1、达州市普通高中2023届第一次诊断性测试数学试题（理科）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黒.如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.复数满足，则（）A. B. C. D.3.已知向量，满足，则（）A.0 B.2 C. D.54.四川省将从2022年
2、秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（）A.样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B.样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C.样本中选择物理学科的人数较多D.样本中男生人数少于女生人数5.三棱锥的底面为直角三角形，的外接圆为圆底面，在圆上或内部，现将三棱锥的底面放置在水平面上，则三棱锥的俯视图不可能是（）A. B.C. D.6.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要
3、不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.把一个三边均为有理数的直角三角形面积的数值称为同余数，如果正整数为同余数，则称为整同余数.2021年11月3日，2020年度国家科学奖励大会在人民大会堂隆重召开，中国科学院研究员田刚以“同余数问题与函数的算术”项目荣获2020年度国家自然科学奖二等奖，在同余数这个具有千年历史数学中最重要的古老问题上取得突破性进展.在中，绕旋转一周，所成几何体的侧面积和体积的数值之比为，若的面积为整同余数，则的值可以为（）A.5 B.6 C.8 D.128.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，直线与曲线仅交于，三点，为的等
4、差中项，则的最小值为（）A.8 B.6 C.4 D.29.点为双曲线的一个焦点，过作双曲线的一条渐近线的平行线交双曲线于点为原点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.10.曲线在点处的切线平分圆，则（）A.有两个零点B.有极大值C.在上为增函数D.当时，11.在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（）A.异面直线与所成角的余弦值为B.点为正方形内一点，当平面时，的最小值为C.过点的平面截正方体所得的截面周长为D.当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为12.函数满足，令，对任意的，都有，若，则（）A. B.3 C.1 D.二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.展开
5、式中的常数项为_（用数字作答）.14.定义，现从集合中随机取两个不同的元素，则满足的概率为_.15.已知正方形边长为两点分别为边上动点，则的周长为_.16.斜率为1的直线与曲线交于两点，为的焦点，点为曲线上一点，当的面积取最大值时，_.三解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一.据统计该市2017年至2021年农村居民人
6、均可支配收入的数据如下表：年份20172018201920202021年份代码12345人均可支配收入（单位：万元）（1）根据上表统计数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若则线性相关程度较高，精确到）；（2）市五届人大二次会议政府工作报告提出，2022年农村居民人均可支配收入力争不低于万元，求该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值（用百分比表示）.参考公式和数据：相关系数，.18.（12分）已知正项等比数列前项和为，当时，.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.19.（12分）如图，四棱锥的底面是梯形，为延长线上一点，
7、平面是中点.（1）证明：；（2）若，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.20.（12分）已知直线交椭圆于两点，为的左右焦点，关于直线的对称点在上.（1）求的值；（2）过斜率为的直线交线段于点，交于点，求的最小值.21.（12分）已知函数.（1）若是函数的极值点，求的单调区间；（2）证明：当时，曲线上的所有点均在抛物线的内部.（二）选考题：共10分.请考生在第2223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数）.（1）写出曲线的直角坐标方程
8、；（2）设直线与曲线交于两点，定点，求的最小值.23.选修4-5：不等式选讲（10分）设函数.（1）若的解集为，求实数的值；（2）若，且，求的最小值.达州市普通高中2023届第一次诊断性测试理科数学参考答案一选择题：1.A 2.C 3.D4.C5.D6.A7.B8.C9.D10D11B12.A二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.7014.15.416.1三解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.解：（1）由表知的平均数为.与具有较高的线性相关程度.（2）设增长率为，则，解得.该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值为.18.解：（1）
9、设等比数列的公比为由得.，即.所以.（2）.19.（1）证明：平面平面.又平面.平面.取的中点，连接为的中点，.，为的中点，.又平面.平面.（2）解：.，且四边形为矩形，平面.以为原点，分别以方向为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系.则，易知是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为，即不妨取，得.由图知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为.20.解：（1）由题知.设关于直线的对称点坐标为，则，解得.根据条件得，解得，即.（2）设.把带入椭圆方程得的坐标为，.由已知得直线的方程为交线段于，即.设，在中令，得.把代入并化简得.令，则，当，即时，取得最小值.所以的最小值为.21.解：（1）由得，
10、且.是函数的极值点，即.设，则.当时，单调递减，当时单调递增.又当时，且.当时，.若单调递减；若单调递增，是的极小值点.所以的单调减区间为，增区间为.（2）证明：.构造函数，则，当时，单调递减，当时，单调递增.由于.设，则，当时，单调递增，当时，单调递减.由于.，即.所以曲线上所有的点都在抛物线内.22.解：（1）将代入的极坐标方程得曲线为，即.（2）易知点在直线上，将直线的参数方程（为参数）代入曲线方程得，整理得.设点对应该的参数分别为，则，由参数的几何意义不妨令.当，即时，.23.（1）解：不等式可化为，两边同时平方可得.原不等式解集为，即.（2）解：.关于直线对称，即.所以，当且仅当，即时取的最小值为9.12
