1、与圆有关的最值问题一：圆上一点到直线距离的最值问题一：圆上一点到直线距离的最值问题二：抓住所求式的几何意义求最值二：抓住所求式的几何意义求最值三：向函数问题转化三：向函数问题转化四：向基本不等式转化四：向基本不等式转化类型一：圆上一点到直线距离的最值问题类型一：圆上一点到直线距离的最值问题xyOCPQ2 21PQPCr最大值为的最小值为则上任一点，：为圆上任一点，为直线：已知例|PQ|1)3(1122yxCQxyP2 21PQPCrMN的最小值为则上任一点，：为圆，：已知变式QABSyxCQBA1)3(),32()10(122xyOCBQA122(2 21)422QABQQSAB hhV则切线
2、长的最小值为引切线，：上一点向圆：由直线变式1)3(1222yxCxyxyOCPA22221PAPCrPCmin2 2PCmin7PA最大。为何值时，则当为切点，、的切线：作圆上一动点，过点为直线：已知变式APBPCBAPBPAyxCPxyP,1)3(1322xyOCPABAPBAPC 1sinAPCPCmin2 2PC2 2PCAPB时，最大。xyOCPAB1222P A CP B CP A CSSSSP AA C P A 四 边 形 PACB由变式2可知，min7PA 7故四边形PACB面积的最小值为 值为面积的最小为切点，则四边形、，的切线：作圆过上一动点，为直线已知：变式PACBBAP
3、BPAyxCPxyP,1)3(14221222P A CP A BP A BSS SSP AA CP A 四 边 形 P A C B方法小结化为直线的距离的最值可转总结：求圆上动点到定求圆心到定直线的距离上点与直线的若直线与圆相离，则圆rdd/max最大距离rdd/min最小距离离）表示圆心到定直线的距（其中/d类型二：抓住所求式的几何意义求最值类型二：抓住所求式的几何意义求最值|1|)4()1()2)(3(21)2(2)1(,0342,22222yxyxxyyxyxyxyx求下列各式的最值：满足：若实数例xyOCyxyxyxyx2)1(,042,222求下列各式的最值：满足：若实数例由题意，
4、当直线的纵截距最小时，2xyz解：解：令 则 1122yxzz最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离 555zd 010z 故或由题意，即x-2y的最大值为0 m ax0zmin10z 即x-2y的最大值为-10 xyOC21)2(,042,222xyyxyxyx求下列各式的最值：满足：若实数例A12,)(,2k 2222)1()2)(3(,042,2yxyxyxyx求下列各式的最值：满足：若实数例xyOCA50215,5021522,2430,(4)|1|x yxyxyxy例2：若实数满足求下列各式的最值：xyOC1410,410 xy 形如 形式的最值问题，可转化为动直线 斜率的最值问
5、题；axby形如 形式的最值问题，可转化为动直线 截距的最值问题；byaxt形如 形式的最值问题，可转化为圆心 动点到定点距离平方的最值问题；22)()(byaxm方法小结类型三：向函数问题转化类型三：向函数问题转化221xy例例3（2010全国理科）全国理科）已知圆O：，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，则 的最小值为 221xyPA PB PABOcos2PA PBPA PB 1tanPAPB，2(0,)2APB解：令 222222c o s 2c o s c o s 2(1s in)(12 s in)ta ns ins inP A P B 2sin(0)t t令(1)(1 2)
6、123 2 2 3ttPA PBttt 则22t 22sin2（当且仅当 ，即时取等号）222222c o s2 c o s c o s2(1s in)(12 s in)ta ns ins inP AP B 222222c o s 2c o sc o s 2(1 s i n)(1 2 s i n)t a n s i ns i nP A P B (1)(1 2)1232 23t tP A P Bttt 则类型四：向基本不等式转化类型四：向基本不等式转化面积的最大值。求四边形的最大值两点，、与交圆两点，、与交圆，线做两条相互垂直的直过点：已知圆：例EGFHGHEFHGClFEClllAyxC)2(
7、)1(,)0,1(,4)2(4212122CAEFGHxyOMN解：（1）令圆心C到弦EF的距离为 d1,到弦GH的距离为 d2则EF+GH 22122(44)dd222121ddCA又22221212448()8 1142222dddd由1222dd（当且仅当 ，时取等号）则EF+GH 8 12142（2）EFGH 221212 442SEF GHdd四边形EFGH22128()272dd1222dd（当且仅当 ，时取等号）圆的最值问题常见的解法有两种圆的最值问题常见的解法有两种:几何法和代数法几何法和代数法.1.几何法几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义征及意义,则考虑利用图形来解决则考虑利用图形来解决,这就是这就是2.代数法代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系函数关系,则可首先建立目标函数则可首先建立目标函数,再求这个函数的再求这个函数的最值最值.小结小结的坐标。取得最小值的点使得，求为坐标原点，且有引一条切线，切点为向该圆外一点从圆：已知圆：例PPMPOPMOMyxPCyxyxC,),(,0342222xyOCP
