1、上页上页下页下页返回返回1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算一、函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点三、连续函数的性质与四则运算三、连续函数的性质与四则运算上页上页下页下页返回返回一、函数的连续性一、函数的连续性函数的连续性描述函数的渐变性态函数的连续性描述函数的渐变性态,在通常在通常意义下，对函数连续性有两种描述：意义下，对函数连续性有两种描述：(1)当自变量有微小变化时，对应的函数当自变量有微小变化时，对应的函数值的变化也很微小；值的变化也很微小；(2)连续函数的图形是一条不间断的曲线连续函数的图形是一条不间断的曲线.xy1.6
2、1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回1.函数的增量函数的增量设函数设函数 在点在点 的某邻域内有定义，当的某邻域内有定义，当yf x()x0自变量自变量x在该邻域内在该邻域内从从 变化到变化到x时，对应的函时，对应的函x0数值从数值从 变到变到 称称 为为自变量的增量自变量的增量，f x0()f x(),xx0 记作记作 称称 为为函数的增量函数的增量，记作，记作x,f xf x0()()y.xyOxyO)(xfy 0 xxx 0 x y)(0 xf0 xxx 0)(xfy y)(0 xfx 1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的
3、连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回2.连续的定义连续的定义设函数设函数 在点在点 的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，yf x()x0定义定义1yf xxf x00()(),xy0lim0 若若则称函数则称函数 在在 点点连续连续，称，称yf x()x0 x0是是 的连续点的连续点.f x()定义定义2 设函数设函数 在点在点 的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，yf x()x0若若xxf xf x00lim()()则称函数则称函数 在在 点点连续连续.yf x()x0等价等价1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回 1.函数
4、在一点连续必须满足三个条件：函数在一点连续必须满足三个条件：)(lim0 xfxx(3)(0 xf)(lim0 xfxx(2)存在存在;f(x)在在内有定义内有定义;(1)U x0()2.函数在一点连续提供了求极限的简便方法函数在一点连续提供了求极限的简便方法1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算小结小结只需求出该点函数值即可只需求出该点函数值即可上页上页下页下页返回返回3.左、右连续左、右连续设函数设函数 在点在点 的的左邻域左邻域内有定义，内有定义，yf x()x0若若xxf xf x00lim()(),则称函数则称函数 在在 点点左连续左连续.yf x(
5、)x0设函数设函数 在点在点 的的右邻域右邻域内有定义，内有定义，yf x()x0若若xxf xf x00lim()(),则称函数则称函数 在在 点点右连续右连续.yf x()x01.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回0 x0 x右连续右连续xyOxyO左连续左连续定理定理1 1处处连连续续在在函函数数0)(xxf处既左连续处既左连续在在函数函数0)(xxf 此定理常用于此定理常用于判定分段函数在分段点判定分段函数在分段点.又又右右连连续续处的连续性处的连续性.1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页
6、上页下页下页返回返回例例1 1 ,1,1,1,)(2xxxxxf讨论函数讨论函数解解)(lim1xfx 2),1(f)(lim1xfx),1(f 右不连续右不连续.1)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf)1(lim1 xx1lim21 xx1)(xxf在在所以所以左连续左连续,1 x在在.1处的连续性处的连续性在在 xxyO11.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间),()(baCxf 如果函数如果函数 在开区间在开区间 内任一点连续，内任一点连续，),(ba)(xf则称函数则称函数 在
7、在开区间开区间 内内连续，连续，并称并称f x(),(ba),(ba是函数是函数 的的连续区间连续区间.)(xf如果函数如果函数 在在开区间开区间 内内连续，连续，且在且在f x(),(ba点处点处右连续右连续，在，在 点处点处左连续左连续，则，则xa xb 称函数称函数 在闭区间在闭区间 上上连续连续.)(xfa b,1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回例如例如,有理整式函数有理整式函数(多项式多项式)内是连续的内是连续的.因此因此有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数有理分式函数,),(0 x
8、nnxaxaaxP 10)(),()()(lim00 xPxPxx)()()(xQxPxR 只要只要,0)(0 xQ都有都有)()(lim00 xRxRxx 因此有理整式函数因此有理整式函数在在都是连续的都是连续的.1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回例例2.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),(x任取任取 y)2cos(2sin2xxx 1)2cos(xx),(sin xxy对对任任意意函函数数即即内内在区间在区间函数函数),(cos xy)sin(xx xsin 都是连续的都是连续的.类似可证类似可证
9、,连续连续.122 x x 由夹逼准则由夹逼准则0lim0 yx 22sinxx 1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回二、函数的间断点二、函数的间断点定义定义3处处在在若若0)(xxf出现如下三种情形之一出现如下三种情形之一:处处在点在点0)()1(xxf)(lim)2(0 xfxx)(lim)3(0 xfxx无定义无定义;不存在不存在;).(0 xf 间断点间断点.的的为为)(0 xfx称函数称函数 在在 处处不连续，不连续，)(xfx01.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回
10、间断点的类型间断点的类型:第二类第二类间断点间断点:第一类第一类间断点间断点:左极限及右极限左极限及右极限均存在均存在,左极限及右极限中至少一个不存在左极限及右极限中至少一个不存在.称称 为为可去间断点可去间断点.0 x若若称称 为为跳跃间断点跳跃间断点.0 x若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡,若其中有一个为若其中有一个为,称称 为为无穷间断点无穷间断点.0 x称称 为为振荡间断点振荡间断点.0 x若左、右极限若左、右极限相等相等，左、右极限左、右极限不相等不相等，的的为为)(0 xfx间断点间断点1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回
11、返回例如例如,1)(xxf 函数函数xxf1)(由于函数由于函数处处在在0)(xxf无定义无定义,0 x故故为为f(x)的的 间断点间断点,)(lim0 xfx)(lim0 xfx 且且第二类第二类且是无穷间断点且是无穷间断点.,xyO可能是连续点可能是连续点,分段函数的分段点分段函数的分段点可能是间断点可能是间断点,也也需要判定需要判定.注注1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回例例3讨论函数讨论函数xxf xx,0,()10,0,xyO10解解xxf xx00lim()lim0但但f(0)10,所以所以 为函数的间断点，为函数的间断
12、点，x0 且为第一类且为第一类可去可去间断点间断点.此时改变函数在此时改变函数在 点处的定义，令点处的定义，令x0 f(0)0 则函数在则函数在 点连续点连续.x0 在在 点处的连续性点处的连续性.x0 1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回1-1xyo例例4讨论函数讨论函数xf xx()的连续性的连续性.解解在在 点处无定义点处无定义.x0 函数函数xxxf xx00lim()lim1,xxxf xx00lim()lim1,xxf xf x00lim()lim(),所以所以 为函数的间断点，为函数的间断点，x0 且为第一类且为第一类跳
13、跃跳跃间断点间断点.1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回例例5.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x函数值在函数值在-1-1、1 1之间振荡，为振荡间断点之间振荡，为振荡间断点.1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回三、连续函数的性质与四则运算三、连续函数的性质与四则运算.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也
14、连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 定理定理21.四则运算的连续性四则运算的连续性例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx有限个连续函数经过有限次四则运算所得有限个连续函数经过有限次四则运算所得的函数在其定义域内都是连续的的函数在其定义域内都是连续的1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回2.反函数的连续性反函数的连续性单调的连续函数必有单调的连续反函数单调的连续函数必有单调的连续反函数.定理
15、定理3例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy.1,1arcsin上上也也是是单单调调增增加加且且连连续续在在故故 xy;1,1arccos上上单单调调减减少少且且连连续续在在同同理理 xy.cot,arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy),(反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回定理定理4 设函数设函数由函数由函数与函数与函数复合而成复合而成,yfx ()yf u()ux()3.复合函数的连续性复合函数的连续性若函数若函数 在在ux()
16、xx0 连续连续,，且函数，且函数 在在 连续，连续，yf u()uu0 ux 00()则复合函数则复合函数 在在 处连续处连续.fx ()xx0 xxxxfxfxfx000lim()()lim().求复合函数极限时极限运算可以与函数运算求复合函数极限时极限运算可以与函数运算交换次序！交换次序！由此可见由此可见1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回xxxx00lim()()当当时时,有有xxuu00()()对上述对上述由此当由此当xx 0时时,uu0 从而从而fxfx0()()f uf u0()(),uuf uf u00lim()(),
17、证证 0,0,当当时时,有有uu 0f uf u 0()()0,0,xx 0又又即即xxfxfx00lim()().1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回例例6.)1ln(lim0 xxx 求求.1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解例例7.1lim0 xexx 求求)1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 则则.0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim .1 注意求极限过程中变量替换的技巧！注意求极限过程中变量替换的技巧！1.6 1.6 函数的连续性与连续
18、函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回内容小结内容小结1.函数的连续性函数的连续性2.函数的间断点函数的间断点在一点连续的定义，必须满足的三个条件在一点连续的定义，必须满足的三个条件.无穷型无穷型,振荡型振荡型间断点分类间断点分类第一类间断点第一类间断点:跳跃型跳跃型可去型，可去型，第二类间断点第二类间断点:1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回可去型可去型第一类间断点第一类间断点跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点0 xxyOxyOxyO0 x内容小结内容小结1.6 1.6 函数的连续性
19、与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算xyO0 x上页上页下页下页返回返回内容小结内容小结3.函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算连续函数的和差积商的连续性；连续函数的和差积商的连续性；复合函数的连续性复合函数的连续性.反函数的连续性；反函数的连续性；1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算上页上页下页下页返回返回思考练习思考练习1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算的连续性的连续性.讨论函数讨论函数nnnnnxxxxxf 2lim)(1,1,0,10,111lim)(2222xxxxxxxfnnn解答提示解答提示上页上页下页下页返回返回1)(lim,1)(lim11 xfxfxx1)(lim,1)(lim11 xfxfxx1)(lim0 xfxx0 第一类可去间断点第一类可去间断点x1 第一类跳跃间断点第一类跳跃间断点)(,),1(),1,0(),0,1(),1,(连续连续.上上在在xf 思考练习思考练习1.6 1.6 函数的连续性与连续函数的运算函数的连续性与连续函数的运算
