1、一、函数的单调性一、函数的单调性二、函数的极值二、函数的极值四、函数图形的描绘四、函数图形的描绘三、曲线的凹凸性与拐点三、曲线的凹凸性与拐点五、小结五、小结 思考题思考题2.4 2.4 导数的应用导数的应用一、函数的单调性xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xf定理定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA1单调性的判
2、别法单调性的判别法证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf ,012 xx,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调增加上单调增加在在baxfy ,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 例例1 1解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx.1 xey,)0,(内内在在,0 y函数单调减少；函数单调减少；,),0(内内在在,0 y.函数单调增加函数单调增加注意注意:函数的单调性是一个区间上
3、的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性).,(:D又又2单调区间求法问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点区间的分界点方法
4、方法:.,)()(0)(数的符号数的符号然后判断区间内导然后判断区间内导的定义区间的定义区间来划分函数来划分函数不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程xfxfxf 例例2 2解解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)(xf.2,121 xx时，时，当当1 x,0)(xf上上单单调调增增加加；在在1,(时，时，当当21 x,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在2,1 时，时，当当 x2,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),2单调区间为单调区间为，1,(，2,1).,2例例3
5、 3解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),0 时，时，当当 x0,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在0,(单调区间为单调区间为，0,().,0 32xy 例例4 4证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则,0)(),0(,),0)(xfxf可导，可导，且且上连续上连续在在上单调增加；上单调增加；在在),0,0)0(f时，时，当当0 x,0)1ln(xx).1ln(xx 即
6、即注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy ,00 xy.),(上单调增加上单调增加但在但在二、函数的极值oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x1函数极值的定义函数极值的定义.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻
7、域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点内的一个点内的一个点是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.2函数极值的求法 设设)(xf在在点点0 x处处具具有有导导数数,且且在在0 x处处取取得得极极值值,那那末末必必定定0)(0 xf.定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意
8、注意:.,)(是是极极值值点点但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定点点的的极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻可可导导函函数数xf例如例如,3xy ,00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有;0)(xf而而),(00 xxx,有有0)(xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值.(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有;0)(xf而而),(00 xxx 有有0)(xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.(3)(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时,)(xf符号相同符号相同,则则)(xf在
9、在0 x处无极值处无极值.定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤:);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)例例1 1解解.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)(xf.3,121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,(),3()3,1(1 3)(xf )(x
10、f 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1(f极大值极大值,10)3)(1(3 xx593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下 设设)(xf在在0 x处具有二阶导数处具有二阶导数,且且0)(0 xf,0)(0 xf,那末那末(1)(1)当当0)(0 xf时时,函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值;(2)(2)当当0)(0 xf时时,函数函数)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000,0 异号，异号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x)(
11、)(00 xfxxf 有有,0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有,0 所以所以，函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值 同理可证同理可证(2).例例2 2解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)(xf.2,421 xx得驻点得驻点)2)(4(3 xx,66)(xxf )4(f,018 )4(f故极大值故极大值,60 )2(f,018 )2(f故极小值故极小值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下Mm注意注意:.2,)(,0)(00仍用定理仍用定理处不一定取极值处不一定取极值在点在点时时xxfx
12、f 例例3 3解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x;0)(xf时，时，当当2 x.0)(xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff.)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.M三、曲线的凹凸性与拐点问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoABC1曲线的凹凸性曲线的凹凸性xyo1x2x)(xfy 图形上任意弧图形上任意弧段位于所张弦段位于所张弦的上方的上方xyo)(xfy 1x2x图
13、形上任意弧图形上任意弧段位于所张弦段位于所张弦的下方的下方定义定义的（或凸弧）的（或凸弧）上的图形是（向上）凸上的图形是（向上）凸在在那末称那末称如果恒有如果恒有的（或凹弧）的（或凹弧）上的图形是（向上）凹上的图形是（向上）凹在在那末称那末称恒有恒有点点上任意两上任意两如果对如果对上连续上连续在区间在区间设设IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,)(2121212121 ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbab
14、axf1凹凸性的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y定理定理1 1.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在一阶和二阶导数一阶和二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x,0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0,(时，时，当当0 x,0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线),0.)0,0
15、(点点是曲线由凸变凹的分界是曲线由凸变凹的分界点点注意到注意到,2、曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点曲线的拐点.定理定理 2 2 如果如果)(xf在在),(00 xx内存在二阶导内存在二阶导数数,则点则点 )(,00 xfx是拐点的必要条件是是拐点的必要条件是0)(0 xf.拐点的定义拐点的定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点的求法拐点的求法证证,)(二阶可导二阶可导xf,)(存存在在且且连连续续xf ,)()(0两边变号两边变号在在则则xxfxf ,)(,(00是拐点是拐点又又xfx,)(0取得极值取
16、得极值在在xxf ,条件条件由可导函数取得极值的由可导函数取得极值的.0)(xf方法方法1:1:,0)(,)(00 xfxxf且且的邻域内二阶可导的邻域内二阶可导在在设函数设函数;)(,(,)()1(000即为拐点即为拐点点点变号变号两近旁两近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 例例2 2.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求曲线 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的
17、凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1,0()2711,32().,32,32,0,0,(凹凸区间为凹凸区间为方法方法2:2:.)()(,(,0)(,0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2,0(cossin的拐点的拐点内内求曲线求曲线 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy ,0 y令令.47,4321 xx得得2)43(f,0 2)47(f,0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2,0).0,47(),0,43(.)()(,(,)(000的拐点的拐点是连
18、续曲线是连续曲线也可能也可能点点不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意:例例4 4.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可导点是不可导点yyx ,0,)0,(y内内但在但在;0,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在,0,),0(y内内在在.),0上是凸的上是凸的曲线在曲线在.)0,0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 四、函数图形的描绘四、函数图形的描绘如果函数如果函数 f(x)的定义域上的某个小区间中的定义域上的某个小区间中（1）单调性已知；）单调性已知；（2）凹凸性已知；）凹凸性已知；（3）区间端点的位置已知或变化趋
19、势已知；）区间端点的位置已知或变化趋势已知；那么可以很容易地画出函数在这个区间内的图形那么可以很容易地画出函数在这个区间内的图形1渐近线定义定义:.)(,)(一条渐近线一条渐近线的的就称为曲线就称为曲线那么直线那么直线趋向于零趋向于零的距离的距离到某定直线到某定直线如果点如果点移向无穷点时移向无穷点时沿着曲线沿着曲线上的一动点上的一动点当曲线当曲线xfyLLPPxfy (1)(1)铅直渐近线铅直渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线垂直于垂直于 x.)()(lim)(lim000的一条铅直渐近线的一条铅直渐近线就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx (vertical asymptot
20、es)例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条:.3,2 xx(2)(2)水平渐近线水平渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线平行于平行于 x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条:.2,2 yy(3)(3)斜渐近线斜渐近线.)(),(0)()(lim0)()(lim的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybaxybabaxxfbaxxfxx 斜渐近线求法斜渐近线求法:,)(limaxxfx
21、 .)(limbaxxfx .)(的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是曲线就是曲线那么那么xfybaxy 注意注意:;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx,)(lim,)(lim)2(不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不存在斜渐近线不存在斜渐近线可以断定可以断定xfy 例例1 1.1)3)(2(2)(的渐近线的渐近线求求 xxxxf解解).,1()1,(:D )(lim1xfx,)(lim1xfx,.1是曲线的铅直渐近线是曲线的铅直渐近线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx,2 2)1()3)(2(2limxxxxxx 1)1(2)3)(2(
22、2lim xxxxxx,4.42是曲线的一条斜渐近线是曲线的一条斜渐近线 xy的两条渐近线如图的两条渐近线如图1)3)(2(2)(xxxxf2函数图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势渐近线以及其他变化趋势;第五步第五步3函数作图举例例例2 2.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解,0:xD非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf ,0)(xf令令,2 x
23、得驻点得驻点,0)(xf令令.3 x得得特特殊殊点点2)1(4lim)(lim2 xxxfxx,2 ;2 y得水平渐近线得水平渐近线2)1(4lim)(lim200 xxxfxx,.0 x得得铅铅直直渐渐近近线线列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:x)3,(),0()2,3(3)0,2()(xf)(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点3)926,3(:补补充充点点);0,31(),0,31(),2,1(A),6,1(B).1,2(C作图作图xyo2 3 2111 2 3 6ABC2)1(4)(2 xxxf例
24、例3 3.21)(22的图形的图形作函数作函数xex 解解),(:D偶函数偶函数,图形关于图形关于y轴对称轴对称.,2)(22xexx ,0)(x令令,0 x得驻点得驻点,0)(x令令.1,1 xx得得特特殊殊点点.4.021)(0:xW.2)1)(1()(22xexxx 2221lim)(limxxxex ,0.0 y得水平渐近线得水平渐近线x)1,(),1()0,1(1)1,0()(x )(x 00)(x 01 拐点拐点极大值极大值 21)21,1(e 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:0拐点拐点)21,1(e xyo11 212221
25、)(xex 例例4 4.1)(23的图形的图形作函数作函数 xxxxf解解),(:D无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.),1)(13()(xxxf).13(2)(xxf,0)(xf令令.1,31 xx得驻点得驻点,0)(xf令令.31 x得特殊点得特殊点:补补充充点点),0,1(A),1,0(B).85,23(C列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:x)31,(),1()31,31(31)1,31(0311 拐点拐点极大值极大值2732)2716,31(0)(xf)(xf)(xf 极小值极小值0 xyo)0,1(A)1,0(B)85,23(C1
26、1 3131 123 xxxy五、小结 思考题 1.单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用，定理中的区间换成其它有限或无限区间，应用，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式程实根的个数和证明不等式.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)2.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念
27、:极大值可能小于极大值可能小于极小值极小值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.3.曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性；凹凸性的凹凸性；凹凸性的判定判定.改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;拐点的求法拐点的求法.4.函数图形的描绘综合运用函数性态的研函数图形的描绘综合运用函数性态的研究究,是导数应用的综合考察是导数应用的综合考察.xyoab最大值最大值最小值最小值极大值极大值极小值极小值拐点拐点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减)(xfy 思考题思考题 若若0)0(f，是是否否能能断断定定)(xf在在原原点点的的充充分分小小的的邻邻域域内内单单调调递递增增？思考题解答思考题解答不能断
28、定不能断定.例例 0,00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)(xxxxxf )212(1kx当当 时，时，0)212(41)(kxf kx21当当 时，时，01)(xf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内，都不单调递增都不单调递增k00 x)(xf-0.1-0.050.050.1-0.075-0.05-0.0250.0250.050.075思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？如如果果0 x为为)(xf的的极极小小值值点点，那那么么必必存存在在0 x的的某某邻邻域域，在在此此
29、邻邻域域内内，)(xf在在0 x的的左左侧侧下下降降，而而在在0 x的的右右侧侧上上升升.思考题解答思考题解答不正确不正确例例 0,20),1sin2(2)(2xxxxxf当当0 x时，时，)0()(fxf)1sin2(2xx 0 于是于是0 x为为)(xf的极小值点的极小值点当当0 x时，时，当当0 x时时，,0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之间振荡之间振荡因因而而)(xf在在0 x的的两两侧侧都都不不单单调调.故命题不成立故命题不成立xxxxf1cos)1sin2(2)(思考题思考题 在地面上建有一座圆柱形水塔，水塔内部的直径为d,并且在地面处开了一个高为H的小门.现在要对水
30、塔进行维修施工，施工方案要求把一根长度为l(ld)的水管运到水塔内部.请问水塔的门多高时，才有可能成功地把水管搬进水塔内？水管运进水塔时,一端在地面上滑动,另一端在水塔壁上垂直滑动.设水管运动过程中,在入门处的高度为h,水管与地面的夹角为 根据题意可知：).20(xyhdl O sincoshdl)20(tansin dlh因此，现在计算h的极大值.解 建立如右图示坐标系.0cos1cos2 dlddh令 30arccosld 可解得驻点为dlddh 3200coscos,coscos因此时，当.)(,0cos,coscos,0cos020003处取得极大值在所以故时，当 hddhdl000m
31、axtansin)(dlhh113232maxdldldlh.max水塔，才有可能把水管运进必须大于所以，门高hH.8.1,maxHmh因此时管就不能搬进水塔那么水水塔门高如设,6.1,4,8mHmdml思考题思考题 某杂技团刻意求新,在某海滨城市演出时,利用当地靠海的条件,设计了这样一个节目：在离开海边9米的沙滩上,建一10米高台,高台下5米处置一极富弹性的斜面(用弹簧编织而成),斜面与水平面成 角.然后让演员从高台团身跳下,与斜面碰撞(假定为弹性碰撞)后将其弹到海里.不知这个方案是否可行，请鉴定.045分析：如右图示,演员的表演分三个阶段完成：自由落体,碰撞,平抛.判断该方案是否可行,就是
32、看经过这样的运动之后能否平安地落入海中.这只需计算平抛阶段的水平距离是否大于9米即可.记高台、高台距斜面的高度分别为H和h,显然,s是h的函数,问题转化为求s(h)的极大值.0 00 0045h0 0Hs演员碰到斜面时的速度可计算得 ,ghv21由于假定是弹性碰撞，因而他水平飞出的速度12vv,演员从(H-h)处自由下落需要的时间为ghHt)(2故演员水平飞出的距离为)(22hHhtvsHhhHhhHdhds210)(2,0得令即把斜面放在全高的一半处,就可得到最大的水平距离.即HHHHs)2(22max故演员水平正好符合条件米米现已知,5,10hH飞出的距离可达10米,而高台离海边仅9米,故
33、方案是可行的.思考题思考题设设)(xf在在),(ba内二阶可导，且内二阶可导，且0)(0 xf，其中其中),(0bax ，则，则,(0 x)(0 xf是否一定为是否一定为曲线曲线)(xf的拐点？举例说明的拐点？举例说明.思考题解答思考题解答因为因为0)(0 xf只是只是,(0 x)(0 xf为拐点为拐点的的必要条件必要条件，故故,(0 x)(0 xf不一定是拐点不一定是拐点.例例4)(xxf),(x0)0(f但但)0,0(并不是曲线并不是曲线)(xf的拐点的拐点.思考题思考题 两坐标轴两坐标轴0 x，0 y是否都是是否都是函数函数xxxfsin)(的渐近线？的渐近线？思考题解答思考题解答0si
34、nlim xxx0 y是是其其图图象象的的渐渐近近线线.0 x不不是是其其图图象象的的渐渐近近线线.1sinlim0 xxxxxysin 一、一、填空题：填空题：1 1、函数函数7186223 xxxy单调区间为单调区间为_ _._.2 2、函数函数212xxy 在区间在区间-1,1-1,1上单调上单调_，在在_上单调减上单调减.3 3、函数、函数22ln xxy 的单调区间为的单调区间为_，单减区间为单减区间为_._.二二、确确定定下下列列函函数数的的单单调调区区间间：1 1、xxxy6941023 ；2 2、32)(2(xaaxy (0 a)；3 3、xxy2sin .练练 习习 题题(一
35、一)三、三、证明下列不等式：证明下列不等式：1 1、当当0 x时，时，221)1ln(1xxxx ；2 2、当当4 x时，时，22xx；3 3、若若0 x，则，则361sinxxx .四、四、方程方程)0(ln aaxx有几个实根有几个实根.五、五、设设)(xf在在 ba,上连续，在上连续，在(ba,)内内)(xf ,试证试证 明：对于明：对于 ba,上任意两上任意两1x，2x有有 2)()()2(2121xfxfxxf 提示：方法提示：方法（1 1）0)(xf，)(xf 单增；方法单增；方法（2 2）0)(xf，利用泰勒公式利用泰勒公式 一、一、1 1、),3,1,(单调增加单调增加,3,1
36、 单调减少；单调减少；2 2、增加、增加,),1,1,(3 3、1,(,),1；1,0(,1,(;1,0(),0,1 .二、二、1 1、在、在),1,21,0(),0,(内单调减少内单调减少,在在1,21上单调增加；上单调增加；2 2、在、在),32,(aa内单调增加内单调增加,在在,32aa上单调减少；上单调减少；练习题练习题(一一)答案答案 3 3、在、在32,2 kk上单调增加上单调增加,在在22,32 kk上单调减少上单调减少,),2,1,0(k.四、四、(1)(1)ea1 时没有实根；时没有实根；(2)(2)ea10 时有两个实根；时有两个实根；(3)(3)ea1 时只有时只有ex
37、一个实根一个实根.一、一、填空题：填空题：1 1、极值反映的是函数的极值反映的是函数的 _性质性质.2 2、若函数若函数)(xfy 在在0 xx 可导，则它在点可导，则它在点0 x处到处到 得极值的必要条件中为得极值的必要条件中为_._.3 3、函 数函 数32)1(2 xy的 极 值 点 为的 极 值 点 为 _；31)1(23 xy的极值为的极值为_._.4 4、已知函数已知函数 0,10,)(3xxxxxfx当当_ x时，时，为极为极_ y小值；当小值；当时时_ x，为极为极_ y大值大值.练练 习习 题题(二二)二、求下列函数的极值：二、求下列函数的极值：1 1、xeyxcos；2 2
38、、xxy1；3 3、方程方程02 yeyx所确定的函数所确定的函数)(xfy ；4 4、0,00,21xxeyx.三、三、证明题：证明题：1 1、如果如果dcxbxaxy 23满足条满足条032 acb，则函数无极值则函数无极值.2 2、设设)(xf是是有有连连续续的的二二阶阶导导数数的的偶偶函函数数0)(xf，则则0 x为为)(xf的的极极值值点点.一、一、1 1、局部；、局部；2 2、0)(0 xf；3 3、(1,2),(1,2),无；无；4 4、1,0,)1(,13eee;二、二、1 1、极大值、极大值 keky2422)24(,极小值极小值 ),2,1,0(22)12(4()12(4
39、kekyk；2 2、极大值、极大值eeey1)(；3 3、极小值、极小值1)0(y；4 4、极小值、极小值0)0(y.练习题练习题(二二)答案答案一、一、填空题：填空题：1 1、若函数若函数)(xfy 在在（ba,）可导，则曲线）可导，则曲线)(xf在在(ba,)内取凹的充要条件是内取凹的充要条件是_._.2 2、曲线上曲线上_的点，称作曲线的拐点的点，称作曲线的拐点.3 3、曲线曲线)1ln(2xy 的拐点为的拐点为_._.4 4、曲线曲线)1ln(xy 拐点为拐点为_._.二、二、求曲线求曲线xeyarctan 的拐点及凹凸区间的拐点及凹凸区间.三、三、利用函数图形的凹凸性，证明不等式：利
40、用函数图形的凹凸性，证明不等式：22yxyxeee )(yx .四、求曲线四、求曲线 2sin2cot2ayax的拐点的拐点.练练 习习 题题(三三)五、五、试证明曲线试证明曲线112 xxy有三个拐点位于同一直线有三个拐点位于同一直线上上.六、六、问问a及及b为何值时，点为何值时，点(1,3)(1,3)为曲线为曲线23bxaxy 的拐点？的拐点？七、七、试决定试决定22)3(xky中中k的值的值,使曲线的拐点处使曲线的拐点处的法线通过原点的法线通过原点.练习题练习题(三三)答案答案-224-1.5-1-0.50.5六六、29,23 ba.七七、82 k.第五题图第五题图 一、一、填空题：填空
41、题：1 1、曲线曲线xey1 的水平渐近线为的水平渐近线为_._.2 2、曲线曲线11 xy的水平渐近线为的水平渐近线为_，铅直渐近线为铅直渐近线为_._.二、二、描出下列函数的图形：描出下列函数的图形：1 1、xxy12 ；2 2、22)1(xxy；3 3、xysinln.三、求曲线三、求曲线xxy1 的渐近线并画图的渐近线并画图.练练 习习 题题（四（四)一一、1 1、1 y；2 2、1,0 xy.xy392311oxy1 321o3223 1图图2图图二、二、练习题练习题（四（四)答案答案xyo 3图图 2 3 2 三、三、.0;xxy铅直渐近线铅直渐近线斜渐近线斜渐近线xy1 o 1练习题练习题（四（四)答案答案
