1、平方根的意义平方根的意义烈桥中学：陈治富烈桥中学：陈治富 2011年年10月月20日日 我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、我们已学过了有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方这五种运算。除法、乘方这五种运算。在这五种运算中：在这五种运算中：加法与减法互为逆运算；加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；那么乘方与谁互为逆运算呢？那么乘方与谁互为逆运算呢？本节课本节课我们就来学习研究这个问题。我们就来学习研究这个问题。回 忆 与 思 考Nam底数底数幂幂指数指数3分米分米 要做一张边长是要做一张边长是3分米的方桌面，它的面分米的方桌面，它的面积是多少？积是多少？这个问题实
2、际上就是求：这个问题实际上就是求：?32答：答：9平方分米平方分米这是已知底数和指数，求幂的运算这是已知底数和指数，求幂的运算乘方运算乘方运算？分米分米 反过来，要做一张面积是反过来，要做一张面积是9平方分米的方桌平方分米的方桌面，它的边长是多少分米？面，它的边长是多少分米？9)(2 实际上就是要求出一个实际上就是要求出一个数，使它的平方等于数，使它的平方等于9，即：，即：显然，括号里应是显然，括号里应是3，但，但3不符题意。不符题意。方桌面的边长应是方桌面的边长应是3分米。分米。9平方分米平方分米9)(2认真观察下式可知：认真观察下式可知：这是已知指数和幂求底数的运算，叫做这是已知指数和幂求
3、底数的运算，叫做开方运算开方运算。我们把括号里的我们把括号里的3叫做叫做9的的平方根（二次方根）平方根（二次方根）。一般地，如果一般地，如果 ，那么，那么 叫叫 的的平方根平方根，叫叫 的的平方数平方数。ax 2axax注意：如果一个正数注意：如果一个正数 的平方等于的平方等于a,即即 那么这个正数那么这个正数 叫做叫做a的算术平方根。的算术平方根。xax 2x例如：例如：25)5(255225 和和 5 都是都是25的平方根。的平方根。499)73(499)73(22 和和 都是都是 的平方根。的平方根。7373499又又例如：例如：16.0)4.0(16.04.022 0.4 和和 0.4
4、 都是都是0.16的平方根。的平方根。即即0.16的平方根有两个，一个是的平方根有两个，一个是0.4；另；另一个是一个是0.4，这两个平方根互为相反数。，这两个平方根互为相反数。注意：一个正数有两个平方根，这两注意：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数。个平方根互为相反数。002 零的平方根是零零的平方根是零。任何数的平方都不可能是负数任何数的平方都不可能是负数负数没有平方根负数没有平方根通过上面的学习可以得到平方根的性质：通过上面的学习可以得到平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。一个正数有两个平方根，它们互为相反数。零的平方根是零。零的平方根是零。负数没有平方根。负数
5、没有平方根。home “负数没有平方根负数没有平方根”与与“一个数的平方根一个数的平方根不能为负数不能为负数”意义是否一样？意义是否一样？现在我们更加明确开方运算的意义了现在我们更加明确开方运算的意义了 求一个数的平方根（二次方根）的运算，叫求一个数的平方根（二次方根）的运算，叫做做开平方开平方，开平方运算的结果就是，开平方运算的结果就是平方根平方根。根据乘方和开方的意义，我们已知道：根据乘方和开方的意义，我们已知道：乘乘方和开方方和开方运算互为逆运算。运算互为逆运算。当然，当然，平方和开平方平方和开平方互为逆运算。互为逆运算。（）()2aa2平方根的表示法：平方根的表示法：一个正数一个正数a
6、 的正的平方根用符号的正的平方根用符号 表示表示（正号可以省略）。（正号可以省略）。2a 一个正数一个正数a 的负的平方根用符号的负的平方根用符号 表示表示（负号不能省略）。（负号不能省略）。2a 为了方便，正数为了方便，正数a 的两个平方根可以合写在的两个平方根可以合写在一起，记作一起，记作 2a符号符号 读作二次根号。读作二次根号。2ma 2被开方数被开方数平方根平方根根指数根指数注意：注意：根指数是根指数是2 时，通常省略不写。时，通常省略不写。例如：例如：记作记作 读作读作“正负根号正负根号 a”2aa举举一个实际例子吧！一个实际例子吧！注意：注意：因为负数没有平方根，所以在式子因为负
7、数没有平方根，所以在式子 中的被开方数中的被开方数 a 0 ，否则式子否则式子 没有意义。没有意义。aaa即即式子式子 中的中的 a 是一个非负数是一个非负数。5 的平方根，可以记作的平方根，可以记作 和和 ，或，或555 例例1：判断下列各数有没有平方根，如果：判断下列各数有没有平方根，如果有平方根，试求出它的平方根；如果没有平方有平方根，试求出它的平方根；如果没有平方根，说明理由。根，说明理由。（1）81（2）81（3）0（4）（5）2)7(27 例例2：求下列各数的平方根。：求下列各数的平方根。（1）100；（；（2）0.25；（；（3）；（；（4）169972解：解：（1）100)10
8、(2100的平方根是的平方根是1010100即即10100注意：不能写成注意：不能写成请你妨照请你妨照上面的例子完成其余三个小题。上面的例子完成其余三个小题。例3 求下列各式的值1）2）-3）4）81.01441961212421229.0解：1）因为因为 =144，所以，所以 =12 2）因为）因为 =0.81，所以，所以 =0.9 3）因为）因为 =，所以，所以 =4）因为）因为 =，所以，所以 =414481.0196121141121411196121241624探探 研研 时时 空空 =？2a =2aa （a0）0 （a =0）a （a0）已知已知 ，且，且y的算术平方的算术平方根为根为4，求，求x的值。的值。思 考32xy代数教材代数教材第第75页页3题；题；
