1、上页下页铃结束返回首页第八章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 8-1 第一型曲线积分第一型曲线积分1.第一型曲线积分的概念与性质第一型曲线积分的概念与性质 设有一条不均匀的物质曲线设有一条不均匀的物质曲线 以为其二个端点以为其二个端点,并并设上任一点处的线密度为设上任一点处的线密度为 ,求求L的质量的质量m.L,A BL,M x y z,x y z把曲线任意分割成段，设第段的弧长为把曲线任意分割成
2、段，设第段的弧长为，Lnisi在第段上任取一点在第段上任取一点i,1,2,iiiin 第段的质量第段的质量i,iiiiims 1max,ii ns 令令若极限若极限 存在，则存在，则01lim,niiiiis L曲线曲线 的质量的质量01lim,niiiiims 上页下页铃结束返回首页ABis1iMiM),(iiiiiiis),(ni 10limm定义 设函数在分段光滑曲线段设函数在分段光滑曲线段L上有定义上有定义,f x y z把曲线任意分割成段，设第段的弧长为把曲线任意分割成段，设第段的弧长为，Lnisi在第段上任取一点在第段上任取一点i,1,2,iiiin 1max,ii ns 令令若极
3、限若极限 对于曲线对于曲线01lim,niiiiifs L的任意分割法及中间点的任意取法都存在，则称此极限的任意分割法及中间点的任意取法都存在，则称此极限为函数沿曲线的为函数沿曲线的第一型（对弧长的）曲线积分第一型（对弧长的）曲线积分，,iii ,f x y zL记作记作,Lf x y z ds,f x y z称为被积函数称为被积函数L积分曲线积分曲线ds弧微分弧微分01,lim,niiiiLif x y z dsfs 即即说明 1.曲线光滑或分段光滑（光滑是指：曲线上每一点都有切线，曲线光滑或分段光滑（光滑是指：曲线上每一点都有切线，且切线方向随着曲线上点的连续变动而连续变动；且切线方向随着
4、曲线上点的连续变动而连续变动；分段光滑是指：曲线可由有限条光滑曲线弧段连接而成。分段光滑是指：曲线可由有限条光滑曲线弧段连接而成。例如，圆周、抛物线都是光滑曲线；例如，圆周、抛物线都是光滑曲线；四边形的周线是分段光滑曲线。四边形的周线是分段光滑曲线。2.函数函数 在曲线在曲线 上连续是指上连续是指 在一个包在一个包含含 的区域上连续的区域上连续.,f x y zL,f x y zL01,lim,niiiiLif x y z dsfs 4.平面第一型曲线积分形式是平面第一型曲线积分形式是:,Lf x y ds3.可以证明：当函数可以证明：当函数 在光滑曲线弧在光滑曲线弧 上连续时，上连续时，则则
5、 在在 上可积上可积.,f x y zLL,f x y ziimiisf),(lim10上页下页铃结束返回首页3.性质性质szyxfLd ),()1(LszyxfCd),()2(（C为常数)Lszyxfd),()3(L 由 组成)21,LLLsd)4(l 为曲线弧 L 的长度),(zyxgLszyxfd),(szyxgLd),(LszyxfCd),(l21d),(d),(LLszyxfszyxf 第一型曲线积分与曲线的走向无关第一型曲线积分与曲线的走向无关,.ABBAf x y z dsf x y z ds2.第一型曲线积分的计算第一型曲线积分的计算 ,Lyy xaxb设曲线 是有函数 所给出
6、,yy xa b其中在上有连续的导数,f x yL又假定在 上连续,则定理定理 2,1.bLaf x y dsf x y xy xdx(转化为定积分转化为定积分)证证:根据定义 iimiisf),(lim10Lsyxfd),(iimiisf),(1.)(,(1iimiisyf22)(iiiixyxs而而iixy2)(1).(1iiixxx 因为对因为对L的任意一个分割都相当于对区间的任意一个分割都相当于对区间 的一种分割，的一种分割，因此，上述和式可改写为因此，上述和式可改写为,iiba上页下页铃结束返回首页于是上述和式又近似于于是上述和式又近似于)(,(imiIiyfiixy2)(1可以严格
7、地证明，当可以严格地证明，当时，0max1imis，0max1imix时，并且0max1imix上述和式的极限就是线积分上述和式的极限就是线积分I，即，即Lsyxfd),()(,(lim0imiIiyfiixy2)(1baxyxf)(,(dxxyds2)(1弧微分弧微分.)(12dxxy上页下页铃结束返回首页例例1.计算,dLsx其中 L 是抛物线2xy 与点 B(1,1)之间的一段弧.解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41(121x)155(121上点 O(0,0)1Lxy2xy o)1,1(B上页下页铃结束返回首页定理定理 2 设曲线L
8、的参数方程为 x(t)y(t)(t)22,.Lf x y dsftttt dt：上连续，则有计算公式在若上有连续的一阶导数在与其中函数L),(,)()(yxfttxdydsdxyo说明说明:,0,0)1(iits因此积分限必须满足!(2)注意到 tttdsd)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法”.上页下页铃结束返回首页例例2),00(sincos:RRyRxL，的参数方程为设L.)1(22LdsyxI计算解解,dcossin2222RRRds02222)sin1(cosRdRRI0223cosdRR0225sincosdR.8253RR上页下页铃结束返回首页例例3 求曲线积分求曲线积分
9、,d2Lsyx.B(1,1)A(1,0),O(0,0),L为顶点的三角形的边界是以其中解解,OALBOAB);10(,0:OAxy);10(,1:AByx).10(,:BOxxy它们的弧微分依次为它们的弧微分依次为,012dxdxds,012dydyds.2112dxdxdsOAsyxd2,0010dxABsyxd2,311102dyyOBsyxd2.2412103dxxLsyxd231.241上页下页铃结束返回首页定理定理 3方程为为一空间曲线，且参数设L),()(),(),(:ttzztyytxxL,d)(222szyx:L),)()(),(上连续，则有下列公式在（定上有连续的导数，又假，在及并假定zyxftztytx.)()()()(),(),(222dttztytxtztytxf上页下页铃结束返回首页例例4.计算曲线积分,d)(222Lszyx其中L为螺旋的一段弧.解解:Lszyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线
