1、 Z变换的性质变换的性质求逆求逆z z变换，即由象函数变换，即由象函数 求原序列求原序列 的问题。的问题。)(zF)(kf求逆求逆z z变换的方法有：幂级数展开法；变换的方法有：幂级数展开法；)()()1()()()()(12kkfkkfkfkfkf *部分分式法；部分分式法；反演积分法（留数法）。反演积分法（留数法）。本节重点讨论最常用的部分分式法。本节重点讨论最常用的部分分式法。一般而言，双边序列可分为因果序列与反因果序列。一般而言，双边序列可分为因果序列与反因果序列。式中因果序列为式中因果序列为)()()(1kkfkf 式中反因果序列为式中反因果序列为)1()()(2 kkfkf 相应地
2、，其相应地，其z z变换也分为两部分变换也分为两部分 zzFzFzF),()()(12本节重点研究因果序列的象函数的逆本节重点研究因果序列的象函数的逆z z变换。变换。其中其中 zzkfkkfZzFkk01)()()()(zzkfkkfZzFkk12)()1()()(根据给定的根据给定的F(z)F(z)及收敛域，不难求得及收敛域，不难求得F F1 1(z)(z)和和F F2 2(z),(z),并并分别求得它们所对应的原序列分别求得它们所对应的原序列f f1 1(k)(k)和和f f2 2(k)(k)。根据线性。根据线性性质，将二者相加就得到性质，将二者相加就得到F(z)F(z)所对应的原序列所
3、对应的原序列f(k)f(k)。例例6.3-1 6.3-1 已知象函数已知象函数2)2)(1()(222 zzzzzzzF其收敛域如下，分别求其相应的原序列其收敛域如下，分别求其相应的原序列f(k)f(k)21)3(1)2(2)1(zzz解（解（1 1）由于）由于)(zF2 z的收敛域为的收敛域为故故 为因果序列。为因果序列。)(kf)(zF用长除法将用长除法将 展开为展开为 的幂级数如下：的幂级数如下：1 z一、幂级数展开法一、幂级数展开法 521531zzz22 zz22 zz121 zz2z2 z123 z即即 321225312)(zzzzzzzF相比较可得原序列相比较可得原序列,5,3
4、,1,1)(kf0 k 2)(22 zzzzF kkzkfzF 0)(（2 2）由于）由于)(zF1 z的收敛域为的收敛域为故故 为反因果序列为反因果序列。)(kf)(zF用长除法将用长除法将 展开为展开为 的幂级数如下：的幂级数如下：z 5432165834121zzzz22zz 4322121zzz 543414121zzz 2z432121zz 544143zz 2)(22 zzzzF即即zzzzzzzzzF 02141831652)(2345221 k0,21,41,83,165,)(kf 2121)(zfzfzkfzFkk相比较可得原序列相比较可得原序列（3)3)(zF21 z的收敛
5、域为的收敛域为故故 为双边序列。为双边序列。)(kf)(zF将将 展开为部分分式，有：展开为部分分式，有：21,232131)2)(1()(2 zzzzzzzzzF 321131313131131)(zzzzzzFzzzzzzF3161121232)(232 0 k,31,31,31,31,31,61,121,)(kf因果序列象函数因果序列象函数反因果序列象函数反因果序列象函数例例6.3-2 6.3-2 某因果序列的象函数某因果序列的象函数0,)(zezFza求其原函数求其原函数 。)(kf xkxxkxxekkkx,!1!21102解解 指数函数指数函数xe可展开为幂级数可展开为幂级数zax
6、 令令)(zF，则，则可展开为可展开为0,!)()(00 zzkakzaezFkkkkkza kkakfk!)(二、部分分式展开法二、部分分式展开法 在离散系统分析中，经常遇到的象函数是在离散系统分析中，经常遇到的象函数是z z的的 有理分式，它可以写为：有理分式，它可以写为：nmazazazbzbzbzbzAzBzFnmnmmmm )()()(011101111nm,)()()()()(0111 azazazzzBzzAzBzzFnmn2211)(zzkz-zkzzF 2211)(zzzkz-zzkzF 2211)(zzkz-zkzF 22111-1z )(zzzkzz-zzkzF 将将 展
7、开为部分分式，其方法与第五章中展开为部分分式，其方法与第五章中 展开方法相同。展开方法相同。zzF/)()(sF 的分母多项式为的分母多项式为 有有n n个根个根)(zF0)(),(zAzA,21nzzz它们称为它们称为 的极点。的极点。)(zF)(zF（1 1）有单极点有单极点)(zF（2 2）有共轭单极点有共轭单极点)(zF（3 3）有重极点有重极点 niiinnzzKzzKzzKzKzzF0110)(各系数为各系数为iizzizziizFzzzzzFzzK )()()()(如如 的极点的极点 都互不相同，且不等都互不相同，且不等0 0 则则 可展开为可展开为)(zF,21nzzzzzF/
8、)()(zF（1 1）有单极点有单极点 niiizzzKKzF00)(上式等号两端乘以上式等号两端乘以z z，得，得)()(21 zzFzzF和和根据给定的收敛域，将上式划分为两部分：即根据给定的收敛域，将上式划分为两部分：即1)(k 就可以求得展开式的原函数。就可以求得展开式的原函数。根据已知的变换对，如根据已知的变换对，如azazzkak ,)(azazzkak ,)1()2)(1()(2 zzzzF例例6.3-3 6.3-3 已知象函数已知象函数分别求其原函数。分别求其原函数。其收敛域分别为（其收敛域分别为（1 1）（2 2）（3 3）2 z21 z1 z解解 由象函数可见，其极点为由象
9、函数可见，其极点为 。其展开式为其展开式为,11 z22 z)2()1()2)(1()2)(1()(212 zKzKzzzzzzzzzF于是得于是得)2(32)1(31)(zzzzF各项系数为：各项系数为：31)()1(11 zzzFzK32)()2(22 zzzFzK即即232131)(zzzzzF 21 z 213 z 12 z)()2(32)1(31)(kkfkk 1 z（2 2）收敛域）收敛域故故)(kf为反因果序列。得为反因果序列。得)1()2(32)1(31)(kkfkk 21 z（3 3）收敛域）收敛域)()1(31)1()2(32)(kkkfkk （1 1）收敛域）收敛域2 z
10、故故)(kf为因果序列。得为因果序列。得232131)(zzzzzF12例例6.3-4 6.3-4 求下面象函数的逆求下面象函数的逆z z变换。变换。解解 由上式可见其象函数的极点为由上式可见其象函数的极点为1/21/2，1 1，2 2，3 3。21,)3)(2)(1)(21()21294()(23 zzzzzzzzzzFzzF/)(将将展开为部分分式为展开为部分分式为32121)(4321 zKzKzKzKzzF按求各项系数公式可得：按求各项系数公式可得：,1,1,2,14321 KKKK故象函数的展开式为：故象函数的展开式为：21,321221)(zzzzzzzzzzF )(2 zF )(
11、1 zF)()21(2)(1kkfk )1(32)(2 kkfkk)()21(2)1()32()()()(12kkkfkfkfkkk 12)(zF（2 2）有共轭单极点有共轭单极点如果如果)(zF有一对共轭单极点有一对共轭单极点,2,1jdcz 则可将则可将zzF)(展开为展开为zzFzzKzzKzzFzzFzzFbba)()()()(2211 式中式中zzF)(zzFb)(中除共轭极点所形成分式外中除共轭极点所形成分式外是是的其余部分，而的其余部分，而jdczKjdczKzzFa 21)(可以证明，如可以证明，如 是实数系数多项式，则是实数系数多项式，则)(zA*21KK 将将 的极点的极点
12、 写为指数形式，即令写为指数形式，即令)(zF21,zz jejdcz 2,1前式可改写为前式可改写为 jjaezKezKzzF 21)(取上式逆变换，得取上式逆变换，得令令 jeKK11 jeKK 12 jjjjaezzeKezzeKzF 11)()()cos(2)(1kkKkfka 若若,z)1()cos(2)(1 kkKkfka 若若,z jejdcz 2,1等号两端乘以等号两端乘以z z，得，得2,)4)(1(6)(22 zzzzzF例例6.3-5 6.3-5 求下面象函数的逆变换。求下面象函数的逆变换。解解 的极点为的极点为可展开为可展开为,22,123,21 jejzz )(zFz
13、zF)(221)4)(1(6)(*221022jzKjzKzKzKzzzzzzF 求得各项系数求得各项系数5.1)(00 zzzFzK1)()1(11 zzzFzK 4.632245421)()2(jjzejzzFjzK2224524515.1)(4.634.63 jjjjezzeezzezzzF 于是得于是得取上式的逆变换，得取上式的逆变换，得)()1()(5.1)(kkkfk )()4.632cos(25)1()(5.11kkkkk )4.632cos(225 kkazriiizzFazdzdiK )()()!1(1111)(zF（3 3）有重极点有重极点如果如果)(zF在在 处有处有r
14、r重极点，重极点，azz 1则可将则可将zzF)(展开为展开为zzFazKazKazKzzFzzFzzFbrrrba)()()()()()(111211 zzFb)(式中式中 是除重极点是除重极点 以外的项，在以外的项，在 处处 )(zFbaz 。各项系数。各项系数 可用下式求得可用下式求得az irK)()()()(111211zFazzKazzKazzKzFbrrr 根据给定的收敛域，求上式的逆变换。根据给定的收敛域，求上式的逆变换。)(zF如果如果 有共轭二重极点，有共轭二重极点，可得：可得：jejdcz 2,1若若 ，则，则 z )()1(cos2)()(111112211211111
15、111kkkKzzeKzzzeKzZkjj )()cos2121221211211212kkKzzeKzzzeKzZkjj zzFzzKzzKzzKzzKzzFb 22222211122111)()()(22122111 kkkk且且若若 ，则，则 z )1()1(cos2)()(111112211211111111 kkkKzzeKzzzeKzZkjj )1()cos(2121221211211212 kkKzzeKzzzeKzZkjj 例例6.3-6 6.3-6 求下面象函数的逆变换。求下面象函数的逆变换。1,)1()(323 zzzzzF解解 将将 展开为展开为zzF)()1()1()1
16、()1()(1321231132 zKzKzKzzzzzF根据求系数公式可得：根据求系数公式可得：2)()1(1311 zzzFzK)1(1)1(3)1(2)(23 zzzzzF所以所以3)()1(1312 zzzFzdzdK1)()1(132213 zzzFzdzdK)1()1(3)1(2)(23 zzzzzzzF即即由于收敛域由于收敛域 ，由表，由表6-26-2可得逆变换为可得逆变换为1 z)()1()(13)1(212)(2kkkkkkkf 例例6.3-7 6.3-7 求下面象函数的逆变换。求下面象函数的逆变换。2,)4()(224 zzzzF解解 有一对共轭二重极点有一对共轭二重极点
17、)(zF2222,1 jejz 将将 展开为展开为zzF)()2()2()2()2()2()2()(*12122*11211223jzKjzKjzKjzKjzjzzzzF 22121)()2(2211 jjzejzzFjzK 21)()2(2212 jzzzFjzdzdK)2(21)2(21)2(21)2(21)(2222jzzjzzjzzejzzezFjj 所以所以)()2cos(2)(22)1cos()2()(1kkkkkkfkk )()2cos(2)12(kkkk 2222,1 jejz 1、幂级数展开法求逆、幂级数展开法求逆z变换变换 2、部分分式展开法求逆、部分分式展开法求逆Z变换变换此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！
