1、第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录位似实际应用相似三角形性质平行线分线段成比例黄金分割比例的性质性质判定思路判定相似三角形的性质及判定相似多边形定义性质第四节第四节 相似三角形相似三角形返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录考点精讲考点精讲【对接教材】【对接教材】人教人教：九下第二十七章九下第二十七章P23-P59;北师：北师：九上第四章九上第四章P75-P123.第四节第四节 相似三角形相似三角形返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录比例的比例的性质性质性质性质性质性质1（基本性质）：如果（基本性质）：如果 =,那么那么a
2、d=bc(b、d0),当当b=c时，时，b2=ad,那么那么b是是a、d的比例中项的比例中项性质性质2(合比性质合比性质)：如果：如果 =，那么，那么 （b、d0）性质性质3（等比性质）：如果（等比性质）：如果 =(b+d+n0),那么那么 =abcdabcda bbc ddabcdmna+c+mb+d+nab第四节第四节 相似三角形相似三角形返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录比例的比例的性质性质黄金分割：黄金分割：点点C把线段把线段AB分成两条线段分成两条线段AC和和BC，且，且 =，那么就说，那么就说线段线段AB被点被点C黄金分割，点黄金分割，点C叫做线段叫做线段AB的黄金分割点，的
3、黄金分割点，AC与与AB的比叫做黄金比，即的比叫做黄金比，即 =0.618 =0.618（或简记为：（或简记为：）ACABBCACACAB5-12长长总总短短长长5-12平行线分线平行线分线段成比例段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例线），所得的对应线段成比例第四节第四节 相似三角形相似三角形返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录相似三相似三角形的角形的性质及性质及判定判定性质性质1.相似
4、三角形的对应角相似三角形的对应角_，对应边，对应边_2.相似三角形对应线段相似三角形对应线段(边、高、中线、角平分线边、高、中线、角平分线)的比等于相似比的比等于相似比3.相似三角形的周长比等于相似三角形的周长比等于_,面积比等于面积比等于_判定判定1._对应相等，两三角形相似；对应相等，两三角形相似；2.两边对应成比例且两边对应成比例且_相等，两三角形相似；相等，两三角形相似；3.三边三边_，两三角形相似；，两三角形相似；判定判定思路思路有平行截线有平行截线用平行线的性质用平行线的性质,找等角找等角有一对等角有一对等角,找找另一对等角另一对等角该角的两边对应成比例该角的两边对应成比例有两边对
5、应成比例有两边对应成比例,找找夹角相等夹角相等第三边也对应成比例第三边也对应成比例相等相等成比例成比例相似比相似比相似比的平方相似比的平方两个角两个角夹角夹角对应成比例对应成比例第四节第四节 相似三角形相似三角形返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录相似多相似多边形边形定义定义:两个边数相同的多边形两个边数相同的多边形,如果它们对应的角分别如果它们对应的角分别_,对应边对应边_,那么这两个多边形叫做相似多边形那么这两个多边形叫做相似多边形;相似多边形对应相似多边形对应边的比叫做相似比边的比叫做相似比性质性质1.相似多边形的对应角相等相似多边形的对应角相等,对应边成比例对应边成比例2.相似多边
6、形的周长比等于相似多边形的周长比等于_,面积比等于面积比等于_相等相等成比例成比例相似比相似比相似比的平方相似比的平方第四节第四节 相似三角形相似三角形返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录位似位似:两个多边形不仅相似两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互对应边互相平行（或在同一条直线上）相平行（或在同一条直线上）,像这样的两个图形叫做位似图形像这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心这个点叫做位似中心实际应用：实际应用：运用相似三角形的有关性质解决现实生活中的实际问题运用相似三角形的有关性质解决现实生活中的实际问题,如利用如利用影子计算
7、建筑物的高度影子计算建筑物的高度:同一时刻同一时刻,物高与影长成正比例物高与影长成正比例,则有则有 =身身高高影影长长建建筑筑物物的的高高度度建建筑筑物物的的影影长长第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录6个 D.如果ABD的面积为15，那么ACD的面积为()25 C.4个 B.两边对应成比例且_相等，两三角形相似；1 4 B.5个一丈 D.10 C.平行线分线段成比例（省卷2考）相似多边形的对应角相等,对应边成比例D.如果ABD的面积为15，那么ACD的面积为()（2019赤峰）如图，D、E分别是ABC边AB，AC上的点，ADE=ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长
8、是()运用相似三角形的有关性质解决现实生活中的实际问题,如利用影子计算建筑物的高度:同一时刻,物高与影长成正比例,则有（数学文化）（2020 上海）九章算术中记载了一种测量井深的方法，如图所示，在进口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.a C.一丈 D.10 C.1 4 B.处 C.三边_，两三角形相似；“平行”变为“与边相交”两边对应成比例且_相等，两三角形相似；处 B.相似比 .全国视野全国视野 核心素养提升核心素养提升1.（2019连云港连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据在如图所示的
9、象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日马走日”的规则，的规则，“马马”应落在下列哪个位置处，能使应落在下列哪个位置处，能使“马马”、“车车”、“炮炮”所在位置的格点构成的三角形与所在位置的格点构成的三角形与“帅帅”、“相相”、“兵兵”所在位置的格点构成的三所在位置的格点构成的三角形相似（角形相似（）A.处处 B.处处 C.处处 D.处处第1题图B第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录2.（数学文化数学文化）（）（2020 上海上海）九章算术中记载了一种测量井深的方法，如图所九章算术中记载了一种测量井深的方法，如图所示，在进口示，在进口B处立一根垂直于井口的木杆处立一根垂
10、直于井口的木杆BD，从木杆的顶端，从木杆的顶端D观察井水水岸观察井水水岸C，视线，视线DC与井口的直径与井口的直径AB交于点交于点E，如果测得，如果测得AB=1.6米，米，BD=1米，米，BE=0.2米，那么井深米，那么井深AC为为_米米.第2题图7第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录【推荐原因】【推荐原因】2019年上海中考试题参与教育部试题评估，年上海中考试题参与教育部试题评估，2020年上海中考第年上海中考第1414题题考考查查相似三角形的实际应用，将中华民族古代数学伟大成就自然融入试题中，福建、相似三角形的实际应用，将中华民族古代数学伟大成就自然融入试题中，福建、长沙在中
11、考试题中也有此类试题的考查长沙在中考试题中也有此类试题的考查.【素养立意】解决此问题需要从实际背景中抽象出数学模型【素养立意】解决此问题需要从实际背景中抽象出数学模型相似三角形，其判相似三角形，其判定方法为两角对应相等的两个三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例的性定方法为两角对应相等的两个三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例的性质建立方程求解质建立方程求解.在此过程中考查抽象数学模型的学科素养在此过程中考查抽象数学模型的学科素养.全国视野全国视野 第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录3.（数学文化）第（数学文化）第3题图（题图（2018长春）孙子算经是中国古代重要的数
12、学著作，成长春）孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：（提示：1丈丈10尺，尺，1尺尺10寸），则竹竿的长为寸），则竹竿的长为()A.五丈五丈 B.四丈五尺四丈五尺
13、C.一丈一丈 D.五尺五尺第3题图B第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录玩转云南玩转云南8年中考真题年中考真题平行线分线段成比例平行线分线段成比例（省卷省卷2考考）命题点命题点11.（2018省卷省卷5题题3分）如图，已知分）如图，已知ABCD，若，若 =，则，则 =_.第1题图14ABCDOAOC14第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录2.(2017省卷省卷3题题3分分源于人教九下源于人教九下P31第第2题题)如图，在如图，在ABC中，中，D、E分别为分别为AB、AC上的点，若上的点，若DEBC,=,=,则则 =_.第2题图13ADABAD+DE+AEAB+BC+
14、AC13第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录相似三角形的判定及相关计算相似三角形的判定及相关计算（省卷省卷3考，昆明卷考，昆明卷4考，常在考，常在二次函数和几何综合题中涉及考查二次函数和几何综合题中涉及考查）命题点命题点23.(2015曲靖卷曲靖卷11题题3分分)若若ADEACB,且且 =,=,DE=10,则则BC=_.第3题图ADAC23 15第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录4.(2016省卷省卷14题题4分改编分改编源于北师九上源于北师九上P111第第2题题)如图，如图，D是是ABC的边的边BC上一上一点，点，AB=8,AD=4,DAC=B.如果如果ABD的
15、面积为的面积为15，那么，那么ACD的面积为的面积为()()A.15 B.10 C.D.5第4题图152D第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录1 2 D.(人教九下P31练习2题)如图，在ABC中，DEBC,且AD=3,DB=2.（2019赤峰）如图，D、E分别是ABC边AB，AC上的点，ADE=ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是()点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且 =，那么就说线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，即 =0.（数学文化）第3题图（2018长春）孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年
16、前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈10尺，1尺10寸），则竹竿的长为()三边_，两三角形相似；五丈 B.运用相似三角形的有关性质解决现实生活中的实际问题,如利用影子计算建筑物的高度:同一时刻,物高与影长成正比例,则有运用相似三角形的有关性质解决现实生活中的实际问题,如利用影子计算建筑物的高度:同一时刻,物高与影长成正比例,则有相似多边形的对应角相等,对应边成比例改变DE的条件：由已知“平行”变为证明“平行”相似比 .定理
17、：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（2019连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）运用相似三角形的有关性质解决现实生活中的实际问题,如利用影子计算建筑物的高度:同一时刻,物高与影长成正比例,则有5.(2014曲靖卷曲靖卷6题题3分分)如图如图,把一张三角形纸片把一张三角形纸片ABC沿中位线沿中位线DE剪开后剪开后,在平面上将在平面上将ADE绕着点绕着点E顺时针旋转顺时针旋转180,点点D到了点到了点F的
18、位置的位置,则则SADE S BCFD是是()A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.1 1、第5题图A第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录6.（2020省卷省卷11题题4分）如图，平行四边形分）如图，平行四边形ABCD的对角线的对角线AC，BD相交于点相交于点O，E是是CD的中点，则的中点，则DEO与与BCD的面积的比等于的面积的比等于()A.B.C.D.第6题图12141618B第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录7.（2020昆明卷昆明卷14题题4分分）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三
19、角形叫做格点三角形，如图，点为顶点的三角形叫做格点三角形，如图，ABC是格点三角形，在图中的是格点三角形，在图中的66正方形网格中作出格点三角形正方形网格中作出格点三角形ADE(不含不含ABC)，使得，使得ADEABC(同一同一位置的格点三角形位置的格点三角形ADE只算一个只算一个)，这样的格点三角形一共有（，这样的格点三角形一共有（）A.4个个 B.5个个 C.6个个 D.7个个第7题图C第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录玩转真题玩转真题 拓展训练拓展训练8.如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD中，中，E是是BC上一点，上一点，BEEC23，AE交交BD于点于点F，则则B
20、EF和和DAF的周长比为的周长比为()()A.2 5 B.4 9 C.4 25 D.2 3第8题图A第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录（数学文化）第3题图（2018长春）孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈10尺，1尺10寸），则竹竿的长为()改变DE的条件：由已知“平行”变为证明“平行”两个边数相同的多边形,如果它们对应的角分别_,对应边_,那么这两个多
21、边形叫做相似多边形;相似多边形对应边的比叫做相似比(人教九下P31练习2题)如图，在ABC中，DEBC,且AD=3,DB=2.5个全国视野 核心素养提升运用相似三角形的有关性质解决现实生活中的实际问题,如利用影子计算建筑物的高度:同一时刻,物高与影长成正比例,则有1 2 D.6个 D.全国视野 核心素养提升（2019赤峰）如图，D、E分别是ABC边AB，AC上的点，ADE=ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是()6个 D.定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例4 25 D.（2019赤峰）如图，D、E分别是ABC边AB，AC上的点，ADE=ACB，若AD=2，AB
22、=6，AC=4，则AE的长是()四丈五尺 C.相似比 .性质1（基本性质）：如果 =,那么ad=bc(b、d0),当b=c时，b2=ad,那么b是a、d的比例中项五丈 B.三边_，两三角形相似；3 D.(2014曲靖卷6题3分)如图,把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后,在平面上将ADE绕着点E顺时针旋转180,点D到了点F的位置,则SADE S BCFD是()C.C.D.D.性质2(合比性质)：如果 =，那么 （b、d0）1 3 C.9.如图，在边长相同的小正方形网格中，点如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点都在这些小正方形的顶点上，上，AB,CD相交
23、于点相交于点P，则，则 的值为的值为_，tanAPD的值为的值为_.第9题图APPB 3210.在矩形在矩形ABCD中，中，AB=9cm，E是直线是直线CD上一点，连接上一点，连接AC,BE，若，若AC与与BE交于交于点点F且且DE=3cm，则，则EFBE的值是的值是_.4 7或或2 5第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录教材改编题教材改编题教材母题教材母题1.(人教九下人教九下P31练习练习2题题)如图，在如图，在ABC中，中，DEBC,且且AD=3,DB=2.写出图中写出图中的相似三角形，并指出其相似比的相似三角形，并指出其相似比.第1题图解：解：DEBC，ADEABC，相似
24、比相似比 .即即ADEABC，其相似比为，其相似比为 .ADAB32+33535第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录母 题 变 式母 题 变 式改变改变DE的条件：由已知的条件：由已知“平行平行”变为证明变为证明“平行平行”2.（2020内江内江）如图，在如图，在ABC中，中，D，E分别是分别是AB和和AC的中点，且的中点，且S四边形四边形BCED=15，则则SABC=（）A.30 B.25 C.22.5 D.20第2题图D第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录改变改变DE位置：位置：“平行平行”变为变为“不平行不平行”3.（2019赤峰赤峰）如图，如图，D、E分别是
25、分别是ABC边边AB，AC上的点，上的点，ADE=ACB，若，若AD=2，AB=6，AC=4，则，则AE的长是的长是()()A.1 B.2 C.3 D.4第3题图C第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录改变条件：改变条件：“平行平行”变为变为“与边相交与边相交”4.（2019淄博淄博）如图，在如图，在ABC中，中，AC=2，BC=4，D为为BC边上的一点，且边上的一点，且CAD=B，若，若ADC的面积为的面积为a，则，则ABD的面积为的面积为()()A.2a B.a C.3a D.a第4题图5272C第四节第四节 相似三角形相似三角形返回目录返回目录对 接 中 考对 接 中 考强化条件：强化条件：“一般三角形一般三角形”变为变为“直角三角形直角三角形”；“平行平行”变为变为“与边相交与边相交”5.如图，在如图，在RtABC中，中，ACB=90，CD垂直垂直AB，垂足为，垂足为D，若，若AC=8，BC=6，则线段则线段AD的长度为的长度为_.第5题图325
