1、人教版 数学 九年级（下）第第2727章章 相似图相似图形形27.2.3 27.2.3 相似三角形应用举例相似三角形应用举例1 1.能运用三角形相似的性质定理与判定定理进行简能运用三角形相似的性质定理与判定定理进行简单的几何推理单的几何推理。2 2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为为相似三角形相似三角形的数学模型，能利用相似三角形的知识的数学模型，能利用相似三角形的知识设计方案解决一些简单的实际问题，如高度和宽度的设计方案解决一些简单的实际问题，如高度和宽度的测量问题测量问题。学习目标学习目标1.在前面，我们学过哪些判定三角形相似的方法？相
2、似三角在前面，我们学过哪些判定三角形相似的方法？相似三角形的性质是什么？形的性质是什么？2.观察下列图片，你会利用相似三角形知识解决一些不能直观察下列图片，你会利用相似三角形知识解决一些不能直接测量的物体（如塔高、河宽等）的长度或高度的问题吗？接测量的物体（如塔高、河宽等）的长度或高度的问题吗？导入新知导入新知怎样测量怎样测量河宽？河宽？世界上最宽的河世界上最宽的河 亚马逊河亚马逊河世界上最高的树世界上最高的树 红杉红杉5 m D18 m利用相似解决有遮挡物问题因此，河宽大约为90m.5(5分)如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，【方法总结】在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与
3、其影长之比相等利用太阳光测量物体的高度需要注意：ABC ABC那么小视力表中相应“E”的高度是()再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC2 m，BD2.例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R如果测得QS45m，已知BC5 m，正方形广告牌的边长为2 m，DE4 m，【讨论】利用相似来解决测量物体高度的问题的一般思路是怎样的?人教版 数学 九年级（下）B
4、C90，测得BD120 m，DC60 m，EC50 m，张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.C一丈 D五尺1 m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.则河宽AB_m1 m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.6米 B.3 相似三角形应用举例旗杆旗杆乐山大佛乐山大佛怎样测量这些怎样测量这些非常高大物体非常高大物体的高度？的高度？利用利用相似三角形相似三角形可以解决一些不能直接测量的物可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题体的高度及两物之间的距离问题.古希腊数学家、天文学家古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，泰勒斯利用相似三角形的原理，测量金字塔的高度测量金字
5、塔的高度.合作探究合作探究 例例1 据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，借助太阳光线似三角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度 如图，如果木杆如图，如果木杆EF长长2m，它的影长，它的影长FD为为3m，测得，测得OA为为201m，求金字塔的高度，求金字塔的高度BO解：解：太阳光是平行光线，因此太阳光是平行光线，因此BAOEDF，又又AOBDFE90 ABODEF因此金字塔的高为因此金字塔的高为134m典
6、例精析典例精析1 1 利利用相似三角形测物体的高用相似三角形测物体的高怎样测出怎样测出OA的长？的长？那么小视力表中相应“E”的高度是()测得CD30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC5 m，过点A作已知BC5 m，正方形广告牌的边长为2 m，DE4 m，人教版 数学 九年级（下）2(5分)(长春中考)孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈10尺，1尺10寸)，则竹竿
7、的长为()3(5分)为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表典例精析3 利用相似三角形测量有遮挡的物体1 m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点已知AB3 m，CD2 m，则点E离地面的高度为_ m.解：太阳光是平行光线，因此BAOEDF，3 相似三角形应用举例测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.3如图，AB和CD是两根直立于地面的木竿，AD与BC是起固定作用的两根细绳子(看作直线段)，AD与BC的交点为E.在前面，我们学过哪些判定三角形相似的方法？相似三角形的性质是什么？6 m，求凉亭的高度
8、AB.如图，ADAB，EF AB，BC AB，DH BC，DH交EF于G点，则AD_，图中的相似三角形是 _BC90，测得BD120 m，DC60 m，EC50 m，解：PQRPST90，PP，再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC2 m，BD2.【讨论讨论】利用太阳光测量物体的高度一般需要注意哪些问题？利用太阳光测量物体的高度一般需要注意哪些问题？【方法总结方法总结】在在同一时刻同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与，太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比其影长之比相等相等利用太阳光测量物体的高度需要注意：利用太阳光测量
9、物体的高度需要注意：（1）由于太阳相对于地面的位置在不停地改变，影长也随着）由于太阳相对于地面的位置在不停地改变，影长也随着太阳位置的变化而发生变化，因此要在太阳位置的变化而发生变化，因此要在同一时刻同一时刻测量影长测量影长（2）被测物体的）被测物体的底部底部必须在可以必须在可以到达到达的地方，否则，测不到的地方，否则，测不到被测物体的影长，从而计算不出物体的高被测物体的影长，从而计算不出物体的高（3）表达式：）表达式：物物1 1高高 ：物：物2 2高高 =影影1 1长长 ：影：影2 2长长 1.在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为3m，同时测，同时测得
10、一栋高楼的影长为得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的高度是多少？，这栋高楼的高度是多少？ABC ABC解解得得 AC=54m答：答：这栋高楼的高度是这栋高楼的高度是54m.解：解：ABC1.8m3mABC90m?即即巩固新知巩固新知AFEBO还可以有其他测量方法吗？还可以有其他测量方法吗？ABOAEF平面镜平面镜【想一想想一想】AFOAEFOBAFEFOAOB合作探究合作探究测高方法二：测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用用“利用镜子的反射测量高度利用镜子的反射测量高度”的原理解决的原理解决.注：注：反射角与入射角相等是隐含条件反射角与入射角相
11、等是隐含条件.2.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知处，已知 AB=2 米，且测得米，且测得 BP=3 米，米，DP=12 米，那么该古城墙的高度是米，那么该古城墙的高度是（）A.6米米 B.8米米 C.18米米 D.24米米 B巩固新知巩固新知 例例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点目标点P，在近岸
12、取点，在近岸取点Q和和S，使点，使点P、Q、S共线且直线共线且直线PS与河垂与河垂直，接着在过点直，接着在过点S且与且与PS垂直的直线垂直的直线a上选择适当的点上选择适当的点T，确定，确定PT与过点与过点Q且垂直且垂直PS的直线的直线b的交点的交点R如果测得如果测得QS45m，ST90m，QR60m，求河的宽度，求河的宽度PQ解：解：PQRPST90，PP，解得解得PQ90.PQRSTab PQRPST因此，河宽大约为因此，河宽大约为90m.典例精析典例精析2 2 利利用相似三角形测物体的宽用相似三角形测物体的宽STQRPSPQ906045,PQPQSTQRQSPQPQ即即合作探究合作探究【讨
13、论讨论】测量测量前面例题前面例题中的河宽，你还有哪些方法？中的河宽，你还有哪些方法？【方法总结方法总结】利用相似测量利用相似测量不能直接到达不能直接到达的两点间的距离，的两点间的距离，关键是构造关键是构造相似三角形相似三角形，构造的相似三角形可以为，构造的相似三角形可以为“A”字字型，也可以为型，也可以为“X”字型，并测量出必要的数据，然后根据字型，并测量出必要的数据，然后根据相似三角形的性质求出所要求的两点间的距离该例题还可相似三角形的性质求出所要求的两点间的距离该例题还可参照课本参照课本P41页练习页练习2设计测量方案设计测量方案 3.如图，测得如图，测得BD=200m，DC=50m，EC
14、=70m，求河求河宽宽ABADBEC解：解：ABCEABDECD 答：答：河宽河宽AB为为280m.2005070AB即即AB=280m.解得解得巩固新知巩固新知 测量如河宽等不易直接测量的物体的测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常宽度，常构造相似三角形构造相似三角形求解求解.归纳：归纳：例例3 已知左、右并排的两棵大树的高分别是已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB8m和和CD12m，两，两树底部的距离树底部的距离BD5m一个人估计自己眼睛距地面一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两她沿着正对这两棵树的一条水平直路棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于
15、多从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C了？了？分析：分析：如图（如图（1），设观察者眼睛的位），设观察者眼睛的位置为点置为点F，画出观察者的水平视线，画出观察者的水平视线FG，分别交分别交AB、CD于点于点H、K视线视线FA、FG的夹角的夹角AFH是观察点是观察点A时的仰角时的仰角.类似类似地地，CFK是观察点是观察点C时的仰时的仰角由于树的遮挡，区域角由于树的遮挡，区域和和都在都在观察者看不到的区域（盲区）之内观察者看不到的区域（盲区）之内典例精析典例精析3 3 利利用相似三角形测量有遮挡的物体用相似三角形测量
16、有遮挡的物体图（图（1）仰角仰角水平线水平线视线视线合作探究合作探究解：解：如图（如图（2），假设观察者从左向右走到点），假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点时，她的眼睛的位置点E与两棵树顶端点与两棵树顶端点A、C恰在一条直线上恰在一条直线上由题意可知，由题意可知，ABl，CDl ABCD，AEHCEK即即8 1 66 4512 1 610 4EH.EH.解得解得 EH8（m）由此可知，如果观察者继续前进，由此可知，如果观察者继续前进，即她与左边树的距离小于即她与左边树的距离小于8m时，由于这时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察在观察者的盲区之内，观
17、察者看不到它者的盲区之内，观察者看不到它图（图（2）EHAH EKCK【讨论讨论】利用相似来解决测量物体高度的问题的一般思路是利用相似来解决测量物体高度的问题的一般思路是怎样的怎样的?【方法总结方法总结】一般情况下，可以从人眼所在的部位向物体作一般情况下，可以从人眼所在的部位向物体作垂线，根据垂线，根据人、物体都与地面垂直人、物体都与地面垂直构造相似三角形数学模型，构造相似三角形数学模型，利用相似三角形利用相似三角形对应边的比相等对应边的比相等解决问题解决问题 4.如图，如图，ADAB，EF AB，BC AB，DH BC，DH交交EF于于G点，则点，则AD_，图中的相似三，图中的相似三角形是角
18、形是 _ EGBHDGFDHC巩固新知巩固新知1(5分分)(天水中考天水中考)如图，某校数学兴趣小组利用标杆如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高测量建筑物的高度已知标杆度已知标杆BE高高1.5 m，测得，测得AB1.2 m，BC12.8 m，则，则建筑物建筑物CD的高是的高是()A17.5 m B17 m C16.5 m D18 mA课堂检测课堂检测2(5分分)(长春中考长春中考)孙子算经孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得
19、影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：提示：1丈丈10尺，尺，1尺尺10寸寸)，则竹竿的长为，则竹竿的长为()A五丈五丈 B四丈五尺四丈五尺C一丈一丈 D五尺五尺B3(5分分)为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表由于书房空间狭小，他想根据测试距离为由于书房空间狭小，他想根据
20、测试距离为5 m的大视力表制作一个测试的大视力表制作一个测试距离为距离为3 m的小视力表如图，如果大视力表中的小视力表如图，如果大视力表中“E”的高度是的高度是3.5 cm，那么小视力表中相应那么小视力表中相应“E”的高度是的高度是()A.3 cmB2.5 cmC2.3 cmD2.1 cmD4(10分分)如如图，小明为了测量一凉亭的高度图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端顶端A到水平地面到水平地面BD的距离的距离)，在凉，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶等高的台阶DE(DEBC0.5 m，A，B，C三点共三点共线线)，把一面镜子水平放置在平台上的点，把一
21、面镜子水平放置在平台上的点G处，测得处，测得CG15 m，然后沿直线，然后沿直线CG后退后退到点到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得，测得GE3 m，小明身高，小明身高1.6 m，求，求凉亭的高度凉亭的高度AB.5(5分)如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，【讨论】利用太阳光测量物体的高度一般需要注意哪些问题？1 m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.ABODEFBC90，测得BD120 m，DC60 m，EC50 m，5(5分)如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，A五丈 B四丈五尺5 m D18 m刚好射到古城墙的顶端
22、 C 处，已知 AB=2 米，且测得 BP=3 米，DP=12 米，那么该古城墙的高度是（）由题意可知，ABl，CDl因此，河宽大约为90m.如图，ADAB，EF AB，BC AB，DH BC，DH交EF于G点，则AD_，图中的相似三角形是 _如图，ADAB，EF AB，BC AB，DH BC，DH交EF于G点，则AD_，图中的相似三角形是 _亚马逊河利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物测得CD30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC5 m，过点A作刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB=2 米，且测得 BP=3 米，DP=12 米，那么该古城墙的高度是（）2 m C11 m D2
23、.测得CD30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC5 m，过点A作5 m B5 m C6 m D6.5(5分分)如图，为了测量一池塘的宽如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点，在岸边找到一点C，测得测得CD30 m，在，在DC的延长线上找一点的延长线上找一点A，测得，测得AC5 m，过点，过点A作作ABDE交交EC的延长线于点的延长线于点B，测出，测出AB8 m，则池塘的宽，则池塘的宽DE为为()A.32 mB36 mC48 mD56 mCD 1 m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.【讨论】利用太阳光测量物体的高度一般需要注意哪些问题？再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次
24、在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)，测得AC2 m，BD2.典例精析3 利用相似三角形测量有遮挡的物体ABC ABC古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，测量金字塔的高度.6 m，求凉亭的高度AB.测得CD30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC5 m，过点A作（3）表达式：物1高：物2高=影1长：影2长新知一 利用相似三角形测物体2 m C11 m D2.（2）被测物体的底部必须在可以到达的地方，否则，测不到被测物体的影长，从而计算不出物体的高P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物4(10分)
25、如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DEBC0.则河宽AB_m如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为3m，同时测得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的高度是多少？【方法总结】在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等利用太阳光测量物体的高度需要注意：人教版 数学 九年级（下）7(5分分)(吉林中考吉林中考)如图是测量河宽的示意图，如图是测量河宽的示意图，AE与与BC相交于点相交于点D，BC90，测得，测得BD120 m，DC60 m，EC50 m，则河宽则
26、河宽AB_m100相似相似三角三角形的形的应用应用举例举例利用相似三角形测量利用相似三角形测量高度高度利用相似三角形测量利用相似三角形测量宽度宽度利用相似解决利用相似解决有遮挡物有遮挡物问题问题归纳新知归纳新知1如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行张强扛着箱子张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为人与箱子的总高度约为2.2 m)乘电梯刚好完全通过，乘电梯刚好完全通过，请你根据图中数据计算，两层楼之间的高度约为请你根据图中数据计算，两层楼之间的高度约为()A5.5 m B6.2 m C11 m D2.2 mA课后练习课后练习
27、2(易错题易错题)路边有一根电线杆路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌，有一天，小明突和一块正方形广告牌，有一天，小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点中点G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上的处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上的E点处点处(如图如图)，已知已知BC5 m，正方形广告牌的边长为，正方形广告牌的边长为2 m，DE4 m，则此电线杆的高度是则此电线杆的高度是()A4.5 m B5 m C6 m D6.5 mB3如图，如图，AB和和CD是两根直立于地面的木竿是两根直立于地面
28、的木竿，AD与与BC是起固定作用的两根是起固定作用的两根细绳子细绳子(看作直线段看作直线段)，AD与与BC的交点为的交点为E.已已知知AB3 m，CD2 m，则点，则点E离地面的高度为离地面的高度为_ m.4如如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5 m有一棵树，在有一棵树，在河的北岸边每隔河的北岸边每隔50 m有一根电线杆，小丽站在离南岸有一根电线杆，小丽站在离南岸15 m的点的点P处看北岸，发处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树
29、之间还有四棵树，求河的宽度四棵树，求河的宽度5如如图，学校平房的窗外有一路灯图，学校平房的窗外有一路灯AB，路灯灯光能通过窗户，路灯灯光能通过窗户CD照到平房内照到平房内EF处经过测量得知，窗户距地面高处经过测量得知，窗户距地面高OD1.5 m，窗户高度窗户高度DC0.8 m，OE1 m，OF3 m，求路灯，求路灯AB的高的高6(转转化思想化思想)(荆门中考荆门中考)如图，为了测量一栋楼的高度如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先，小明同学先在操场上在操场上A处放一面镜子，向后退到处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再；再将镜子放到将镜子放到C处，然后后退到处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上在同一条直线上)，测得，测得AC2 m，BD2.1 m，如果小明眼睛距，如果小明眼睛距地面高度地面高度BF，DG为为1.6 m，试确定楼的高度，试确定楼的高度OE.
