1、 42.2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系1已知两圆C1和C2的半径分别为r1、r2，圆心距为d两圆相离两圆相外切两圆相交两圆相内切两圆内含2已知两圆x2y21与x2y22xy0交于A、B两点，则直线AB方程为 .dr1r2dr1r2|r2r1|dr2r1d|r2r1|0d0)的交点的圆的方程可设为x2y2DxEyF(AxByc)0.例1判断下列两圆的位置关系(1)x2y22x0与x2y24y0.(2)x2y2x2y0与x2y26x8y240.解析(1)圆心C1(1,0)、C2(0，2)，半径r1，R2，圆心距离d，RrdRr，故两圆相交(2)同(1)的方法可知两圆外离点评判断两圆的位置关系一
2、般用几何法，而不用代数法，因为用代数法计算量大，且联立方程组消元后，若只有一解，未必两圆相切(如圆x2y24与(x2)2y29相交，但消去y后关于x的方程只有一解)已知圆C1：x2y22mx4ym250，圆C2：x2y22x2mym230，(1)若圆C1与圆C2相外切，则m_，(2)若圆C1与圆C2内含，则m的取值集合为_答案(1)5或2(2)m|2m1解析C1：(xm)2(y2)29.C2：(x1)2(ym)24.(1)如果C1与C2外切，则有(m1)2(m2)21，m23m20，2m1，当m5或m2时，C1与C2外切；当2m1时，C1与C2内含.例2已知圆C1：x2y22x6y10，圆C2
3、：x2y24x2y110.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长分析因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去x2项、y2项，即得两圆的两个交点所在的直线方程利用勾股定理可求出两圆公共弦长解析设两圆交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A、B两点坐标是方程组得3x4y60.A、B两点坐标都满足此方程，3x4y60即为两圆公共弦所在的直线方程易知圆C1的圆心(1,3)，半径r3.A的方程为x2y22x2y70，B的方程为x2y22x2y20，判断 A和 B是否相交，若相交，求过两交点的直线的方程及两交点间的距离；若不相交，说明理由解析 A：(x1)2(y1)29的圆心A(1,1)
4、，半径r3，B：(x1)2(y1)24的圆心B(1，1)，半径R2，两圆相交，A的方程与 B的方程左、右两边分别相减得4x4y50，即4x4y50为过两圆交点的直线的方程设两交点分别为C、D，则直线CD方程为：4x4y50，点评判断两圆相交的方法，常用两圆心之间的距离d与两圆半径的和及差的绝对值比较大小即当|Rr|dRr时，两圆相交求相交两圆的公共弦长及其方程一般不用求交点的方法，常用两方程相减法消去二次项，得公共弦的方程，用勾股定理求弦长例3求以两圆C1：x2y22x30，C2：x2y24x50的交点为直径的圆的方程分析由圆系方程设出所求圆的方程再结合圆心必在二圆公共弦上，而公共弦方程由二圆
5、方程相减消去平方项得到解析设过C1、C2交点的圆方程为：(x2y22x3)(x2y24x5)0.点评1公共弦为直径，圆心在公弦线上，又在连心线上，由此可得圆心坐标，半径为弦长的一半2可以先联立两圆的方程组成方程组解出交点坐标，然后由中点坐标公式和两点间距离公式求圆心和半径，但计算量较大过圆x2y22x4y50和直线2xy40的交点，且圆心在直线yx上的圆的方程为_答案x2y210 x10y290解析设圆的方程为x2y22x4y5(2xy4)0.即x2y2(22)x(4)y450以下求半径：(x5)2(y5)2r2与x2y22x4y50相减得直线方程为2xy40，可得r279.由弦长、弦心距求r
6、.由圆系方程圆心求r.2由直线与圆方程联立可解出两交点A、B坐标，因为圆心C在直线yx上，故可设C(x0，x0)，可由|CA|CB|求出x0.例4(1)求圆心为C(1,2)，且与定圆x2y24相切的圆的方程(2)求半径为1，且与定圆x2y29相切的动圆圆心的轨迹方程半径为4，与圆x2y24x2y40相切，且和直线y0相切的圆的方程为_解析因为所求圆与直线y0相切且半径为4，所以设圆心坐标为O1(a,4)(或O1(a，4)，且方程为(xa)2(y4)242或(xa)2(y4)242，已知圆x2y24x2y40的圆心为O2(2,1)，半径为3，点评本题易形成下面错解：因为所求圆与直线y0相切且半径
7、为4，所以设圆心的坐标O1(a,4)，且方程为(xa)2(y4)242.又已知圆x2y24x2y40，即(x2)2(y1)232.圆心为O2(2,1)，半径为3.错误的原因是：圆与直线y0相切，圆半径为4，圆心的纵坐标不一定为4，也可以是4；两圆相切不一定是外切、也可能内切，故解题时考虑问题要周到细致一、选择题1若两圆x2y2m与x2y26x8y110有公共点，则实数m的取值范围是()Am2C1m121 D1m121答案C2已知圆C1：(x1)2(y3)225，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A(x3)2(y5)225B(x5)2(y1)225C(x1)2(y4)225
8、D(x3)2(y2)225答案B解析设 C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4x,2y)在 C1上，(x5)2(y1)225.3圆x2y22x50和圆x2y22x4y40的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为()Axy10 B2xy10Cx2y10 Dxy10答案A解析直线AB的方程为：4x4y10，因此线段AB的垂直平分线斜率为1，过圆心(1,0)，方程为y(x1)，故选A.点评两圆相交时，公共弦的垂直平分线过两圆的圆心，故连心线所在直线就是弦AB的垂直平分线二、填空题点评像本题这样，直线与曲线(圆)的一部分有公共点的问题，适宜用数形结合法解决5直线3x4y100与圆x2y25ym0相交于A，B两点，且OAOB，O为坐标原点，则m_.答案0AB为圆的直径，从而由OAOB可知，原点O在圆上，m0.
