1、 第一节第一节 多元数量函数积分的概念与性质多元数量函数积分的概念与性质 第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算 第三节第三节 三重积分的计算三重积分的计算 第四节第四节 第一型曲线积分的计算第一型曲线积分的计算 第五节第五节 第一型曲面积分的计算第一型曲面积分的计算 第六节第六节 数量函数积分的应用数量函数积分的应用第六章第六章 多元数量函数的积分学及其应用多元数量函数的积分学及其应用 1.1 1.1 积分的概念积分的概念实例实例1.1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积(,)(,)0 xoyDDzzf x yf x yD设有一立体，它的底是面上的闭区域，它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行
2、于 轴的柱面，它的顶是曲面，这里且在上连续这样的立体叫做曲顶柱体xzo),(yxfz yD一、两个实例一、两个实例体积体积=平顶柱体的体积计算平顶柱体的体积计算底面积高底面积高曲边梯形面积的求法曲边梯形面积的求法“分割、近似、求和、取极限分割、近似、求和、取极限”的思想方法的思想方法曲顶柱体的体积计算曲顶柱体的体积计算以直线代曲线以直线代曲线以平面代曲面以平面代曲面（2 2）近近似似 ),(iii ),2,1(ni，用用以以),(iif 为为高高，i 为为底底的的平平顶顶柱柱体体的的体体积积iiif ),(近近似似代代替替个第i 小小曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积，即即 iiiifV ),(),
3、2,1(ni。（1 1）分分割割。将将D 区区域域任任意意分分成成个 n子子域域：1 ，2，n 。并并以以i ),2,1(ni 表表示示个个第第i子子域域的的面面积积。然然后后以以每每个个 子子域域的的边边界界曲曲线线为为准准线线，作作母母线线平平行行于于轴轴 z的的柱柱面面，这这些些 柱柱面面就就把把原原来来的的曲曲顶顶柱柱体体分分成成 n 个个小小的的曲曲顶顶柱柱体体。iiiifV ),(xzyoDi ),(ii （4 4）取极限）取极限 设设max1的直径的直径inid ，当，当0d时上面和式的时上面和式的 极限就是曲顶柱体的体积，即极限就是曲顶柱体的体积，即 iniiidfV 10),
4、(lim。（3 3）求和）求和 将这将这 n 个小平顶柱体的体积相加，得到原曲顶柱体个小平顶柱体的体积相加，得到原曲顶柱体 体积的近似值，即体积的近似值，即 iniiiniifVV 11),(总结步骤如下：总结步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，01lim(,).niiidiVf 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 设有一平面薄片在设有一平面薄片在xoy平面上占有区域平面上占有区域 D，其面密度，其面密度 为为 D 上
5、的连续函数上的连续函数),(yx，求该平面薄片的质量，求该平面薄片的质量 m。xyoD 均匀薄片的质量均匀薄片的质量 面密度面密度薄片面积薄片面积（1 1）分分割割 将将薄薄片片(即即区区域域 D)任任意意分分成成 n 个个子子域域：n ,21，并并以以i ),2,1(ni 表表示示第第 i 个个子子域域的的面面积积。（2 2）近近似似 ),(iii ),2,1(ni，第第i块块薄薄片片的的质质量量的的近近似似值值为为 im),(ii i 。xyoD),(ii i （3 3）求和）求和 将这将这 n 个看作质量分布均匀的小块的质量相加，得到个看作质量分布均匀的小块的质量相加，得到 整个平面薄片
6、质量的近似值，即整个平面薄片质量的近似值，即 iniiiniimm 11),(（4 4）取极限）取极限 设设 max 1的直径的直径inid ，当，当0d上面和式的极限上面和式的极限 就是所求薄片的质量，即就是所求薄片的质量，即 iniiidm 10),(lim。而且与定积分中的问题相比较，思想方法完全是一致的，只是闭区间换成了闭区域（也可是闭曲面），一元函数换成了二元函数（也可是三元函数）。保留其数学结构的特征，抽象出其共性，可得数量函数积分的概念。从上两例可见：虽然问题的背景不同，一个是几何问题，一个是物理问题，讨论的对象不一样，一个是空间立体，一个是平面，但处理的方法是一样的，最终都归结
7、为同一形式的和式的极限。.上有定义在的几何形体，函数是一个有界的可以度量设f二、二、数量函数积分的概念数量函数积分的概念),2,1nknk（个小部分任意分割成将定义定义1.1，的直径记（其度量仍记为knkkdnk1max),1kknkkkMfM)(1，作和式任取点如何选取，当如何分割，点如果不论将kkM，即记为上的积分在上可积，极限值为几何形体在极限，则称函数时，上述和式有确定的dMfffd)(,0kknkdMfdMf)(lim)(10kknkkdDfdyxf),(lim,10二重积分二重积分:三重积分：三重积分：kkknkkdvfdvzyxf),(lim),(10第一型曲线积分第一型曲线积分
8、（对弧长的曲线积分）：（对弧长的曲线积分）：kkknkkdLsfdszyxf),(lim),(10kknkkdLsfdsyxf),(lim),(10第一型曲面积分第一型曲面积分（对面积的曲面积分）：（对面积的曲面积分）：kkknkkdAfdAzyxf),(lim),(100,yxfyxfz,Ddyxf,当 时，=以D为底,以 为顶的曲顶柱体的体积；01limnkdkd 的 度 量时，1f 数量函数积分的几何意义：数量函数积分的几何意义：;的面积平面区域DdD的体积；空间立体 dv;的面积曲面 Ad.的长度曲线 LdsL 数量函数积分的物理应用之一：数量函数积分的物理应用之一：的密度函数时，为几何形体当函数f()f M d 的质量dMgbdMfadMbgMaf)()()()(三、数量函数积分的性质三、数量函数积分的性质 1、线性性 2、可加性dMfdMfdMf)()()(21无公共内点。与且其中2121,dMgdMf)()(特别地，有dMfdMf)()(3、（单调性）若 则,()(),Mf Mg M，使，则存在设*)(MCMf的度量的度量12)(MdMfM4、估值定理5、中值定理的度量)()(*MfdMf若 则21,(),MMf MM
