1、函数的单调性函数的单调性2023-1-21 学校准备建造一个长方形的花坛，学校准备建造一个长方形的花坛，面积设计为面积设计为1616平方米。平方米。由于周围环由于周围环境的限制，其中一边的长度既不能超境的限制，其中一边的长度既不能超过过1010米，又不能少于米，又不能少于2 2米。求花坛长与米。求花坛长与宽两边之和的最小值和最大值。宽两边之和的最小值和最大值。16平方米平方米2023-1-221 10 0)(2 2两两边边之之和和为为xx16xy设长方形受限制一边长为设长方形受限制一边长为 x 米，米，1 10 0.2 2x米米.则则另另一一边边长长为为x16xx x1 16 616平方米平方
2、米的的最最小小值值和和最最大大值值。求求函函数数1 10 0)(2 2xx16xy利用不等式可求最小值；利用不等式可求最小值；如何求最大值？如何求最大值？研究研究y随随x的的变化而变化的规律变化而变化的规律2023-1-23Oxy22xy21Oxy2xxy221yOxx1y Oxy1xy11yx2023-1-24Oxy1x)f(x12xy2023-1-25Oxy1x)f(x12xy2023-1-26Oxy1x)f(x12xy2023-1-27Oxy1x)f(x12xy2023-1-28Oxy1x)f(x12xy2023-1-29Oxy1x)f(x12xy2023-1-210Oxy1x)f(x1
3、2xy2023-1-211Oxy1x)f(x12xy2023-1-212Ox)f(x11xy2xy2023-1-213,xx21在给定区间上任取21xx)f(x)f(x21 函数f(x)在给定区间上为增函数。Oxyf(x)y如何用如何用x与与 f(x)来描述上升的图像？来描述上升的图像？)f(x11x如何用如何用x与与 f(x)来描述下降的图像？来描述下降的图像？,xx21在给定区间上任取21xx 函数f(x)在给定区间上为减函数。)f(x)f(x21)f(x1)f(x2f(x)yOxy1x2x)f(x22x2023-1-214）上是增函数。，（在区间证明函数 12xf(x)例例1 1 202
4、3-1-215单调性，并加以证明。的判断函数例 2x xf(x)22单调递增区间：单调递增区间：单调递减区间：单调递减区间：1 ,(),1x2xxf(x)2y21o2023-1-216的单调区间？2,10,xx16xf(x)引例引例的继续：的继续：如何判断函数方法一方法一方法二方法二方法三方法三证明证明2023-1-2171 10 0 ，4 4 和和 4 4 在在 2 2,x16x f(x)引例引例的继续：的继续：如何应用函数如何应用函数？上上的的单单调调性性求求其其最最大大值值Key2023-1-218课堂小结：课堂小结：（1）函数单调性的概念；）函数单调性的概念；（2）判断函数单调区间的常
5、用方法；）判断函数单调区间的常用方法；（2）作业作业（1）2023-1-219函数单调性的概念：函数单调性的概念：1.如果对于属于这个区间的自变量的任意如果对于属于这个区间的自变量的任意,都都有有时时,当当,两两个个值值)f(x)f(xxx,xx212121称函数称函数 f(x)在在这个区间上是增函数。这个区间上是增函数。2.如果对于属于这个区间的自变量的任意如果对于属于这个区间的自变量的任意,都有都有时,时,当当,两个值两个值)f(x)f(xxx,xx212121称函数称函数 f(x)在在这个区间上是减函数。这个区间上是减函数。一般地，对于给定区间上的函数一般地，对于给定区间上的函数f(x)
6、：2023-1-220方法一：分析函数值大小的变化方法一：分析函数值大小的变化。方法二：分析函数的图像方法二：分析函数的图像。方法三：比较大小过程中的数值分析方法三：比较大小过程中的数值分析。判断函数单调区间的常用方法：判断函数单调区间的常用方法：方法一方法一方法二方法二方法三方法三2023-1-221作业：作业：课后习题课后习题1.2.32023-1-222同学们再见！同学们再见！2023-1-223 xx16)x)(xx(x2121214,xx2210,xx21,16 xx421,0)f(x)f(x21,即即)f(x)f(x21上上单单调调递递减减。4 4 2 2,在在x16xf(x)0-
7、16xx21即即,4 42 2 设设21xx证明：证明：)f(x)f(x21)x16(x)x16(x2211 xx)x16(x)x(x2112212023-1-224方法一：分析函数值大小的变化方法一：分析函数值大小的变化。xy986543710210.8108.78.288.39.311.610单调递减区间：单调递增区间：猜测：2，44，102,10,xx16x f(x)2023-1-225Oxy448812121616xy x16y x16xy102614方法二：分析和函数的图像方法二：分析和函数的图像猜测：猜测：单调递减区间：单调递减区间：2，4单调递增区间：单调递增区间：4，10202
8、3-1-226方法三：比较大小过程中的数值分析方法三：比较大小过程中的数值分析。xx16)x)(xx(x)f(x)f(x21212121,212,1x x,10,2xx且设正负号的关键是确定)f(x)f(x21 在同一区间内，由于21,xx,16xx21 欲使,16x x21欲使.2116)x(x的正负号确定,42,xx21 ，则需.0 14,xx21，则需2023-1-2274上单调递减,4上单调递减,在2,在2,x16xf(x);1 10 04 4 上上最最大大值值为为 在在 2 2,f(2)f(x)递递增增,在在 4 4,1 10 0 上上单单调调 x16xf(x).5 55 58 8上上最最大大值值为为 1 10 0 4 4,在在 f(10)f(x)，f(2)f(10).5 55 58 8 为为f(10)解：解：的的最最大大值值函函数数 2,10，xx16xf(x)back2023-1-228）上是增函数。，（在区间证明函数 12xf(x)例例1 1 内任意是区间设),(,xx21)x2(x1)(2x1)(2x)f(x)f(x2121210 xx,xx21210)f(x)f(x21)f(x)f(x21即),(12xf(x)在区间则函数证明：证明：。两个实数，且 21xx 是增函数。（条件）（条件）（论证结果）（论证结果）（结论）（结论）2023-1-229
