1、一、复习要求一、复习要求（1）理解定积分的概念与几何意义（2）掌握定积分的基本性质（3）理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法（4）掌握牛顿莱布尼茨公式（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法（6）理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积（8）会用定积分求沿直线运动时变力所作的功 第第6讲讲 定积分及其应用定积分及其应用(),()xy xy,yc ydb由曲线及直线所围成 二、内容提要二、内容提要1定积分概念定积分概念()yf x,xa xbx（1）曲边梯形的概念：在直角坐标系
2、中，由曲线，直线及的平面图形有以下两类，它可以看做是由两个曲边梯形所夹轴所围成的图形，叫做曲边梯形常见(),()yf xyg x,xa xb及直线a由曲线所围成()f x,babxxxxann110,ba1,(1,2,)iixxin1iiixxx1,iixx1iiixx()(1,2,)iifxin1()nniiiSfx（2）定积分的定义：如果函数在区间上有定义，用点将区间分成n个小区间其长度为，在每个小区间上任取一点，则乘积称为积分元素，其总和称为积分和()baf x dx记为01()lim()nbiiaxif x dxfx 即为积分区间，()f x()f x dxx,baab其中称为被积函数
3、，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分下限，为积分上限 nS在区间的取法无关，则称函数中最大者nix0(max)ixxx ,bai()f x,ba()f x,ba如果当无限增大，而时，总和的极限存在，且此极限与的分法以及并将此极限值称为函数在区间上是可积的，上的定积分，（3）定积分上下限互换时，定积分变号而绝对值不变，ab()0abf x dx 当时，说明：（1）定积分作为一个和式的极限，是个数值，它的大小仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关（2）被积函数()f x,ba()f x在积分区间必要条件，被积函数上有界，是可积的在积分区间上连续是可积的充分条件初等函数在其定
4、义区间上一定可积()()baabf x dxf x dx 即()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx（1）代数和的积分的等于积分的代数和，即()()bbaakf x dxkf x dx为常数）（k（2）常数因子可以提到积分号前面，即2定积分的基本性质定积分的基本性质()()()bcbaacf x dxf x dxf x dx之间时，等式仍然成立不介于,a b当c()()bbaaf x dxg x dx,ba,a c,c b（3）如果积分区间被点分成两个小区间与，则()()f xg x（4）若在积分区间上总有，则()()()bam baf x dxM ba()()(
5、)baf x dxfba(,)a b()f x,baM（5）若函数在积分区间上有最大值和最小值m，则有，使有内至少存在一点()f x,ba(,)a b（6）若函数在上连续则在区间的值，即它对变上限 的导数，等于被积函数在上限xx()()()xaP xf t dtf x3牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式()f x,a b（2）原函数存在定理：若在上连续，则()()xaP xf t dt()f x,a b是函数在区间上的一个原函数()()xaP xf t dtx是变上限（1）变上限定积分的函数，()()()()|bbaaf x dxF bF aF x（3）牛顿莱布尼兹公式：()f x,a b在上连
6、续，且()F x()f x是的一个原函数，则若函数()()()baf x dxftt dt4定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法()xt上连续，令，如果b当t()t()a 从变到时，从单调地变到()b，则有()f x,a b在区间（1）定积分的换元积分公式：设函数()t,()t在区间或上有连续导数a0()2()aaaf x dxf x dx()0aaf x dx（2）奇（偶）函数在对称积分区间上的定积分计算法则：()f xb若是奇函数，则()f x是偶函数，则a若()()()()|()()bbbaaau x v x dxu x v xv x u x dx()u x()v
7、 x（3）定积分的分部积分公式：设函数和,a b在上有连续导数，则|bbbaaaudvuvvdu或记为()f x积分区间为无限的广义积分：设函数在区间()lim()baabf x dxf x dx则定义()f x,)a 为在上的广义积分此时，称广义积分()af x dx存在或收敛，否则称广义积分()af x dx发散或不存在 5广义积分广义积分,)a lim()()babf x dx ab上连续，如果极限存在，()lim()bbaf x dxf x dx()()()ccf x dxf x dxf x dxlim()lim()cbacabf x dxf x dx同样，可定义：(,)c 其中1li
8、m(ln|)bbx1ln|x有时为了书写方便，可省去极限符号，如可简写成11()dxx11根据定义可知：当时收敛，当时发散()()basf xg x dx()f x()g x（1）平面图形的面积设函数和,a b()()f xg x在上连续，且，则由曲线平面图形的面积为6定积分的应用定积分的应用()yf x()yg x,xa xb和直线所围成的()()dcsyy dy()xy()xy,c d函数和在上连续，且()()yy()xy()xy，则由曲线和直线,yc yd所围成的平面图形的面积为2()bxavf xdx2()dycvydy()yf x（2）旋转体的体积设一立体是以连续曲线，直线的旋转体，
9、则其体积为轴所围与y()xy,()yc yd cd由连续曲线，直线成的平面图形绕y轴旋转而成的旋转体体积为,()xa xb abx及轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成三、例题及说明三、例题及说明20sin(sin)Sxdxx dx（2）002sin2cos|4Sxdx 或2200sincos|0 xdxx 解解（1）20sin xdx和 轴所围成的区域的面积Ssin,02yxxx（2）求由曲线例例1（1）求1基本概念基本概念20cos|cos|xx 4120(22)xxdx210 xxe dx1220211xdxx11ln()exdxxx022sin xdx例例2 求（1）（2）（3）（4）（5
10、）1220(2 1arcsin)|xx 120(22)xxdx解解（1）210 xxe dx（2）1220211xdxx（3）31012(2)|3ln2xxx713ln2212012xe dx2101|2xe1(1)2e112222002111xdxdxxx23611ln()exdxxx（4）022sin xdx（5）111lnlneedxxdxx211(lnln)|2exx32021(1 cos2)2x dx0211(sin2)|22xx4|bbbaaauv dxuvvu dx2定积分的分部积分法定积分的分部积分法|bbbaaaudvuvvdu或220cosxxdx120ln(1)xxdx2
11、130 xx e dx例例1 求（1）（2）（3）定积分的分部积分公式为222200011 11|(sin2)|sin242 22xxxxdx22010cos2|8x2130 xx e dx解解（1）220cosxxdx（2）2122012xx e dx22211001()|2xxx ee12201(1 cos2)2xx dx220011cos222xdxxxdx2120ln(12)1xdxxln(12)21120ln(1)xxdx（3）122012(1)121xxdxxxx210ln(12)1|x210ln(1)|xxx3定积分的换元法定积分的换元法301xdxx2212221dxxxln2
12、01xedx例例1（1）（2）（3）301xdxx22112ttdtt1tx解解（1）设21,2xtdxtdt，则3x 2t 0 x 1t 且当时，当时2212(1)tdt32122 3tt832212221dxxx426cossincostdtttsinxt（2）设cosdxtdt，则22x 4t12x 6t且当时，当时（由单值性也可取34526cossincostdttt则原式246csc tdt46cot|t 313456cott|3122x 34t12x 56t时，当时）当ln201xedx212021tdtt1xte（3）设222ln(1),1txtdxdtt，则0 x 0t ln2
13、x 1t 且当时，当时12012(1)1dtt102(arctan)|tt2212111adtt0a 112211111aadxdxxx例例2 证明对，有1xt证证 设21dxdtt，则1x 1t xa1ta且当时，当时112211()11()adttt 等式左边 11211adtt 12111adxx4分段函数的积分分段函数的积分2 1()5 1x xf xx20()f x dx31|2|x dx/4/21(1 cos2)2x dx，求（2）求（3）求例例1（1）120125xdxdx2312(2)(2)x dxxdx2 223121122 22xxxx/4/2|sin|x dx0/4/20
14、(sin)sinx dxxdx20()f x dx解解（1）31|2|x dx（2）/4/21(1 cos2)2x dx（3）2 1201|5|xx1 56 22252cossinxxe dxxdxexdx2(cossin)xxexex dx2|2(|)xxx edx例例1 求（1）（2）解解（1）原式第二个被积函数是偶函数，第三个被积函数是奇函数22|22|xxx edxxedx（2）原式前者被积函数是偶函数，后者被积函数是奇函数，5奇、偶函数在对称区间奇、偶函数在对称区间,a a上的积分上的积分02cos0 xe dxxdxee原式2220020226xxxxe dxxeee原式2222(
15、)lnlnlnlnaxxxxaaaxttdtttdtttdtttdt 222 ln22ln2xxxxx ()x例例1 求1()lnxxttdtcos1()lnxxttdt22()lnxxxttdt设（1）（2）（3）1()lnlnxxttdtxx解解（1）cos1()lncos lncos(sin)xxttdtxxx（2）（3）6变上限积分及其对上限的导数变上限积分及其对上限的导数1()()()00()bbbababf t dtdtf t dtf t 1()()0()xf xf x又上单调增加，所以方程,a b()x在即1()()()xxabxf t dtdtf t()0 x,a b()0f
16、x ab例例2 设连续，证明方程上有且只有一个根在11()()00()()aababaaf t dtdtdtf tf t证证()0 x,a b在上有且只有一个根 2111lnlnln|2xdxx221(lim lnln 1)2xx 1ln xdxx0 xxe dx211dxx例例1 求（1）（2）（3）1ln xdxx解解（1），发散21arctan|()122dxxx（3），收敛7广义积分广义积分001(lim0)1xxxxxxe dxxeexe （2），收敛111|1papadxxxp 1ln|apadxxx 1p 解解 当时，发散；，发散；1111|11ppapaadxxxpp，收敛 1
17、(0)padx ax例例2 讨论的收敛性1p 时，当1p 时，当12 10013(1)22xxSex dxexxe12 10101131(1)(1 ln)|ln22eeSy dyy dyyyyyye,1,1xyeyx x 例例1 求由所围区域的面积积分，则必须分成上、下两块面积之和：y或对解解 8平面图形所围区域的面积平面图形所围区域的面积2802 2(2)2(4)Sxx dxxxdx 3/223/228022212 2|24 18332xxxx积分，则或对y4223 422111(4)418226Syy dyyyy224yxyx解解 首先由联立方程(2,2),(8,4)，求得两曲线交点坐标为积分，则必须分成左右两块之和x对22yx4yx例例2 求由曲线和直线所围区域的面积210()2xVxdxyx解解（1）取上半支抛物线21221281()(2)55yVydy（2）9旋转体的体积旋转体的体积2yx1x xy例例1 求由曲线和所围区域（1）绕轴旋转的体积；（2）绕轴旋转的体积
