至少有一个的的集合，且其中至少有一个的 势是势是 ，则，则 的势是的势是 。证明：略)3,2,1(iAi1iiACCC83 定理7实际是说，可数个势不超过 的集合之并，其势也不超过 ，用公式表示就是：。CCCCC084 以上看到的都是直线上的点集，平面内点集的势又有多大呢？85 定理定理8 8 。此处
31、。此处 指可数个指可数个 的笛卡尔积。的笛卡尔积。CRRnR1R86 87 目的：掌握连续势及其基本性质，了解连 续统假设；熟悉P进位表数法。重点与难点：连续势的性质。88 问题问题1：有限集或可数集的一切子集构有限集或可数集的一切子集构 成的集具有大于该集的势，由成的集具有大于该集的势，由 此我们可以作出何种猜测？此我们可以作出何种猜测？89 问题问题2 2：给定一个集合，如何构造：给定一个集合，如何构造 一个集合，使其具有比给一个集合，使其具有比给 定集合更大的势定集合更大的势?90 定理定理9 9（i i）假设）假设MM是由两个元素是由两个元素 作成作成 的元素序列全体，则的元素序列全体，则 。（ii ii）若）若 是可数集，则是可数集，则 的子集全体所的子集全体所 构成的集合构成的集合F F有连续势。有连续势。)(,qpqpCM QQ91 证明：略92 MMM二不存在最大势定理定理10 10 说明不存在最大势。说明不存在最大势。93 三P进位表数法略略94
