1、第第 2 2 章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 8 8 学时学时1/1/20231 LTI连续系统的时域分析，归纳为连续系统的时域分析，归纳为。由于在分析过程中涉及的函数变量均为时间由于在分析过程中涉及的函数变量均为时间t，故又称为故又称为。这种方法。这种方法不涉及任何变换，不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，直接求解系统的微分、积分方程式，直观，物理直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。有两种时域分析方法：有两种时域分析方法：是解一元是解一元 n 阶微分方程，阶微分方程，解解n元一阶微分方程。元一阶微分方程。1
2、/1/20232系统分析的过程系统分析的过程 变变换换域域法法利利用用卷卷积积积积分分法法求求解解零零状状态态可可利利用用经经典典法法求求零零输输入入双双零零法法经经典典法法解解方方程程网网络络拓拓扑扑约约束束根根据据元元件件约约束束列列写写方方程程:,:经典法经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问题有待进一步解决有关的问题有待进一步解决 h(t)；卷积积分法卷积积分法:任意激励下的零状态响应可通任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。过冲激响应来求。(新方法新方法)1/1/20233本章重点和难本章重点和难点点 线性系统完全响应的求解线性系统
3、完全响应的求解 冲激响应冲激响应 的求法的求法 卷积的图解说明卷积的图解说明 卷积卷积的性质的性质 零状态响应等于激励与冲激响应的卷零状态响应等于激励与冲激响应的卷积积)(th1/1/20234物理系统的模型物理系统的模型微分方程的列写微分方程的列写n 阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法1/1/20235物理系统的模型物理系统的模型许多实际系统可以用线性系统许多实际系统可以用线性系统来模拟。来模拟。若系统的参数不随时间而改变，若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用则该系统可以用
4、线性常系数微线性常系数微分方程分方程来描述。来描述。1/1/20236微分方程的列写微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据对于电路系统，主要是根据元件特性约束元件特性约束和和网络网络拓扑约束拓扑约束列写系统的微分方程。列写系统的微分方程。元件特性约束：元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。系等等。网络拓扑约
5、束：网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束由网络结构决定的电压电流约束关系关系,KCL，KVL。1/1/20237电感电感电阻电阻 tvRtiR1 d1 tLvLti电容电容 ttvCtiCdd 根据根据KCL titititiCLRS 代入上面元件伏安关系，并化简有代入上面元件伏安关系，并化简有 ttitvLttvRttvCdd1dd1ddS22 这是一个代表这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。并联电路系统的二阶微分方程。求并联电路的端电压求并联电路的端电压 与激励与激励 间的关系。间的关系。tv tis tisRRiLLiCciab tv例例2-2-11/1/20238解：由
6、解：由KVLKVL，列出电压方程：，列出电压方程：122211221()()()()()()1()()()()CLLLLLLutututRitd itLRitd td itd itd itutLRRCd td td t对上式求导，考虑到对上式求导，考虑到 11()()()()CCCdutitCRitu tdtiS(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1L例：输入激励是电流源例：输入激励是电流源i iS S(t),(t),试列出电流试列出电流i iL L(t)(t)为响应的为响应的方程式。方程式。CdttdiRdttdiLdttdiRtuCRLLC)()()()(1222111得得，1/1/
7、20239根据根据KCLKCL，有，有i iC C(t)=i(t)=iS S(t)-i(t)-iL L(t)(t)，因而因而u u1 1(t)=R(t)=R1 1i iC C(t)=R(t)=R1 1(i(iS S(t)-i(t)-iL L(t)(t)2122212121()()()()()()()()()1()1()()SLLLSLLLSLSditditditditititRLRCdtdtdtdtditRRditRditititdtLdtLCLdtLC整理上式后，可得：整理上式后，可得：iS(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1L2122212121()()()()()()()()()
8、1()1()()SLLLSLLLSLSd itd itditd itititRLRCd td td td tditRRd itRd itititd tLd tLCLd tLC1/1/202310 例：分别列出电流例：分别列出电流i i1 1(t)(t)、电流、电流i i2 2(t)(t)和电压和电压u uO O(t)(t)的数学的数学模型。模型。iS(t)i1(t)i2(t)uO(t)2 3 1 F1 H12212221:()()()()2:13()()()()2:()()tStOtOKCL i ti tidi tKCLdi ti tidutdtVARutidL上电压上电压）1/1/20231
9、1 解此联立方程，最后求得解此联立方程，最后求得 22111222222222()7()5()1()()()222()7()5()()322()75()3()22SSSSOOOSd i tdi td i tdi ti ti tdtdtdtdtd i tdi tdi ti tdtdtdtd utuuti tdtdtiS(t)i1(t)i2(t)uO(t)2 3 1 F1 H1/1/202312n 阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述 一个线性系统，其激励信号一个线性系统，其激励信号 与响应信号与响应信号 之间之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述的关系，可以用下列形式的微分方程式来
10、描述)(te)(tr)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 若系统为时不变的，则若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方均为常数，此方程为常系数的程为常系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。1/1/202313求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：分析系统的方法：列写方程，求解方程。列写方程，求解方程。变换域法利用卷积积分法求解零状态可利用经典法求解零输入应
11、零输入响应和零状态响经典法解方程网络拓扑约束根据元件约束列写方程:,:求解方程时域求解方程时域经典法经典法就是：就是：齐次解齐次解+特解特解 1/1/202314 我们一般将激励信号加入的时刻定义为我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应，响应为为 时的方程的解，初始条件时的方程的解，初始条件 0t齐次解：齐次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式 nktkkA1e 注意重根情况处理方法。注意重根情况处理方法。特特 解：解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程代入原方程，比较
12、系数，比较系数 定出特解。定出特解。1122d)0(d,d)0(d,d)0(d,)0(nntrtrtrr 初始条件的初始条件的确定确定是此课程要解决的问题。是此课程要解决的问题。经典法经典法kA全全 解：解：齐次解齐次解+特解，由特解，由初始条件初始条件定出齐次解定出齐次解 。1/1/202315 的的齐齐次次解解。求求微微分分方方程程tetrtrttrttrt 12dd16dd7dd2233系统的特征方程为系统的特征方程为 01216723 0322 3 ,221 重重根根 tthAAtAtr33221ee 特征根特征根因而对应的齐次解为因而对应的齐次解为1/1/202316如果已知：如果已
13、知：分别求两种情况下此分别求两种情况下此方程的特解。方程的特解。tettetrttrttr dd3dd2dd22 ,e 2 ;12ttette 给定微分方程式给定微分方程式 3221pBtBtBtr 为使等式两端为使等式两端 ,2,122tttte 得得到到代代入入方方程程右右端端将将平衡，试选特解函数式平衡，试选特解函数式 将此式将此式代入方程代入方程得到得到 为待定系数。为待定系数。这里这里321,BBB ttBBBtBBtB2322 34323212121 1/1/202317等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有 032223413321211BB
14、BBBB联解得到联解得到2710 ,92 ,31321 BBB所以，特解为所以，特解为 271092312p tttr1/1/202318 这里，这里，B是待定系数。是待定系数。代入方程后有：代入方程后有：。可可选选很很明明显显时时当当ttBtrtee,e tttttBBBeee3e2e 31 B。于于是是，特特解解为为te31 相相加加即即得得方方程程的的完完全全解解和和特特解解上上面面求求出出的的齐齐次次解解trtrph trAtrnitip1ie (2)1/1/202319几种典型激励函数相应的特几种典型激励函数相应的特解解激励函数激励函数e(t)响应函数响应函数r(t)的特解的特解)(
15、常常数数E)(常常数数Bpt1121 ppppBtBtBtBt etB e t cos t sin tBtB sincos21 tttp sine tttp cose tDtDtDtDtBtBtBtBtpppptpppp sinecose11211121 1/1/202320)0()0()0()0(LLCCiivv我们来进一步讨论我们来进一步讨论 的条件。的条件。起始点的跳变起始点的跳变 0t 1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrr状态、起始状态状态、起始状态 0导出的起始状态导出的起始状态状态、初始条件、状态、初始条件、0 1122d0d,d0d,d0d,00nnktrt
16、rtrrr1/1/202321当系统用微分方程表示时，系统从当系统用微分方程表示时，系统从 到到 状态有状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及及其各阶导数项。其各阶导数项。0 0 t 说明说明一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则换路定则：.00 ,00 LLCCiivv 0对于一个具体的电网络，系统的对于一个具体的电网络，系统的 状态就是系统中状态就是系统中储能元件的储能元件的储能情况储能情况;00 到到
17、但是当有但是当有冲激电流冲激电流强迫作用于电容或有强迫作用于电容或有冲激电压冲激电压强迫强迫作用于电感，作用于电感，状态就会发生跳变。状态就会发生跳变。1/1/202322电容电压的突变电容电压的突变由伏安关系由伏安关系 tCCiCtv d)(1)(tCCCiCiCiC0000d)(1d)(1d)(1 tCCCiCiCv000d)(1d)(1)0(0d)(1)0()0(,000 CCCiCvvt令令为有限值为有限值如果如果)(tic,0d)(00 Ci ttic 为为如果如果)(，CiCC1d)(100 )0()0(CCvv此时此时CvvCC1)0()0(此时此时当有冲激电流当有冲激电流或阶跃
18、电压作或阶跃电压作用于电容时：用于电容时：)0()0(CCvvC)(tvC)(tiC1/1/202323EvC )0(0)0(Cv)(d)(d)(tCEttvCtiCC 电流为冲激信号。电流为冲激信号。1/1/202324电感电流的突变电感电流的突变 tLLvLti d)(1)(00d)(1)0()0(LLLvLii)0()0(LLii此时此时 0d)(00，Lv如果为有限值，如果为有限值，)(tvL，为为如果如果)()(ttvL 00 ,1d)(100LLLiiLvL此时此时 冲激电压或阶冲激电压或阶跃电流作用于跃电流作用于电感时：电感时：)0()0(LLii1/1/202325ttiLtv
19、LLd)(d)(ttLILiiLLd)(1)0()0(00s s)0(IiL )(d)(dsstLIttvIL 1/1/202326配平的原理：配平的原理：t=0 时刻微分方程左右两端的时刻微分方程左右两端的(t)及各及各阶导数应该平衡阶导数应该平衡(其他项也其他项也应该平衡应该平衡，我们讨论初始，我们讨论初始条件，可以不管其他项）条件，可以不管其他项）ttrtrt 33dd 0,0rr求求已知已知例例：冲激函数匹配法确定初始冲激函数匹配法确定初始条条件件 相相对对单单位位跳跳变变函函数数到到表表示示 00:tu该过程可借该过程可借助助数学描述数学描述 ttrtrdtd 33 tt 33 t
20、3 t 9 t 9 tu 93 1/1/202327在在 中中 时刻有时刻有 tr0 t tu 9分析分析 t 3方程右端含方程右端含 tttr 3dd中必含中必含 ttr 3中包含中包含 t 方程右端不含方程右端不含 ttrtttr 939dd中的中的以平衡以平衡必含必含 900 rr 900 rr即即中的中的 trtdd t 9 表示表示 到到 的相对跳变函数，所以，的相对跳变函数，所以，tu 0 01/1/202328 可可知知由由方方程程ttrtrt 33dd 项，项，方程右端含方程右端含t trtdd它一定属于它一定属于数学描述数学描述 tubtatr ttubtatuctbta 3
21、33 900 brr tuctbtatrt dd设设则则代入方程代入方程得出得出所以得所以得 900 rr即即 03033bcaba 993cba即即1/1/202329例例 。和和用冲激函数匹配法求用冲激函数匹配法求和和如图，已知如图，已知输入输入的微分方程为的微分方程为描述描述 0dd0,00dd540 )(4dd6dd10dd7dd LTIS2222rtrrtrtetetettettrtrttrt（1）将）将e(t)代入微分方程，代入微分方程，t0得得 trtrttrt10dd7dd22 tutt 8122 1/1/202330(2)(2)方程右端的冲激函数项最高阶次是方程右端的冲激函数
22、项最高阶次是 ，因而有，因而有 t tuatrtubtatrttuctbtatrt dddd22)00(t trtrttrt10dd7dd22 tutt 8122 代入微分方程代入微分方程 tuatubtatuctbta 107 tutt 8122 1/1/202331 81071272abcaba求得求得 20dd0dd20dd0dd2002222crtrtbrtrtarr状状态态为为要要求求的的 0因而有因而有 20dd20dd514542020rtrtrr1/1/202332【例】如图所示，【例】如图所示，t0 时系统响应时系统响应 。)(te)0(Cv)(tvC+Rvc(0)e(t)v
23、c(t)+deeRCvetvttRCCRCtC)(1)0()(0)(1)(1)(1)(teRCtvRCtvdtdCC两端乘以两端乘以 ：两端求积分：两端求积分：)(1)(teeRCtvedtdRCtCRCtRCtedeeRCvtvetRCCCRCt)(1)0()(0得得微分方程微分方程仅与激励有关仅与激励有关零状态响应零状态响应仅与起始储能有仅与起始储能有关关零输入响应零输入响应1/1/202349 一一 由单位冲激信号由单位冲激信号(t)(t)所引起的所引起的零零状态响应状态响应称为称为单位冲激响应单位冲激响应，简称冲，简称冲激响应，用激响应，用h(t)h(t)表示。表示。二二 由单位由单位
24、阶跃阶跃信号信号u(t)所引起的零状所引起的零状态响应称为态响应称为单位阶跃响应单位阶跃响应，简称阶跃，简称阶跃响应，用响应，用g(t)表示。表示。1/1/202350:1/1/2023511/1/202352uuu1/1/202353 教材例教材例2-92-9 系统的冲激响应系统的冲激响应h(t)h(t)反映的是系统的特性，反映的是系统的特性，只与系统的内部结构和元件参数有关，而与系只与系统的内部结构和元件参数有关，而与系统的外部激励无关。但系统的冲激响应统的外部激励无关。但系统的冲激响应h(t)h(t)可可以由冲激信号以由冲激信号(t)(t)作用于系统而求得。作用于系统而求得。1/1/20
25、2354 在信号分析与系统分析时，常常需要将在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解为基本信号的形式。这样，对信号信号分解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析，从与系统的分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问题简单化，且可以使信号与系统而将复杂问题简单化，且可以使信号与系统分析的分析的物理过程更加清晰。信号分解为冲激物理过程更加清晰。信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例。信号序列就是其中的一个实例。1/1/202355 设设f1(t)和和f2(t)是定义在是定义在(-，)区间上的区间上的两个连续时间信号，我们将积分两个连续时间信号，我们将积分 dtff)()
26、(21定义为定义为f1(t)和和f2(t)的卷积的卷积(Convolution)，简记为简记为 dtfftftf)()()()(2121积分的结果为另一个新的时间信号。积分的结果为另一个新的时间信号。一、卷积的定义一、卷积的定义1/1/202356二、卷积积分法求解零状态响应二、卷积积分法求解零状态响应 在求解系统的零状态响应在求解系统的零状态响应y yf f(t)(t)时，时，将任意信号将任意信号f(t)f(t)分解为冲激函数序列，分解为冲激函数序列，然后令每一冲激函数单独作用于系统并然后令每一冲激函数单独作用于系统并求其冲激响应，最后利用求其冲激响应，最后利用LTILTI系统特性，系统特性
27、，将这些响应叠加即可解得系统对激励将这些响应叠加即可解得系统对激励f(t)f(t)的零状态响应的零状态响应y yf f(t)(t)。这个叠加的过程表。这个叠加的过程表现为求现为求。1/1/20235700()()()()()()()()()()()()()lim()()()()()lim()()kkkfkth ttkh tkf ktkf kh tkf ktkf kh tkf tf ktkf ttdytf kh tk ()()f t h td 系统的零状态响应系统的零状态响应y yf f(t)(t)为输入激励为输入激励f(t)f(t)与系统的冲激响应与系统的冲激响应h(t)h(t)的卷积积分的卷
28、积积分:()()()()()fytf t h tdf th t1/1/202358例：已知某线性非时变例：已知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为系统的动态方程式为 y(t)+3y(t)=2f(t)t0 激励为激励为3u(t)，试求系统的零状态响应，试求系统的零状态响应yf(t)。解：解：首先计算系统的冲激响应首先计算系统的冲激响应h(t)，即，即 h(t)+3h(t)=2(t)，t0 应用冲激平衡法，故可设应用冲激平衡法，故可设 h(t)=Ae-3t u(t)将将h(t)及及h(t)分别代入冲激响应微分方程式分别代入冲激响应微分方程式得得 Ae-3t(t)-3Ae-3tu(t)+3Ae-
29、3tu(t)=2(t)，t01/1/202359 解得解得A=2，故冲激响应，故冲激响应h(t)=2e-3t u(t)，系统的，系统的零状态响应为：零状态响应为：3()3()033033033()()()()()3()2()3 2(0)6(0)16(0)32(1)(0)2(1)()ftttttttttytf th tfh tdueu tdedtee dteeteteu t1/1/202360 由上例可见，如果激励由上例可见，如果激励f(t)和冲激和冲激响应响应h(t)均为因果函数均为因果函数(即有即有t0，有，有 1()00111(1)(1)0011(1)11()()()()11()(1)11
30、(1)()()(1)(1)1()()()()(1)tttrRCfCSttttRCRCRCRCttttRCRCRCttRCfCytutuh tdeedRCeedeeRCRCeeeeu tRCRCytuteeu tRC因此，零状态响应因此，零状态响应 1/1/202364 对于一些较简单的函数符号，如方波、对于一些较简单的函数符号，如方波、三角波等，可以利用图解方式来计算。而且，三角波等，可以利用图解方式来计算。而且，熟练掌握图解卷积的方法，对理解卷积的运熟练掌握图解卷积的方法，对理解卷积的运算过程是有帮助的。算过程是有帮助的。三、卷积图解法三、卷积图解法1/1/202365信号信号f1(t)与与
31、f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：第一步，画出第一步，画出f1(t)与与f2(t)波形，将波形图中的波形，将波形图中的t轴改换成轴改换成轴，分别得到轴，分别得到f1()和和f2()的波形。的波形。第二步，将第二步，将f2()波形以纵轴为中心轴翻转波形以纵轴为中心轴翻转180，得到，得到f2(-)波形。波形。第三步，给定一个第三步，给定一个t值，将值，将f2(-)波形沿波形沿轴平移轴平移|t|。得到。得到f2(t-)的波形。的波形。1/1/202366 第四步，将第四步，将f1()和和f2(t-)相乘，得到卷积积分式中的被积相乘，得到卷积积分式中的
32、被积函数函数f1()f2(t-)。第五步，计算乘积信号第五步，计算乘积信号f1()f2(t-)波形与波形与轴之间包含的轴之间包含的净面积，便是卷积在净面积，便是卷积在t时刻的值。时刻的值。第六步，令变量第六步，令变量t在在(-，)范围内变化，重复第三、四、范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积五步操作，最终得到卷积信号信号f1(t)*f2(t)。1/1/202367例例：)()()3()()(21tuetftututft求求y(t)=f1(t)*f2(t)。01234tf1(t)otf2(t)11(a)(b)1/1/20236801234f1()1o1f1()1f2()t0t310t
33、3f2()t(c)t0(d)0 t 310t3t03y(t)y(3)(e)t3(f)f2()(a)(b)f1()f1()f2()t1/1/202369 当当t0时，时，f2(t-)波形如图波形如图(c)所示，对任一所示，对任一，乘积，乘积f1()f2(t-)恒为零，故恒为零，故y(t)=0。当当0t3时，时，f2(t-)波形如图波形如图(e)所示，此时，仅在所示，此时，仅在03范范围内，围内，乘积乘积f1()f2(t-)不为零，故有不为零，故有 1/1/202371 1.卷积积分的代数性质卷积积分的代数性质 卷积积分是一种线性运算，它具有以下基卷积积分是一种线性运算，它具有以下基本特征。本特征
34、。1)交换律交换律()()()()()()()()f th th tf tfh tdfh td四、卷积积分的性质四、卷积积分的性质1/1/202372系统级联满足交换律系统级联满足交换律h1(t)h2(t)h1(t)h2(t)(t)(t)h(t)h1(t)h2(t)*h(t)h2(t)h1(t)*1/1/2023732)分配律分配律 (f1(t)+f2(t)*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t)两个信号两个信号f1(t)与与f2(t)叠加叠加后通过某系统后通过某系统h(t)将等于两个信号分别通过此系统将等于两个信号分别通过此系统h(t)后再叠加。后再叠加。1/1/202374卷
35、积分配律示意图卷积分配律示意图h(t)h(t)h(t)f1(t)f2(t)f1(t)f2(t)y(t)y(t)1/1/202375 3)结合律结合律 u(t)*(v(t)*w(t)=(u(t)*v(t)*w(t)(1th)(2th)(*)(*)()(21ththtetr)(te1/1/2023762.2.奇异信号的卷积特性奇异信号的卷积特性 信号信号f f(t t)与冲激信号与冲激信号(t t)的卷积等于的卷积等于f f(t t)本身，本身，即：即：)()()(tfttf0)(tf或或1/1/202377(2)信号信号f(t)与冲激偶与冲激偶(t)的卷积等于的卷积等于f(t)的导函数的导函数)
36、()(0)()()()()()()(*)(0tftfdtftfdtftft证：证：即冲激偶即冲激偶(t t)是微分器！是微分器！1/1/202378(3)信号信号f(t)与阶跃信号与阶跃信号u(t)的卷积等于信号的卷积等于信号f(t)的积分的积分证：证：即即u(u(t t)是积分器！是积分器！)()()()()(*)()1(tfdfdtuftftut)()(*)()(*)()1(tftftututf1/1/202379 3.卷积积分的微分和积分卷积积分的微分和积分注意注意:(3)式使用的条件是被求导的函数在式使用的条件是被求导的函数在 处为零值，处为零值，被积分的函数在被积分的函数在 区间上区
37、间上的积分值为零。的积分值为零。t),(3.3.卷积的微分积分特性卷积的微分积分特性1/1/202380证明：证明：(1)同理可证同理可证1/1/202381(2)同理可证同理可证uu1/1/202382uuuuuu(t)u(t)u(t)u1/1/202383 4.卷积的时移卷积的时移1/1/202384由卷积时移性质还可进一步得到如下推论：由卷积时移性质还可进一步得到如下推论：若若f1(t)*f2(t)=y(t)，则，则)(2121221121)()()()()(tttttftftttyttfttf式中，式中，t1和和t2为实常数。为实常数。特别地，特别地，)()()(00ttftttf即即
38、 是延时器！是延时器！)(0tt 1/1/202385例：计算下列卷积积分：例：计算下列卷积积分：)()(tutu)2()1(tutu1）2）)2()1(tttu3）1/1/202386先计算先计算u(t)*u(t)。因为。因为(-)=0，故可应用卷积运算，故可应用卷积运算的微积分性质求得：的微积分性质求得：1）2）uuuuduutu1/1/202387(3)利用卷积运算的分配律和时移性质，利用卷积运算的分配律和时移性质，可将给定的可将给定的卷积计算式表示为：卷积计算式表示为：1/1/202388 例：已知某线性非时变例：已知某线性非时变(LTI)(LTI)系统如图所示。图中系统如图所示。图中
39、h h1 1(t)=u(t),h(t)=u(t),h2 2(t)=(t-1),h(t)=(t-1),h3 3(t)=e(t)=e-3(t-2)-3(t-2)u(t-2)u(t-2)，试求该系统的冲激响应试求该系统的冲激响应h(t)h(t)。解：解：当多个子系统通过级联，并联组成一个大系统时，大系当多个子系统通过级联，并联组成一个大系统时，大系统的冲激响应统的冲激响应h(t)h(t)可以直接通过各子系统的冲激响应计算可以直接通过各子系统的冲激响应计算得到。得到。h1(t)h2(t)h3(t)f(t)y(t)系统1/1/202389 h(t)=h1(t)*h2(t)+h3(t)=h(t)*(t-1
40、)+e-3(t-2)u(t-2)=u(t-1)+e-3(t-2)u(t-2)h1(t)h2(t)h3(t)f(t)y(t)系统 从图可见，子系统从图可见，子系统h h1 1(t)(t)与与h h2 2(t)(t)是级联关是级联关系，而系，而h h3 3(t)(t)支路与支路与h h1 1(t)(t)及及h h2 2(t)(t)组成的支路是组成的支路是并联关系，因此并联关系，因此1/1/202390例例图图(a)系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应响应 如图如图(b)所示。求复合系统的冲激响所示。求复合系统的冲激响应应 ，并画出它的波形。，并画出它
41、的波形。thth21,th(a)(b)解：解：thththth211 如图（如图（c）所示）所示 th1 th1 th2 (c)1/1/202391例：已知例：已知f1(t)=e-3t u(t)，f2(t)=e-5t u(t)，试计算两，试计算两信号的卷积信号的卷积f1(t)*f2(t)。解：解：121235()35()3535()()()()()()1()21()()2ttttttf tf tff tdeueu tdeedeeeeu t上下限错误！上下限错误！缺少缺少u(t)！1/1/202392 例：已知信号例：已知信号f1(t)=e-3(t-1)u(t-1)与与 f2(t)=e-5(t-
42、2)u(t-2)，试计算，试计算f1(t)*f2(t)。解解:根据卷积积分的定义，可得 12123(1)5(2)3(1)5(2)3(3)5(3)3(3)5(3)()()()()(1)(2)1()21()(3)2ttttttf tf tff tdeueu tdeedeeeeu t 1/1/202393规定规定1：p称为称为微分算子微分算子，的含义是的含义是 。规定规定2：如：如：dtdp)(tpfdttdf)(0,ndtdpnnn)()(444tfdtdtfp微分算子与微分方程微分算子与微分方程1/1/202394规定规定3：称为称为积分算子积分算子，的含义是的含义是 。tdtp)(1)(1tf
43、ptdttf)(p11/1/202395规定规定4：设：设 为常数，则为常数，则 的含义是：的含义是：0111)(apapapapDnnnnia)()(tfpD)()()()()()(011110111tfatfdtdatfdtdatfdtdatfapapapannnnnnnnnn1/1/202396规定规定5：设：设 和和 是是 的正幂多项式，的正幂多项式，则方程则方程 所代表的方程是所代表的方程是 算子方程算子方程：含微分算子的方程。：含微分算子的方程。)()()()(tfpDpNty)(pD)(pNp)()()()(tfpNtypD1/1/202397 若若 称为称为 对对 的的。它代表
44、系统对输入的传输作用，或系统将输它代表系统对输入的传输作用，或系统将输入转移为输出的作用，又称入转移为输出的作用，又称 为为系统的系统的。)()()(pDpNpH)(pH)(ty)(tf)(pH1/1/202398举例举例1：对应的方程为对应的方程为 或或 42)(2PppH)()2()()4(2tfptyp)(2)()(4)(tftftyty 1/1/202399规定规定6：设：设 和和 都是都是 的正幂多项的正幂多项式，则规定：式，则规定：)()()()()()(tfpBpAtfpBpA)(pA)(pBp)()()()()()()(tfpBtfpAtfpBpA1/1/2023100性质性质
45、1：以：以 的正幂多项式出现的算子式可的正幂多项式出现的算子式可以像代数多项式一样进行相乘和因式分解。以像代数多项式一样进行相乘和因式分解。如：如：又如：又如：p)()65()()2)(3(2tfpptfpp)()2)(2()()4(2tfpptfp1/1/2023101性质性质2：设：设 和和 都是都是 的正幂多项的正幂多项式，则：式，则：)()()()()()(tfpApBtfpBpA)(pA)(pBp1/1/2023102性质性质3：算子方程两边的公共因子不能随便：算子方程两边的公共因子不能随便 消去。消去。如若如若 则则 不一定成立！不一定成立！)()(tpftpy()()y tft1
46、/1/2023103性质性质4：设：设 、都是都是 的正幂的正幂多项式，则：多项式，则：但是：但是：)()()()()()(pBpApBpDpApD)(pA)(pBp)(pD)()()()()()(pBpApDpBpDpA1/1/2023104举例：举例：)()(1tftfpp)()(1tftpfp但但1/1/2023105 iuRtitu)()(pCtitu1)()(pLtitu)()()()(tRitutdttiCtu)(1)(dttdiLtu)()(Ri(t)u(t)+-C+-i(t)u(t)L+i(t)u(t)-1/1/2023106建立系统微分算子方程的方法：建立系统微分算子方程的方
47、法：把把R R、PLPL、1/PC1/PC看成阻抗，用正弦稳看成阻抗，用正弦稳电路分析法中所采用的网孔分析法、节点电路分析法中所采用的网孔分析法、节点分析法、阻抗分析法、戴维南定理等建立分析法、阻抗分析法、戴维南定理等建立系统微分算子方程。系统微分算子方程。1/1/2023107零输入响应零输入响应 的求解方法：的求解方法：设设 的微分算子方程为：的微分算子方程为：1)对对 因式分解；因式分解；2)求每个因式对应的零输入响应；求每个因式对应的零输入响应；3)等于各因式对应的零输入响应之和；等于各因式对应的零输入响应之和；4)用初始条件确定系数。用初始条件确定系数。)(tyx)(tyx0)()(
48、tyPDx)(tyx)(PD注意注意：零输入响应只与零输入响应只与D(p)有关，故有关，故H(p)中分中分子和分母的公共因式不能相约。子和分母的公共因式不能相约。1/1/2023108LTI连续系统的初始条件：连续系统的初始条件：初始时刻初始时刻 ，对因果系统，当对因果系统，当 时，时，0t)()()(tytytyfx)0()0()0()0()0()0()()()(jfjxjfxyyyyyy)0()0()0()0()0()0()()()(jfjxjfxyyyyyy0t0)(tf)0()0()0()0()()(jxjxyyyy)0()0()0()0()()(jxjxxxyyyy重要重要结论结论1
49、/1/2023109一阶系统的冲激响应一阶系统的冲激响应一阶系统方程如下：一阶系统方程如下：)()()()(01tfbpbtyap)()()()(01tbpbthap其冲激响应应满足：其冲激响应应满足：根据冲激平衡法：根据冲激平衡法：)()()(tBtuAetht)()()()(tuaAetAetBthtt（1）（2）1/1/2023110将将 和和 代入（代入（1）式：）式：利用冲激函数的性质：利用冲激函数的性质：等式两边等式两边 和和 的系数分别相等，得：的系数分别相等，得：101,BbAbab=+)(th)(th)()()()()()()(01tbtbtaBtuaAetuaAetAetB
50、ttt)()()()()(01tbtbtaBAtB)(t)(t1/1/2023111将其代入（将其代入（2）式：）式：冲激响应为：冲激响应为：当当 ，时，冲激响应为：时，冲激响应为：01bbb 0)()()()(101tueabbtbtht)()()()()()()(10101tueabbtbtapbpbtpHtht根根据据传传输输算算子子求求冲冲激激响响应应)()()()()(tubetapbtpHthat1/1/2023112当当 ，时，冲激响应为：时，冲激响应为：()()()()()pah tH ptttpaddd-=-11bab0 在求冲激响应时，算子式完全可以像普通代数在求冲激响应时
