1、测量与导航工程系大地测量教研室最小二乘法最小二乘法测量平差测量平差最小二乘法与测量平差最小二乘法与测量平差误差理论与数据处理误差理论与数据处理测量平差基础测量平差基础简称：二法、平差简称：二法、平差本课程概况本课程概况测绘工程专业本科专业基础核心课程测绘工程专业本科专业基础核心课程测量数据处理和质量控制的重要组成部分测量数据处理和质量控制的重要组成部分广泛应用于现代广泛应用于现代GPSGPS、GISGIS、RSRS及其它高新测量技术及其它高新测量技术广泛应用于高精度自动化数据采集和处理中广泛应用于高精度自动化数据采集和处理中研究生入学必考科目研究生入学必考科目大地测量学与测量工程大地测量学与测
2、量工程其它与测量相关专业其它与测量相关专业武汉大学测绘学院武汉大学测绘学院同济大学测量与国土信息工程系同济大学测量与国土信息工程系河海大学土木工程学院河海大学土木工程学院解放军信息工程大学测绘学院解放军信息工程大学测绘学院大连舰艇学院海测系大连舰艇学院海测系黑龙江工程学院测量系黑龙江工程学院测量系中国矿业大学环境与测绘学院中国矿业大学环境与测绘学院山东科技大学地球信息科学与工程学院山东科技大学地球信息科学与工程学院长安大学地质工程与测绘工程学院长安大学地质工程与测绘工程学院线线性性代代数数高高等等数数学学误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础概概率率统统计计测测量量学学控控制制测测量量天
3、天文文测测量量重重力力测测量量工工程程测测量量摄摄影影测测量量人人卫卫测测量量本课程与其它课程的关系本课程与其它课程的关系应应用用计算机技术学习方法学习方法注重概念学习，勤于动脑注重概念学习，勤于动脑勤于动手勤于动手“假如银河不在我的意识里，我怎么去感假如银河不在我的意识里，我怎么去感受和了解它呢？受和了解它呢？”纪伯伦纪伯伦以教人者教己，从劳力上劳心以教人者教己，从劳力上劳心敢于质疑敢于质疑小疑必问，大事必闻，才算学生小疑必问，大事必闻，才算学生纪纪 律律课堂秩序课堂秩序按时完成作业按时完成作业上课时请关闭手机上课时请关闭手机不能无故旷课不能无故旷课讲课时请不要喝水讲课时请不要喝水独立完成作
4、业独立完成作业认真、细致、干净、整齐认真、细致、干净、整齐第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）观测与误差观测与误差必需观测和多余观测必需观测和多余观测多余观测和平差多余观测和平差最小二乘原理简介最小二乘原理简介最小二乘理论的发展简史最小二乘理论的发展简史本课程的主要内容和教学要求本课程的主要内容和教学要求一、观测与误差（一、观测与误差（Observation and ErrorsObservation and Errors）测量目的测量目的 测量对象测量对象 观测数据观测数据 测量仪器测量仪器三角网三角网 觇觇 标标 角度值角度值 经纬仪经纬仪GPSG
5、PS 卫卫 星星 距距 离离 接收机接收机重力测量重力测量 空间点空间点 加速度加速度 重力仪重力仪测量（观测）：观测者借助仪器在特定环境下获取测测量（观测）：观测者借助仪器在特定环境下获取测 量对象物理或者几何信息的活动量对象物理或者几何信息的活动第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）测量条件测量条件一、观测与误差（一、观测与误差（Observation and ErrorsObservation and Errors）问题：与测量有关的因素包括哪些？问题：与测量有关的因素包括哪些？观测者（观测者（ObserverObserver）测量仪器（测量仪器（
6、InstrumentInstrument）外部环境（外部环境（EnvironmentEnvironment）观测对象（观测对象（ObjectiveObjective）第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）一、观测与误差（一、观测与误差（Observation and ErrorsObservation and Errors）观测者：观测者：1 1 分辨能力的局限性分辨能力的局限性例如，仪器的安平、照准、读数例如，仪器的安平、照准、读数2 2 观测者的主观因素观测者的主观因素例如，工作态度、技术水平、情绪例如，工作态度、技术水平、情绪第一讲第一讲 绪绪 论
7、（论（IntroductionIntroduction）一、观测与误差（一、观测与误差（Observation and ErrorsObservation and Errors）测量仪器：测量仪器：1 1 仪器的分辨能力也有局限性；仪器的分辨能力也有局限性；例如，丈量长度用的尺子最小刻度一般为厘米例如，丈量长度用的尺子最小刻度一般为厘米2 2 仪器的精确程度仪器的精确程度例如，水准仪的视准轴不平行于水准器轴；地图例如，水准仪的视准轴不平行于水准器轴；地图数字化中，数字化仪和扫描仪也存在仪器误差。数字化中，数字化仪和扫描仪也存在仪器误差。第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionInt
8、roduction）一、观测与误差（一、观测与误差（Observation and ErrorsObservation and Errors）外部环境：外部环境：1 1 测量所处的外界条件测量所处的外界条件例如，温度、湿度、风力、大气折光例如，温度、湿度、风力、大气折光2 2 外界条件的变化外界条件的变化例如，电离层电子密度的变化影响例如，电离层电子密度的变化影响GPS信号的传播信号的传播第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）一、观测与误差（一、观测与误差（Observation and ErrorsObservation and Errors）观测对象
9、：观测对象：目标本身的结构、状态、清晰程度等；目标本身的结构、状态、清晰程度等；例如，三角测量中，觇标和圆筒的偏差；例如，三角测量中，觇标和圆筒的偏差；例如，例如，GPSGPS测量中，卫星星历误差、钟差等。测量中，卫星星历误差、钟差等。第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）一、观测与误差（一、观测与误差（Observation and ErrorsObservation and Errors）综上所述，我们认为：综上所述，我们认为：观测必有误差观测必有误差 测量条件测量条件 测量精度测量精度好好高高差差低低相同相同等精度等精度不相同不相同非等精度非等精度
10、第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）一、观测与误差（一、观测与误差（Observation and ErrorsObservation and Errors）举例举例例如，水平角观测要测多个测回，各测回测得的例如，水平角观测要测多个测回，各测回测得的角度值不相同角度值不相同；例如，测制地形图时，后方交会确定测站点位置例如，测制地形图时，后方交会确定测站点位置时，会出现交会三角形。时，会出现交会三角形。1测回：45 00 022测回：45 00 053测回：44 59 58第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）一、
11、观测与误差（一、观测与误差（Observation and ErrorsObservation and Errors）存在于观测中的误差是如存在于观测中的误差是如何被发现的呢？何被发现的呢？第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）二、必需观测和多余观测二、必需观测和多余观测 (Necessary and Redundant Observations)(Necessary and Redundant Observations)1 1、必需观测（必要观测）、必需观测（必要观测）在某一测量问题中，若一组观测值确定以后，其在某一测量问题中，若一组观测值确定以后，其
12、余未知量均可由这组观测值唯一确定，而且，在余未知量均可由这组观测值唯一确定，而且，在这组观测值内部，任何一个观测量都无法由其它这组观测值内部，任何一个观测量都无法由其它观测量求出。观测量求出。2 2、多余观测、多余观测多于必需观测的观测量。多于必需观测的观测量。第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）二、必需观测和多余观测二、必需观测和多余观测 (Necessary and Redundant Observations)(Necessary and Redundant Observations)例例1 1 体检中，量取某人身高若干次，得一系列观测值：体检中
13、，量取某人身高若干次，得一系列观测值：175.5175.5，175.0175.0，176.0176.0，175.0175.0，175.5175.5（单位：（单位：cmcm）例例2 2 平面三角形中，平面三角形中，A A、B B、C C为其三个内角，问为其三个内角，问1 1、如果要得到三个内角值，必需观测数是多少？、如果要得到三个内角值，必需观测数是多少？2 2、如果观测了三个内角，有无多余观测，有几个？、如果观测了三个内角，有无多余观测，有几个？必需观测数：必需观测数：1 1；其余为多余观测。；其余为多余观测。第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）二、必
14、需观测和多余观测二、必需观测和多余观测 (Necessary and Redundant Observations)(Necessary and Redundant Observations)3 3、多余观测的作用、多余观测的作用揭示了由于误差存在而出现的矛盾，从而可以发现揭示了由于误差存在而出现的矛盾，从而可以发现错误，并通过解决矛盾来提高观测值的质量。错误，并通过解决矛盾来提高观测值的质量。如何解决矛盾？如何解决矛盾？第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）三、多余观测和平差三、多余观测和平差 (Redundant Observations and A
15、djustment)(Redundant Observations and Adjustment)例例1 1 设有一组观测值，设有一组观测值，L L1 1，L L2 2，L Ln n 由于误差存在而出现矛盾由于误差存在而出现矛盾根据一定规则，给观测值加入改正数根据一定规则，给观测值加入改正数v v1 1，v v2 2，v vn n使得使得L L1 1 v v1 1 ，L L2 2 v v2 2 ，L Ln n v vn n 不再存在矛盾不再存在矛盾第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）三、多余观测和平差三、多余观测和平差 (Redundant Obser
16、vations and Adjustment)(Redundant Observations and Adjustment)平差的定义：平差的定义：对含有误差的观测值，依据一定的数学准则，对含有误差的观测值，依据一定的数学准则，消除它们之间的不符值（或矛盾），求出最可消除它们之间的不符值（或矛盾），求出最可靠的结果靠的结果。我们要依据的数学准则是什么呢？我们要依据的数学准则是什么呢？第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）四、最小二乘原理四、最小二乘原理(Theory of Least Squares)(Theory of Least Squares)1
17、1、纯量形式、纯量形式设观测值设观测值L L1 1，L L2 2，L Ln n ，改正数改正数v v1 1，v v2 2，v vn n最小vn1i2i2 2、矩阵形式、矩阵形式minVVT第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）四、最小二乘原理四、最小二乘原理(Theory of Least Squares)(Theory of Least Squares)3 3、非等精度纯量形式、非等精度纯量形式最小21iniivp4 4、非等精度矩阵形式、非等精度矩阵形式最小PVVTP P为权矩阵为权矩阵第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntrod
18、uction）Note:Type of Observations第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）Note:Type of Observations第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）1.Direct observation under the same conditionsn Observer,instruments,and environment are all the samen E.g.measuring an angle2.Direct observation under different con
19、ditionsn Any one of observer,instrument or environment changesNote:Type of Observations第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）3.Indirect observation n x is measured indirectlyn E.g.measuring a height using angles and distancesIhdxtan小结小结1 1：最最小小二二乘乘平平差差多余观测多余观测矛盾矛盾消除矛盾消除矛盾最小二乘最小二乘原理原理模型约束模型约束观测必观测必有
20、误差有误差第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）小结小结2 2：在多余观测的基础上才有平差问题存在：在多余观测的基础上才有平差问题存在小结小结3 3：平差只解决矛盾，无法消除误差：平差只解决矛盾，无法消除误差小结小结4 4：没有矛盾：没有矛盾没有误差没有误差第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）五、测量平差的简史和发展五、测量平差的简史和发展 (History and Development of The LS)(History and Development of The LS)1 1、1794 1794年年，高
21、斯高斯提出最小二乘法理论提出最小二乘法理论用于确定谷神星的实际运行轨道用于确定谷神星的实际运行轨道2 2、1919世纪初到世纪初到2020世纪世纪50506060年代，是经典平差的发展阶段年代，是经典平差的发展阶段3 3、从、从2020世纪世纪7070年代开始到现在，近代平差理论和应用年代开始到现在，近代平差理论和应用 得到了长足的发展得到了长足的发展第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）六、本课程的任务和内容六、本课程的任务和内容1 1、偶然误差理论、偶然误差理论2 2、测量平差函数模型和随机模型的概念及建立，参、测量平差函数模型和随机模型的概念及建立
22、，参 数估计概念及最小二乘原理数估计概念及最小二乘原理3 3、测量平差基本方法、测量平差基本方法4 4、测量数据的统计假设检验方法、测量数据的统计假设检验方法第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）七、教学要求七、教学要求 1 1、必要的数学知识，矩阵理论、概率分布与统计分析等、必要的数学知识，矩阵理论、概率分布与统计分析等2 2、加强对概念的学习和理解、加强对概念的学习和理解3 3、按时、独立完成作业、按时、独立完成作业参考书目：参考书目：测量平差基础，武汉测绘科技大学，第三版测量平差基础，武汉测绘科技大学，第三版误差理论与测量平差基础，武汉大学出版社，
23、误差理论与测量平差基础，武汉大学出版社，20032003第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）思考题思考题 1 1、什么是多余观测，它的作用是什么？、什么是多余观测，它的作用是什么？2 2、什么是测量条件，它与误差有什么关系？什么是测量条件，它与误差有什么关系？3 3、什么是平差？平差能否消除误差？、什么是平差？平差能否消除误差？4 4、最小二乘原理的数学表达式是什么、最小二乘原理的数学表达式是什么?有几种特例？有几种特例？第一讲第一讲 绪绪 论（论（IntroductionIntroduction）1 1、短信：、短信：1383802208613838
24、0220862 2、电话：电话：3522035220（o o），），3595235952（h h）3 3、邮件：、邮件：4 4、办公室：办公楼、办公室：办公楼5 5楼楼交交 流流 方方 式式觇觇 标（标（OberservationOberservation Tower Tower）返回返回高斯（高斯（C.F.Gauss)C.F.Gauss)返回返回 高斯是德国数学家高斯是德国数学家 ，也是科学家，他，也是科学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，在历史上影响之大，可
25、以和阿基米德、可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有牛顿、欧拉并列，有“数学王子数学王子”之称。之称。高斯最出名的故事就是他十岁时，小学老师出了一道算术难题：高斯最出名的故事就是他十岁时，小学老师出了一道算术难题：“计算计算1 12 233100100？”。这可难为初学算术的学生，但是这可难为初学算术的学生，但是高斯却在几秒后将答案解了出来，他利用算术级数（等差级数）高斯却在几秒后将答案解了出来，他利用算术级数（等差级数）的对称性，然后就像求得一般算术级数和的过程一样，把数目的对称性，然后就像求得一般算术级数和的过程一样，把数目一对对的凑在一起：一对对的凑在一起：1 1100100，2 2 99
26、99，3 39898，49495252，505051 51 而这样的组合有而这样的组合有5050组，所以答案很快的就可以求出是：组，所以答案很快的就可以求出是：101101505050505050。高斯（高斯（C.F.Gauss)C.F.Gauss)返回返回 他幼年时就表现出超人的数学天才。他幼年时就表现出超人的数学天才。17951795年进入格丁根大年进入格丁根大学学习。第二年他就发现正十七边形的尺规作图法。并给学学习。第二年他就发现正十七边形的尺规作图法。并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了欧几里得以来出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了欧几里得以来悬而未决的问题。悬而未决的问题。
27、高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。高理的数论研究总结在算术研发明了最小二乘法原理。高理的数论研究总结在算术研究（究（18011801）中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅）中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的
28、经典著作之一。高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定著作之一。高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。高斯（高斯（C.F.Gauss)C.F.Gauss)返回返回 高斯在高斯在18161816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念，发现了著名的柯西积分复变函数，建立了一些基本概念，发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。前都没发表出来。18281
29、828年高斯出版了关于曲面的一般研年高斯出版了关于曲面的一般研究，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出究，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。高斯的曲面理论后来由黎曼发展。内蕴曲面理论。高斯的曲面理论后来由黎曼发展。高斯一高斯一生共发表生共发表155155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。其著作还有地磁概己认为是十分成熟的作品发表出来。其著作还有地磁概念和论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律念和论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律等。等。高斯（高斯（C.F.Gauss)C.F.Gau
30、ss)返回返回 1801 1801年高斯有机会戏剧性地施展他的优势的计算技巧。那年高斯有机会戏剧性地施展他的优势的计算技巧。那年的元旦，有一个后来并被命名为谷神星的天体，被发现年的元旦，有一个后来并被命名为谷神星的天体，被发现当时它好像在向太阳靠近，天文学家虽然有当时它好像在向太阳靠近，天文学家虽然有4040天的时间观天的时间观察它，但还不能计算出它的轨道。高斯只作了察它，但还不能计算出它的轨道。高斯只作了3 3次观测就次观测就提出了一种计算轨道参数的方法，而且达到的精确度使得提出了一种计算轨道参数的方法，而且达到的精确度使得天文学家在天文学家在18011801年末和年末和18021802年初
31、能够毫无困难地再次确定年初能够毫无困难地再次确定谷神星的位置。高斯在这一计算方法中用到了他大约在谷神星的位置。高斯在这一计算方法中用到了他大约在17941794年创造的最小二乘法（一种可从特定计算得到最小的年创造的最小二乘法（一种可从特定计算得到最小的方差和求出最佳估值的方法），在天文学中这一成就立即方差和求出最佳估值的方法），在天文学中这一成就立即得到公认。他在天体运动理论中叙述的方法今天仍在得到公认。他在天体运动理论中叙述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能适应现代计算机的要求。高斯在使用，只要稍作修改就能适应现代计算机的要求。高斯在小行星小行星”智神星智神星”轨道确定方面也获得类似的成功。轨道确定方面也获得类似的成功。大地三角网（大地三角网（Triangulation Network）返回返回觇觇 标（标（OberservationOberservation Tower Tower）返回返回经经 纬纬 仪（仪（TheodoliteTheodolite）返回返回GPSGPS测量（测量（Global Positioning SystemGlobal Positioning System）返回返回GPSGPS星座和接收机（星座和接收机（Satellite and ReceiverSatellite and Receiver）返回返回
