1、二、第二类换元法二、第二类换元法一、第一类换元法一、第一类换元法下页 返回 结束 换元积分法 第四四章 一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式xxxfd)()(uufd)()(xu()d()fxx(也称配元法配元法,凑微分法凑微分法)上页 下页 返回 结束 补例补例 求求.2sin xdx解解（一）（一）xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解解（二）（二）xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解解（三）（三）xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .
2、cos2Cx 上页 下页 返回 结束 补例补例.求).1(d)(mxbxam解解:令,bxau则,ddxau 故原式原式=muuad1a1Cumm1111)()1(1mbxamaC注注:当1m时d1d()xaxbaxbaaxbCbxaaln1上页 下页 返回 结束 常用的几种配元形式常用的几种配元形式:xbxafd)()1()(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd上页 下页 返回 结束 xxxfd
3、sec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd例例5.求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan类似上页 下页 返回 结束 例例1010 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu1211ln2uC1ln 12ln.2xC上页 下页 返回 结束 补例补例 求求.)11(12dxexxx 解解,11
4、12xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 上页 下页 返回 结束 22)(1d1axxa例例6.求.d22xax解解:22dxaxCaxa)arctan(1想到公式21duuCu arctan)(ax上页 下页 返回 结束 2d()11()xaxaa补例补例 求求.25812dxxx 解解dxxx 2581221(4)(4)9d xx.34arctan31Cx 22duau1arctan()uCaa上页 下页 返回 结束 Caxaxaln21例例9.求.d22axx解解:221ax)(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式=a21axxa
5、xxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)(d上页 下页 返回 结束 例例8.求).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2)(1daxax2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax上页 下页 返回 结束 补例补例.求22d(0).x xaax解解:1222221()d()2axax22dx xax1122211()1212axC 1222()axC 解解:令22,uax则d2 d,ux x 故原式原式=12u1 1d2ux补例补例 求求.12321dxxx 解：原式解：原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 1241
6、3241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 上页 下页 返回 结束 222d)(2123xax补例补例.求.d)(23223xaxx解解:原式=23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC上页 下页 返回 结束 例例11.求.d3xxex解解:原式=xexd23)3d(323xexCex332例例18.求.dsec6xx解解:原式=xdxx222sec)1(tanxtandxxxtand)1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC上
7、页 下页 返回 结束 补例补例.求.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1(xdxxee1)1(dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1(dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee两法结果一样上页 下页 返回 结束 例例1616 求求解解（一）（一）dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxln tan2xCln csccot.xxC（使用了三角函数恒等变形）使用了三角函数恒等变形）上页 下页 返回 结束 解解（二）（二）dxxsin1 xdxcsc d
8、xxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 上页 下页 返回 结束 xxsin11sin1121例例17.求.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21上页 下页 返回 结束 xxtansec解法解法 2 xxdsecxxdsecxxtansec)tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx Cxxtansecln上页 下页 返回 结束
9、同样可证xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln(P196 例16)例例14.求2cosd.x x解解:上页 下页 返回 结束 21cos2cos2xxdxdx11sin224xxC)2cos2cos21(241xx 例例15.求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21(24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C上页 下页 返回 结束 例例1313 求求解解.co
10、ssin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.上页 下页 返回 结束 例例2020 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 上页
11、 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?xx4d)1(24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx上页 下页 返回 结束 2arcsin2xCxxxd)1(1102.求.)1(d10 xxx提示提示:法法1法法2)1(d10 xxx10)x)1(d10 xxx)1(1010 xx10d x10110(x上页 下页 返回 结束 101lnln1.10 xxC补例补例.求22d.x axx解解:1222221
12、()d()2axax22dx axx32221()3axC 1122211()1212axC 上页 下页 返回 结束 例例21.求.)0(d22axxa二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()(易求,则得第二类换元积分法.难求，uufd)(上页 下页 返回 结束 CxF)()()()(ttft定理定理2.设)(tx是单调可导函数,且,0)(t)()(ttf具有原函数,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt证证:的原函数为设)()(ttf,)(t令)()(1xxF则)(xFt
13、ddxtdd)()(ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct)(1xt)(1d)()(xttttf则有换元公式上页 下页 返回 结束 例例21.求.)0(d22axxa解解:令,),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22上页 下页 返回 结束 例例22.求.)0(d22aaxx解解:令,),(,tan22ttax则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta
14、2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C上页 下页 返回 结束 例例23.求.)0(d22aaxx解解:,时当ax 令,),0(,sec2ttax则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa上页 下页 返回 结束,时当ax令,ux,au 则于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCax
15、x1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln上页 下页 返回 结束 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定根据被积函数的情况来定.说明说明补例补例 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令,122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解上页 下页 返回 结束 补例补例 求求解解.11dxex xet 1令令,12 tex,122dtt
16、tdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx上页 下页 返回 结束 说明说明当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用倒代换可采用倒代换.1tx 补例补例 求求dxxx )2(17令令tx1,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct|21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解上页 下页 返回 结束 补例补例.求.21d3xx解解:令,23xu则,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11)1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2(x323x
17、321ln3xC 上页 下页 返回 结束 说明说明当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的最小公倍数）为各根指数的最小公倍数）lkxx,ntx n补例补例 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216上页 下页 返回 结束 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 上页 下页 返回 结束 小结小结:1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:,d),()1(xbaxxfn令nbxat
18、,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan,d),()5(22xaxxf令taxsec第四节讲上页 下页 返回 结束(6)分母中因子次数较高时,可试用倒代换倒代换 xxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln常用基本积分公式的补充(P203)上页 下页 返回 结束 xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarcta
19、n1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln上页 下页 返回 结束.32d2 xxx解解:原式xxd2)1(122)2()1(dx21arctan21xC(P203 公式(20)例例25.求例例26.求.94d2xxI解解:223)2()2(d21xxICxx942ln212(P203 公式(23)上页 下页 返回 结束 例例27.求.1d2xxx解解:原式=22)()()(d21x(P203 公式(22)2521xCx512arcsin补例补例.求.1d2xex解解:原式xxee21dCexarcsin(P203 公式(22)上页 下页
20、 返回 结束 练习题练习题 1.求下列积分:223d12xxxxxxxd2125)22(x2221)21d(xxxx 52)1(2 x)1d(x2212xx Cx21arcsin5上页 下页 返回 结束 2.求不定积分解：解：.dsin2sin1cossin222xxxxx利用凑微分法,xx22sin2sin1原式=)sin1(d2x令xt2sin1tttd1222ttd)111(22t 2Ct arctan2Cxx22sin1arctansin12得上页 下页 返回 结束 3 3 求求.)1(3dxxx 解法一：解法一：dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdx
21、x .)1(21112Cxx 上页 下页 返回 结束 3 3 求求.)1(3dxxx 解法二：解法二：dxxx 3)1(31tdtt2311()dttt.)1(21112Cxx 上页 下页 返回 结束 令令1xt,1,xtdxdt 211 12Ctt 4 4 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 上页 下页 返回 结束 5 5 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx ln arcsin.2xC上页 下页 返回 结束 第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路 上页 下页 返回 结束
