1、第五章第五章 特征值和特征向量特征值和特征向量 矩阵的对角化矩阵的对角化u矩阵的特征值矩阵的特征值u矩阵的特征向量矩阵的特征向量u矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件一 预备知识1.向量的内积 在空间解析几何中,向量的内积(即数量积或点积)描述了内积与向量的长度及夹角间的关系 内积定义：夹角：向量的长度：cosx yx yarccosx yx yxx x123123112233(,)(,)x x xy yyx yx yx y1122,nnxyxyxyxy内积的坐标表示式内积的坐标表示式 ：n定义1 设有 维向量 令1122,nnx yx yx yx y称为向量 与 的内积内积.xy,x y z
2、内积性质（其中 为 维向量，为实数）:n,;x yy x（1）,;x yx y（2）,;xy zx zy z（3）（4）等号当且仅当 时成立.,0,x x 0 x 22212,nxx xxxx0;x;xx.xyxy定义2 令 nx称为 维向量 的长度长度（或范数范数）.向量的长度具有下述性质性质：（1）非负性：（2）齐次性：（3）三角不等式：当 时，称 为单位向量单位向量.1x x2,x yx x y y,x yxy,10 x yxyxy当时Cauchy-Schwarz不等式不等式：或由此得任一非零向量除以它的长度后就成了单位向量.这一过程称为将向量单位化将向量单位化.定义3 当 时，0,0
3、xy,arccosx yxy定义4 当 时，,0 x y nxy称为 维向量 与 的夹角夹角.xy称向量 与 正交正交（或垂直垂直）.零向量与任何向量都正交定义5 若一个向量组中任意两个向量都正交，则称此向量组为正交向量组正交向量组.12,r n定理定理2 若 维向量 是一组若一个正交向量组中每一个向量都是单位向量，则称此向量组为正交规范向量组正交规范向量组或标准标准正交向量组正交向量组.两两正交的非零向量组，则 12,r 线性无关.12111,1,12 求非零向量 ,使 成为正交向量组.3123,1323,xxxTT13230,0 例例1 已知 解解 设则1231 110,1 120 xxx
4、 即1 111 111 10,1 12003001112230,TTxxx由123,0 xxx 得11,0从而有基础解系 3110取即为所求.与之等价的正交向量组 的方法：12,r 11;2.Schmidt正交化方法 Schmidt正交化方法是将一组线性无关的向量1222111,;,12,r 作如下的线性交换，化为一组1111,rrrrr12121122,rrrr 可以证明：12,r 两两正交，向量组 与12,k 12,k 等价.1kkr且对任何1121,11232311,1,4110 例例2 将 正交规范化.123,解解 先将 进行正交化，取 1222111,32145111,63111 1
5、323331211220,2.,2 111211,61e333011.21e 再将它们单位化，取 123,e e e则 即为所求.22211131e定理3 为正交矩阵的充分必要条件是ATTAAA AE定义6 如果 阶方阵 满足 An3.正交矩阵（即 ）1TAA那么称 为正交矩阵正交矩阵.AA的行（列）向量组为正交规范向量组.定理4 设A，B都是n阶正交方阵，则（1）1;1A 或（2）T1,AAAB也是正交矩阵.正交矩阵举例正交矩阵举例：（1）n阶单位矩阵En；cossin.sincos（2）T.x xxTTTyy yx P Px设 为正交变换，则有yPxyPx定义7 若P为正交矩阵，则线性变换
6、这说明，正交变换不改变向量的长度.称为正交变换正交变换.二 特征值和特征向量1.概念定义1 设A是 n阶方阵，如果数和n维非零列向量x使关系式Ax=x (1)成立，则称是方阵A的特征值特征值；非零列向量x称为A的对应于特征值的特征特征向量向量.()0(2)AE x（1）式也可写为 1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa0(3)AE这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，即它有非零解的充要条件是系数行列式 方程组(2)的系数矩阵A-E 称为A的特征矩阵特征矩阵;显然，A的特征值就是A的特征方程的解，在复数范围内，n阶方阵A有n个特征值（重根按重数计算）.|A-E|是的n次多项式
7、,记作f()，称为A的特征多项式特征多项式;式（3）称为A的特征方程特征方程.A例例1 已知 是2125312Aab111,a b的一个特征向量，试确定参数解解 由特征值和特征向量的定义可知，及特征向量 所对应的特征值 .3,0,1.ab 1,2,1.ab 12,1ab212115311,1211ab即于是所以即所求解为2.特征值和特征向量的求法;AEAn（1）求出 阶方阵 的特征多项式 求 阶方阵 的特征值与特征向量的步骤：An0AEi（2）求出特征方程 的全部根 ，i（3）把每个特征值 代入线性方程组（2），A 即是 的特征值；iA求出基础解系，就是 对应于 的特征向量，A基础解系的线性组
8、合（零向量除外）就是i对应于 的全部特征向量34(7)(2),52例例2 求矩阵 的特征值和特征向量3452AA解解 的特征多项式为 A所以 的特征值为 122,7.12 当 时，对应的特征向量应满足 12540,540 xx 于是，的对应 的全部特征向量为A12 14.5p容易求得方程组的一个基础解系为 12440,550 xx 当 时，由 2711c p10c（为常数）21.1p 解得基础解系 27A于是，的对应 的全部特征向量为 22c p（为常数）20c 3.特征值和特征向量的性质 定理1 设 是 阶方阵，nA定理2 设 是方阵 的特征值，,则,Nk mAkAk（1）是 的特征值；（2
9、）01()mmfaaa是01()mmf Aa Ea Aa A的特征值.则 与 有相同的特征值.TAA12,n n()ijAan定理3 设 阶方阵 的 个特征值为1niiia11nniiiiia（1），其中 是 的主对Atr();AA角元之和，称为矩阵矩阵 的迹的迹，记作1.niiA（2）推论 阶方阵 可逆的充分必要条件是它的 任一特征值不等于零.An则m12,m A定理4 设 是方阵 的 个特征值，1231,1,2 例例3 三阶方阵 的三个特征值分别为A*32.AAE求12,mp pp依次是与之对应的特征向量.12,m 如果 各不相等，则 12,mp pp线性无关.13,11,23,*1322
10、32 AAEAAEA*1.AA AA解解 可逆，所以1232,A 而故 232.xxx其中 A所以的特征值为于是*32AAAE 1339.A例例4 是 的特征根，可逆时，A11A是 的特征根.4.应用（发展与环保问题）为了定量分析工业发展与环境污染的关系，某地区提出如下增长模型：(1,2,)k 111181332733kkkkkkxxyyxy kkykx和 为第 个周期后的污染损耗和工业产值.0,.kkA210210,AAA 11811273kkkkxxyy即1(1,2,).kkAk或0由此模型及当前的水平 ，可以预测若干发展周期后的水平：28133562733AE下面利用矩阵特征值和特征向量
11、的有关性质，A 的特征多项式为 122,3.A所以，的特征值为A来计算 的幂.A为此，先计算 的特征值.20AE x121)对于特征值 ，解齐次线性方程组11.2p 的一个特征向量232)对于特征值 ，解齐次线性方程组30AE x的一个特征向量21.1p12A可得 的属于23A可得 的属于0111122nnnnnAA pp kn1p0如果当前的水平 恰好等于 ，则 时，12,2.nnnnxy即n它表明，经过 个发展周期后，工业产值已达12n到一个相当高的水平，但其中一半被2n污染损耗 所抵消，造成资源的严重浪费.10 2320 23nnnn1210 23nnpp01119如果当前的水平 ，则不
12、能直接应用上述方法分析.01210nnnnAA pA p于是01210,pp此时由于4241,x 4n 特别地，当 时，污染损耗为由上面的分析可以看出：4239y 工业产值为 ，损耗已超过了产值，经济将出现负增长.2pA尽管 的特征向量 没有实际意义0但任一具有实际意义的向量都可以表示为1,p2p的线性组合2p从而在分析过程中，仍具有重要作用.2p因 中含负分量三 相似矩阵1.概念与性质,Pn,A B定义1 设 都是 阶方阵，若有可逆矩阵A则称 是 的相似矩阵相似矩阵，或说矩阵 与 相似.ABB1P APAA对 进行运算 称为对 进行相似变换相似变换.P可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵相
13、似变换矩阵.BA1P APB使 n,A B C设 为 阶方阵，则相似矩阵有下列（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性.BA定理1 若 与 相似，则 BA（1）与 有相同的特征多项式和特征值；;AB（2）()();R AR B（3）mAmmB（4）与 也相似，其中 为正整数.基本性质：2.矩阵可对角化的条件 PA把方阵 对角化方法，即求相似变换矩阵nAn定理2 阶方阵 相似于 阶对角矩阵的nnA推论 如果 阶方阵 有 个互不相等特征值，1P AP 使 为对角阵.充要条件是nA有 个线性无关的特征向量.A则 与对角矩阵相似.例例1 已知矩阵10002000By200223 11Ax与相似.yx（
14、1）求 与 ；（2）求一个可逆矩阵 ，使 1;P APBP100.A（3）求(1)(2)()y2(2)(1)2xx20010022020,31100 xy AEBEBA解解 （1）因 与 相似，故 即1230012,1,0111ppp 1 0 x 将 代入有 ；A（2）的特征值为1，2，2，2.y 2 将 代入有()0AE x解齐次线性方程组A可分别求得 的对应特征向量111 112123300P1001001,APBP123001(,)210,111Pp pp 于是所求可逆矩阵 1.P APB使1APBP（3）由于 ，于是 100100100(1)0002000(2)001210111100
15、A所以11 1121233001001011001011001001013 200122222231 22121四 实对称矩阵的相似矩阵1.实对称矩阵特征值的性质 定理1 实对称矩阵的特征值为实数.定理3 设是n阶实对称矩阵A的r重特征值，则矩阵AE的秩为nr，从而对应特征值恰有r个线性无关的特征向量.定理2 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征 向量相互正交.2.实对称矩阵的相似理论 A定理4 任意实对称矩阵 都与对角矩阵相似.定理5 设 为 阶实对称矩阵，则存在正交矩 阵 ，使 ，其中 是以 的 个特征值为对角元素的对角矩阵 A1P APPnAn3.实对称矩阵对角化方法 An 阶实对称矩阵
16、对角化的具体步骤:0AE（1）求出特征方程()0iAE xi（2）对每一特征值 ，解齐次线性方程组12,;iiiir求得它的一个基础解系 12,s 所有不同的根Ai(1,2,);isir其中 为 的 重特征值 12,)ssssr1211121212(,rrP12,(1,2,);iiiiris（3）利用Schmidt正交化方法，（4）记P则 为正交矩阵，使12,iiiir 把 正交化，12,iiiir得到正交向量组再单位化，得到正交单位向量组121122diag(,)srrrss 1P AP并且排列顺序与P中正交规范向量组的排列顺序相对应.iir其中，矩阵 的主对角线元素 的重数为2(3)(1)
17、100021012AE100021,012A例例1 设P求一个正交矩阵 ，使 为对角矩阵.1P APA解解 的特征方程为(3)0AE x13当 时，解方程组 得101,1 基础解系101121p 单位化后得()0AE x当 时，解方程组2311233,1.A故 的特征值为 231010,1.201pp 23100,1.01 得基础解系 这两个向量已是正交，故只须将其单位化,得 131.1P AP12301011(,)0,2211022Pp pp于是求得正交矩阵 使T2323101,1,011 23,此时须先将 正交化231A 值得注意的是，对于 的二重特征值 23,上面求得的 碰巧是正交的，故不必正交化，只要单位化即可.但如果求得的基础解系为取2312111,13611ppT23332T22211,31 2211,1再单位化，得 12036111236111236P于是又得正交矩阵 131.1P AP使P这也说明，定理5中的正交矩阵 是不唯一的.
