1、积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分一、主要内容一、主要内容第七章第七章 不定积分习题课不定积分习题课1 1、原函数、原函数 如如果果在在区区间间I内内，可可导导函函数数)(xF的的导导函函数数为为)(xf，即即Ix ，都都 有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()(，那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf或或dxxf)(在在区区间间I内内原原函函数数.定义定义原函数存在定理原函数存在定理 如果
2、函数如果函数)(xf在区间在区间I内连续，那内连续，那么在区间么在区间I内存在可导函数内存在可导函数)(xF，使，使Ix ，都有，都有)()(xfxF .即：即：2 2、不定积分、不定积分(1)定义定义CxFdxxf )()(dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()(2)微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常数数，)0 k(3)不定积分的性质不定积分的性质 )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()(CxFdxxF)()(CxFxdF)()(3 3、基本积分表、基本积分表 kCkxkdx()1(是常数是常数
3、)1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3(dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8(xdx2secCx tan xdx2sin)9(xdx2cscCx cot dxax)13(Caax ln Cxxdxcoslntan)16(Cxxdxsinlncot)17(Cxxxdx)tanln(secsec)18(Cxxxdx)cotln(csccsc)19(Caxadxx
4、a arctan11)20(22Cxaxaadxxa ln211)22(22Caxdxxa arcsin1)23(22Caxxdxax )ln(1)24(2222Caxaxadxax ln211)21(22Cx sh)14(xdxch xdxCx ch)15(sh5 5、第一类换元法、第一类换元法4 4、直接积分法、直接积分法定理定理 1 设设)(uf具有原函数，具有原函数，)(xu 可导，可导，则有换元公式则有换元公式 dxxxf)()()()(xuduuf 第一类换元公式（第一类换元公式（）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法定积分的
5、方法.;)(.11dxxxfnn;)(.2dxxxf;)(ln.3dxxxf;)1(.42dxxxf;cos)(sin.5xdxxf;)(.6dxaafxx常见类型常见类型:;sec)(tan.72xdxxf;1)(arctan.82dxxxf 6 6、第二类换元法、第二类换元法定理定理 设设)(tx 是单调的、可导的函数，并是单调的、可导的函数，并且且0)(t，又设，又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，则有换元公式则有换元公式 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函数的反函数.第二类换元公式第二类换元公式常用代换常用代换:.,)(.1Rbatx
6、.sin,)(.222taxxaxf 令令如如三角函数代换三角函数代换.,)(.322ashtxxaxf 令令如如双曲函数代换双曲函数代换.1.4tx 令令倒置代换倒置代换7 7、分部积分法、分部积分法dxvuuvdxvu duvuvudv 8.8.选择选择u u的有效方法的有效方法:LIATELIATE选择法选择法L-对数函数；对数函数；I-反三角函数；反三角函数；A-代数函数；代数函数；T-三角函数；三角函数；E-指数函数；指数函数；哪个在前哪个选作哪个在前哪个选作u.9 9、几种特殊类型函数的积分、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）有理函数的积分定义定义两个多项式的商表示的函数
7、称之两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其中其中m、n都是非负整数；都是非负整数；naaa,10及及mbbb,10都是实数，并且都是实数，并且00 a，00 b.真分式化为部分分式之和的待定系数法真分式化为部分分式之和的待定系数法四种类型分式的不定积分四种类型分式的不定积分;ln.1CaxAaxAdx ;)(1()(.21CaxnAaxAdxnn ;arctanln2.342422222CqxqNqpxxMdxqpxxNMxpppMp dxqpxxNqpxxdxpxMdxqpxxNMxnMpnn)()()2(2)(.422
8、22此两积分都可积此两积分都可积,后者有递推公式后者有递推公式212sinuux 2211cosuux 令令2tanxu uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 （2）三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxR（3）简单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型：讨论类型：),(nbaxxR),(necxbaxxR 解决方法：解决方法：作代换去掉根号作代换去掉根号;necxbaxt 令令;
9、nbaxt 令令二二.例题分析例题分析解:由不定积分的定义,)()(Cxfdxxf)()(xfdxxf.)()(dxxfdxxf.)()(dxxfdxxf1.判断正误:dxxxxdxxxdxxxx221)11(dxxdxx5443解解:dxxxx)11(2例例2:Cxx4147474.cos2sin)5;1arcsin)4;sincos)3;2)2;1)1223412xxdxdxxxxdxxxxxdxdxaxx例例3.凑微分求不定积分凑微分求不定积分例例4.第二换元法求不定积分第二换元法求不定积分221xxdx解解 1)三角代换三角代换:,2,2,sinttx.costdtdx tdttttd
10、txxdx2222csccossincos121xx1.1cot2cxxct,1,12dttdxtx2222211111ttdttxxdx2)倒代换倒代换:.12122ttddttt12ct12.12cxx例例5：分部积分法求不定积分：分部积分法求不定积分dxxx3ln)12321lnlnxxddxxxdxxx322121解解.412122cxx;arcsin)22dxx解解222arcsinarcsinarcsinxxdxxdxxdxxxxxx2212arcsinarcsindxxxxxx2212arcsinarcsin221arcsin2arcsinxxdxxxdxxxxxarcsin1a
11、rcsin12arcsin222dxxxxxxx22221112arcsin12arcsin.2arcsin12arcsin22cxxxxxdxxlnsin)3xxdxxdxxlnsinlnsin)sin(ln解解dxxxxlncoslnsinxxdxxxxlncoslncoslnsindxxxxxxxlnsinlncoslnsincxxxdxxx)lncosln(sin21lnsin三、较难例题三、较难例题例例1 1 dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 dxxxxx求求 1)23()23(23ln12xxd dttt)1111(23ln21Ctt 11ln)2ln3(ln21
12、.2323ln)2ln3(ln21Cxxxx 123ln12tdttx)23(令令例例2 2解解.cos1)sin1(dxxxex求求 dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2原式原式 dxxexexx)2tan2cos21(22tan)2(tan(xxdexxde )2tan(xedx.2tanCxex 例例3 3解解.15)1ln(22 dxxxx求求5)1ln(2 xx,112x 5)1ln(5)1ln(22 xxdxx原式原式.5)1ln(32232Cxx )1221(1122xxxx 例例4 4解解.1122 dxxxx求求dttttt)1(1)1(111222 原式原式d
13、ttt 211 22212)1(11ttddttCtt 21arcsin.1arcsin12Cxxx ,1tx 令令(倒代换倒代换)解解例例6 6.)2(10 xxdx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdCxx )2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110Cxx 例例7 7解解.)1()1(342 xxdx求求.)1()11()1()1(234342 xxxxx,11 xxt令令,)1(22dxxdt 则有则有 原式原式 234)1()11(xxxdxdtt 3421Ct 3123.11233Cxx 例例8 8解解.cos1sin dx
14、xxx求求dxxxxx 2cos22cos2sin22原式原式dxxdxxx 2tan2cos22dxxdxxxx 2tan2tan2tan.2tanCxx 例例9 9解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dxxfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 例例1010解解.,1max dxx求求,1max)(xxf 设设,1,11,11,)(xxxxxxf则则,),()(上连续上连续在在xf).(xF则必存在原函数则必存在原函数须处处连续，有须处处连续，有又又)(xF.1,2111,1,21)(32212 xCxxCxxCxxF)21(lim)(lim12121CxCxxx ,21112CC 即即)(lim)21(lim21321CxCxxx ,12123CC 即即.1,12111,211,21,1max22 xCxxCxxCxdxx故故.1,2132CCCC 可得可得,1CC 联立并令联立并令
