1、第二十八章第二十八章 圆圆28.2 28.2 过三点的圆过三点的圆1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升u确定圆的条件确定圆的条件 u三角形的外接圆三角形的外接圆 问题问题1：小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是哪一块？璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是哪一块？问题问题2：玻璃店里的师傅，要划出一块与原来大小玻璃店里的师傅，要划出一块与原来大小一样的圆形玻璃，他只要知道圆的什么
2、就可以了？为一样的圆形玻璃，他只要知道圆的什么就可以了？为什么？什么？问题问题3：如果店里师傅仅仅知道圆如果店里师傅仅仅知道圆的半径，他可以画出多少个这样的圆？的半径，他可以画出多少个这样的圆？为什么？为什么？1知识点知识点确定圆的条件确定圆的条件 知知1 1导导1.如图如图，平面上有两点，平面上有两点A，B，过点，过点A，B的圆有多少的圆有多少 个个?这些圆的圆心到点这些圆的圆心到点A，B的距离具有怎样的关系？的距离具有怎样的关系？圆心是否在线段的垂圆心是否在线段的垂 直平分线上？直平分线上？知知1 1导导2.如图，平面上三点如图，平面上三点A，B，C不在一条直线上不在一条直线上.过点过点
3、A，B，C的圆是否存在？如果存在，这样的圆有的圆是否存在？如果存在，这样的圆有 多少个？你能确定经过多少个？你能确定经过A，B，C三点的圆的圆心三点的圆的圆心 及半径吗？说出你的想法并和同学进行交流及半径吗？说出你的想法并和同学进行交流.知知1 1导导讨论讨论 当点当点A，B，C在同一条直线上时，过这三点的圆在同一条直线上时，过这三点的圆是否存在？是否存在？我们发现：过两点我们发现：过两点A，B的圆也有无数个，这些的圆也有无数个，这些圆的圆心都在线段圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.过不在同一条过不在同一条直线上三点直线上三点A，B，C的圆有且只有一个，的圆有且只有一个，这个圆
4、的圆这个圆的圆心为线段心为线段AB，BC的垂直平分线的交点的垂直平分线的交点.过在同一条直过在同一条直线上三线上三 点的圆不存在点的圆不存在.结论结论不在同一条直线上的三点确定一个圆不在同一条直线上的三点确定一个圆.(1)经过平面内一点可以作无数个圆；圆心可以经过平面内一点可以作无数个圆；圆心可以是这一点之外任何点是这一点之外任何点 (2)经过平面内两点可以作无数个圆；圆心在连经过平面内两点可以作无数个圆；圆心在连接这两点的线段的垂直平分线上接这两点的线段的垂直平分线上 (3)经过平面内不在同一直线上的三点，可以作经过平面内不在同一直线上的三点，可以作一个圆，并且只能作一个圆；圆心为连接其中任
5、意一个圆，并且只能作一个圆；圆心为连接其中任意两点的线段的垂直平分线的交点两点的线段的垂直平分线的交点知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）下列关于确定一个圆的说法正确的是下列关于确定一个圆的说法正确的是_已知圆心一定能确定一个圆；已知圆心一定能确定一个圆；以已知线段作为以已知线段作为半径一定能确定一个圆；半径一定能确定一个圆；以已知线段作为直径一以已知线段作为直径一定能确定一个圆；定能确定一个圆；经过不在同一直线上的三个点经过不在同一直线上的三个点一定能确定一个圆；经过菱形的四个顶点一定能一定能确定一个圆；经过菱形的四个顶点一定能确定一个圆确定一个圆知知1 1讲讲例例1导引：导引：“确定确定”
6、的含义是的含义是“有且只有有且只有”，而且确定一个圆需，而且确定一个圆需 要两个条件：圆心和半径要两个条件：圆心和半径缺少半径的长度；缺少半径的长度；缺少圆心的位置；缺少圆心的位置；显然错所以答案为显然错所以答案为.（来自（来自点拨点拨）总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）过平面内任意四点不一定能作出一个圆过过平面内任意四点不一定能作出一个圆过四点作圆，应先过不在同一直线上的三点作圆，四点作圆，应先过不在同一直线上的三点作圆，若第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点若第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上，即过这四点可以作一个圆；否则不能在圆上，即过这四点可以作一个圆；否则
7、不能1 下列说法中正确的是下列说法中正确的是()A两个点确定一个圆两个点确定一个圆 B三个点确定一个圆三个点确定一个圆 C四个点确定一个圆四个点确定一个圆 D不共线的三个点确定一个圆不共线的三个点确定一个圆知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2当点当点A，B，C满足下列条件时，总能确定一个满足下列条件时，总能确定一个 圆的是圆的是()AAB1，BC4 BAB1，BC2，AC1 CAB 1，BC2 2，AC 3 DAB3，BC7，AC5知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）333知知1 1讲讲例例2 用尺规作过三角形三个顶点的圆用尺规作过三角形三个顶点的圆.已知：如图已知：如图，ABC.求
8、作：求作：O，使它过三点使它过三点A，B，C.作法：作法：如图如图.(1)分别作线段分别作线段AB和和BC的垂直平分线的垂直平分线l1和和l2.设设l1与与l2相交于点相交于点O.(2)以点以点O为圆心，为圆心，OA为半径画圆为半径画圆.O即为所求即为所求.（来自（来自教材教材）本题运用本题运用分类讨论思想分类讨论思想解答，三点在和不在同一解答，三点在和不在同一条直线上，所得结果不同当三点在同一条直线上时，条直线上，所得结果不同当三点在同一条直线上时，任意连两条线段，并作它们的垂直平分线，这两条垂任意连两条线段，并作它们的垂直平分线，这两条垂直平分线是平行的，两直线没有交点，即无法确定圆直平分
9、线是平行的，两直线没有交点，即无法确定圆心和半径，所以此时无法作圆心和半径，所以此时无法作圆结结 论论知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）1 如图，已知直线如图，已知直线a和直线外的两点和直线外的两点A，B，经过，经过A，B作一圆，使它的圆心在直线作一圆，使它的圆心在直线a上上知知1 1练练（来自（来自点拨点拨）知知1 1练练2 如图，点如图，点A，B，C在同一条直线上，点在同一条直线上，点D在直在直 线线AB外，过这四点中的任意三个点，能画圆外，过这四点中的任意三个点，能画圆的个数是的个数是()A1 B2 C3 D4（来自（来自典中点典中点）2知识点知识点三角形的外接圆三角形的外接圆知知2
10、2导导 我们把经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的我们把经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外外接圆接圆(circumcircle)，外接圆的圆心叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心外心(circumcenter).(1)三角形的外心的位置：三角形的外心的位置：锐角三角形的外心在锐角锐角三角形的外心在锐角三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形的斜边三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形的斜边的中点处，钝角三角形的外心在钝角三角形的外部的中点处，钝角三角形的外心在钝角三角形的外部 (2)三角形外接圆的作法三角形外接圆的作法：作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；作三角形任意两边的
11、垂直平分线，确定其交点；以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可的距离为半径作圆即可 注意：注意：一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形数个内接三角形.知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲例例3 已知已知ABC中，中，ABC135，则，则 这个三角形的外心在这个三角形的外心在()A三角形的内部三角形的内部 B三角形的外部三角形的外部 C三角形的边上三角形的边上 D无法确定无法确定导引：导引：根据三角形的内角和定理可知三个角的度数分别根据三角形的内角和定理可知三个角的
12、度数分别 是是20、60和和100，所以这个三角形是钝角三，所以这个三角形是钝角三 角形，外心在三角形的外部角形，外心在三角形的外部.（来自（来自点拨点拨）B 要确定三角形的外心的位置，我们首先要确定三要确定三角形的外心的位置，我们首先要确定三角形的形状，由三角形的内角和等于角形的形状，由三角形的内角和等于180，可以求得，可以求得C100，故此三角形的外心在三角形的外部，故此三角形的外心在三角形的外部结结 论论知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）知知2 2练练1 如图所示，如图所示，A，B，C分别表示三个村庄，分别表示三个村庄，AB1 000米，米，BC600米，米，AC800米，为了丰富群
13、众生活，米，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心心的距离相等，则活动中心P的位置应在的位置应在()A边边AB的中点处的中点处 B边边BC的中点处的中点处 C边边AC的中点处的中点处 DC的平分线与边的平分线与边AB的交点处的交点处（来自（来自点拨点拨）知知2 2练练2 下列说法中，正确的是下列说法中，正确的是()A三点确定一个圆三点确定一个圆 B圆有且只有一个内接三角形圆有且只有一个内接三角形 C三角形的外心到三角形三边的距离相等三角形的外心到三角形三边的距离相等 D三角形有且只有一个外接圆三角形有且
14、只有一个外接圆3 下列说法中，真命题的个数是下列说法中，真命题的个数是()任何三角形有且只有一个外接圆；任何三角形有且只有一个外接圆；任何圆有且只任何圆有且只 有一个内接三角形；有一个内接三角形；三角形的外心不一定在三角形三角形的外心不一定在三角形 内；内；三角形的外心到三角形三边的距离相等；三角形的外心到三角形三边的距离相等；经经 过三点确定一个圆过三点确定一个圆 A1 B2 C3 D4（来自（来自典中点典中点）1.三角形外心的性质：三角形外心的性质：三角形的外心是它的外接圆的圆三角形的外心是它的外接圆的圆 心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形 各个顶点的距离相等；锐角三角形的外心在三角形的各个顶点的距离相等；锐角三角形的外心在三角形的 内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形 的外心在三角形的外部的外心在三角形的外部2.三角形的外接圆有且只有一个；一个圆的内接三角形三角形的外接圆有且只有一个；一个圆的内接三角形 却有无数个，这些三角形的外心重合却有无数个，这些三角形的外心重合
