1、 分形几何学分形几何学1 一、什么是分形几何学一、什么是分形几何学二、谁创立了分形几何学？二、谁创立了分形几何学？三、分形几何的产生三、分形几何的产生四、分形艺术四、分形艺术五、分形几何学的应用五、分形几何学的应用六、数学、分形与龙六、数学、分形与龙2 双鱼双鱼螃蟹螃蟹眼睛眼睛3 我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。等等，都表现了客观世
2、界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。结构的新方法。4 普通几何学研究的对象，一般都具有普通几何学研究的对象，一般都具有整数整数的维数。比如，零维的点、一维的维数。比如，零维
3、的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。但是现实生活中象弯弯曲曲的的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。但是现实生活中象弯弯曲曲的海岸线这些对象就不能用传统欧几里德几何学的整数维描述或者说测量了。要描海岸线这些对象就不能用传统欧几里德几何学的整数维描述或者说测量了。要描述这一大类复杂无规的几何对象，就引入了分形理论，把维数视为述这一大类复杂无规的几何对象，就引入了分形理论，把维数视为分数维数分数维数。这。这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。5 分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层分形几何学的
4、基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一块磁例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次层次结构结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。一、什么是分形几何学 通俗一点说就是研究无限复杂但具有
5、一定意义下的通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构自相似图形和结构的几何学。的几何学。又如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上又如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状几何形状上称之为自相上称之为自相似关系；似关系；一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，无论怎样放大
6、其局部，它都的全部生长信息；还有高山的表面，无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。6 分形分形几何几何具有五个基本特征或性质：具有五个基本特征或性质：形态的不规则性；形态的不规则性；结构的精细性结构的精细性 局部与整体的自相似性局部与整体的自相似性 维数的非整数性维数的非整数性 生成的迭代性生成的迭代性。7 分形理论认为维数可以是分数，这类维数是物理学家在分形理论认为维数可以是分数，这类维数是物
7、理学家在研究混沌吸引子等理论时引入的重要概念。为了定量地描述研究混沌吸引子等理论时引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的客观事物的“非规则非规则”程度，程度，19191919年，数学家从测度的角度年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。般拓扑集维数为整数的界限。维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念。概念。当我们画一根直线，如果我们用当我们画一根直线，如果我们用 0 0维的点来量它，其结果为维的点来量它，其结果为
8、无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是它，其结果是 0 0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为它才会得到有限值，而这里直线的维数为 1 1。8 又如要测量又如要测量“寇赫岛寇赫岛”曲线，其整体是一条无限长的线折叠而曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是成，用小直线段量
9、，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是 0 0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与“寇赫岛寇赫岛”曲曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于 1 1、小于、小于 2 2，那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算，那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算“寇赫岛寇赫岛”曲线的维数是曲线的维数是1.26181.2618。法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用。他在形几何产生了重大的推动作用。
10、他在19751975、19771977和和19821982年先后年先后用法文和英文出版了三本书，特别是用法文和英文出版了三本书，特别是分形分形形、机遇和维形、机遇和维数数FractalsFractals：FormForm，Chance and DimensionChance and Dimension以及以及自然界中自然界中的分形几何学的分形几何学“The Fractal Geometry of NatureThe Fractal Geometry of Nature，开创了，开创了新的数学分支新的数学分支分形几何学。分形几何学。9 分形几何与传统几何相比有什么特点：分形几何与传统几何相比有什
11、么特点：从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。是极不规则的。在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随机不完全是自相
12、似的。其中一些是用来描述一般随机现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。10 分形几何图形分形几何图形 自然界中有许多分形的例子，如雪花、植物的枝条分叉、海岸线自然界中有许多分形的例子，如雪花、植物的枝条分叉、海岸线等。在数学中，历史上也构造了许多分形模型，如等。在数学中，历史上也构造了许多分形模型，如KochKoch曲线、曲线、weierstrassweierstrass函数等。它们共同的特点是函数等。它们共同的特点是处处连续但处处不可处处连续但处处不可微，即曲线处处是不光滑的，总有无穷的细节在里面；微，即曲线处处是不光滑的，总有无穷的细节
13、在里面；具有自具有自相似性或统计自相似性，即在不同的标度下，它们的形状是相似相似性或统计自相似性，即在不同的标度下，它们的形状是相似的，不可区分的；的，不可区分的；刻划它们的维数不是整数，而是分数。刻划它们的维数不是整数，而是分数。这是这是因为，这类曲线都有无穷的细节，所以用因为，这类曲线都有无穷的细节，所以用1 1维的直线来测量它，维的直线来测量它，其值为无穷大，然而它们又没有填满一个有限的平面，所以其维其值为无穷大，然而它们又没有填满一个有限的平面，所以其维数又不能等于数又不能等于2 2，因此，要想得到一个有限的长度，它的测量维，因此，要想得到一个有限的长度，它的测量维数必定在数必定在1
14、1和和2 2之间。之间。11 4级级Koch曲线曲线 3级级Koch曲线曲线 Koch雪花雪花 Koch曲线的曲线的维数是维数是1.2618 12 二、谁创立了分形几何学？二、谁创立了分形几何学？19731973年，曼德尔勃罗特（年，曼德尔勃罗特（B.B.MandelbrotB.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（FractalFractal）一词，）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非
15、规则几何形态为研究对象的几何学。分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。MandelbrotMandelbrot研究中最精彩的部分是研究中最精彩的部分是19801980年他发现的并以他的名字年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图的结构（见图1 1）。）。分形的创立也是基于一个巧合，颇似当年哥伦布发现美洲分形的创立也是基于一个巧合，颇似当年哥伦布发现美洲新大陆的意外收获。分形的创立者曼得勃罗特原先是为了解决新大陆的意外收获。分形的创立者曼得勃罗特原先是为了解决电话电路的噪声等实
16、际问题，结果却发现了几何学的一个新领电话电路的噪声等实际问题，结果却发现了几何学的一个新领域。海岸线具有自相似性，曼得勃罗特就是在研究海岸线时创域。海岸线具有自相似性，曼得勃罗特就是在研究海岸线时创立了分形几何学。几何对象的一个局部放大后与其整体相似。立了分形几何学。几何对象的一个局部放大后与其整体相似。部分的某种形式与整体相似的形状就叫做分形。部分的某种形式与整体相似的形状就叫做分形。13 Mandelbrot Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，可以无限地放大它的边界。如果计算机的精度
17、是不受限制的话，可以无限地放大它的边界。图图2 2、图、图3 3 就是将图就是将图1 1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如“蜿蜒曲折的一段海岸线蜿蜒曲折的一段海岸线”，无论怎样放大它的局部，它总是曲，无论怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是很少见的。所以说，们的生活中是很少见的。所以说，MandelbrotMandelbrot集合是向
18、传统几何集合是向传统几何学的挑战。学的挑战。图1 图2 图314 FractalFractal（分形）一词的由来（分形）一词的由来据曼德勃罗教授自己说，据曼德勃罗教授自己说，fractalfractal一词是一词是19751975年夏天的一个寂年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词然想到的。此词源于拉丁文形容词fractusfractus，对应的拉丁文动，对应的拉丁文动词是词是frangerefrangere（“破碎破碎”、“产生无规碎片产生无规碎片”）。此外与英）。此外与英文的文的f
19、ractionfraction（“碎片碎片”、“分数分数”）及）及fragmentfragment（“碎碎片片”）具有相同的词根。在）具有相同的词根。在7070年代中期以前，曼德勃罗一直年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文使用英文fractionalfractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的丁词之头，撷英文之尾的fractalfractal，本意是不规则的、破碎的、，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几
20、何对象。例如，弯几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。直观而粗略地说，这些对象都是分形。15 第一组第一组 随意的线条随意的线条16 第二组 别样的对称17 分形几何的创立，以美籍法国数学家曼德尔布分形几何的创立，以美籍法国数学家曼德尔布罗
21、特（罗特（B.B.MandelbrotB.B.Mandelbrot）19751975年发表的年发表的分形：分形：形、机遇和维数形、机遇和维数为标志，但形成分形几何思想为标志，但形成分形几何思想的根源却可上溯一个世纪的根源却可上溯一个世纪.19.19世纪后半叶起，数世纪后半叶起，数学家们在研究函数的连续性时构造出一类不符合学家们在研究函数的连续性时构造出一类不符合人们传统观念的集合，德国数学家维尔斯特拉斯人们传统观念的集合，德国数学家维尔斯特拉斯（K.WeierstrassK.Weierstrass）18721872年构造的以他的名字命名年构造的以他的名字命名的函数是这类集合的第一例的函数是这类
22、集合的第一例.它的图象处处连续它的图象处处连续但处处无切线（如图）但处处无切线（如图）,引起当时数学界的震惊引起当时数学界的震惊.孰不料在此后的半个世纪里，数学家们接二连三孰不料在此后的半个世纪里，数学家们接二连三地构造出一批这样的集合，它们的形状与性质和地构造出一批这样的集合，它们的形状与性质和传统的几何对象大相径庭传统的几何对象大相径庭.被人们称为被人们称为“反直觉反直觉的的”，“病态病态”的的“数学怪物数学怪物”.令人惊奇的是，令人惊奇的是，这些如今被称为分形的复杂图形却往往由非常简这些如今被称为分形的复杂图形却往往由非常简单的规则，经反复迭代生成单的规则，经反复迭代生成.三、分形几何的
23、产生三、分形几何的产生18 康托尔三分集康托尔三分集18831883年，德国数学家康托尔年，德国数学家康托尔(G.Cantor(G.Cantor)构造了一个奇异集合：构造了一个奇异集合：取一条长度为取一条长度为1 1的直线段的直线段E E0 0，将它三等分，去掉中间一段，剩下，将它三等分，去掉中间一段，剩下两段记为两段记为E1E1，将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段记为剩下更短的四段记为E2E2，将这样的操作一直继续下去，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，得到一个离散的点集直至无穷，得到一个离散的点集F F（图），称为康托尔三分
24、集（图），称为康托尔三分集.在康托尔三分集的构造过程中，如果每一步都用掷骰子的方法在康托尔三分集的构造过程中，如果每一步都用掷骰子的方法来决定去掉被分成的三段中的哪一段，或来选择子区间的长度，来决定去掉被分成的三段中的哪一段，或来选择子区间的长度，就会得到很不规则的随机康托尔集（如图），它被当时在美国就会得到很不规则的随机康托尔集（如图），它被当时在美国IBMIBM公司任职的曼德尔布罗特用作描述通讯线路中噪声分布的公司任职的曼德尔布罗特用作描述通讯线路中噪声分布的数学模型，如今在现代非线性动力学的理论研究中有重要地位数学模型，如今在现代非线性动力学的理论研究中有重要地位.随机康托尔集都是随机分
25、形，著名的随机分形还有布朗随机康托尔集都是随机分形，著名的随机分形还有布朗（R.BrownR.Brown）粒子运动的轨迹）粒子运动的轨迹 19 （2）Sierpinski地毯：地毯：三分康托尔集等数学怪物的出现，使相当一部分传统数学三分康托尔集等数学怪物的出现，使相当一部分传统数学家感到家感到“直觉的危机直觉的危机”的同时，也引起了一些数学家的兴的同时，也引起了一些数学家的兴趣趣.19151916.19151916年，波兰数学家谢尔宾斯基年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski(W.Sierpinski)将三将三分康托尔集的构造思想推广到二维平面，构造出谢尔宾斯基分康托尔集的构造思想
26、推广到二维平面，构造出谢尔宾斯基 “垫片垫片”：设：设E E0 0是边长为是边长为1 1的等边三角形区域，将它均分成四个的等边三角形区域，将它均分成四个小等边三角形，去掉中间一个得小等边三角形，去掉中间一个得E1E1，对，对E1E1的每个小等边三角形的每个小等边三角形进行相同的操作得进行相同的操作得E2E2，这样的操作不断继续下去直到无，这样的操作不断继续下去直到无穷，所得图形穷，所得图形F F称为谢尔宾斯基称为谢尔宾斯基“垫片垫片”（图）（图）.它被用作超导它被用作超导现象和非晶态物质的模型现象和非晶态物质的模型 将类似的操作施以正方形区域（与前面不同的是这里将将类似的操作施以正方形区域（与
27、前面不同的是这里将正方形九等分）所得图形正方形九等分）所得图形F F称为谢尔宾斯基称为谢尔宾斯基“地毯地毯”.20 （3）Menger海绵：海绵：数学家门杰（数学家门杰（K.MengerK.Menger）从表面上看，从表面上看，海绵立方块是海绵立方块是:一个立方体，是三维的，但它是以某一构一个立方体，是三维的，但它是以某一构造为基础而规则形成的许多孔洞的高度无序结构。在一定造为基础而规则形成的许多孔洞的高度无序结构。在一定压力下它能压实在一个平面上，这时就是压力下它能压实在一个平面上，这时就是2维的。这说明维的。这说明表观看上去充实的立方体实际上是部分充实的表观看上去充实的立方体实际上是部分充
28、实的3维结构，维结构，其真实维数大于其真实维数大于2.0而小于而小于3.0。所以可以说经典几何的整。所以可以说经典几何的整数维数只能反映物体的表观现象，而分形维数能刻画物体数维数只能反映物体的表观现象，而分形维数能刻画物体的内在特性。的内在特性。（19991999年以前除年以前除 加加 凯依著凯依著分形漫步分形漫步外的大部分分形论著中，均称之为谢尔宾斯基海绵，曼德外的大部分分形论著中，均称之为谢尔宾斯基海绵，曼德尔布罗特在尔布罗特在大自然的几何学大自然的几何学19981998年最新修订版中对此年最新修订版中对此加以了更正，并特别予以说明加以了更正，并特别予以说明.）.这种这种“百孔千窗百孔千窗
29、”，“有皮没有肉有皮没有肉”的结构表面积无穷大，是化学反应中催化的结构表面积无穷大，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型剂或阻化剂最理想的结构模型.21 （4 4）曼德勃罗特集：）曼德勃罗特集：它的数学模型非常简单。它的数学模型非常简单。连续放大连续放大MandelbrotMandelbrot集合局部可以制作精美的集合局部可以制作精美的GIFGIF动画，放大过程所呈现的无穷玄机和美感引发人们动画，放大过程所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。取其局部进行放大，可以看到它的精细结去探索。取其局部进行放大，可以看到它的精细结构及其自相似性质，放大可以无限地进行下去。构及其自相似性质，放大可以
30、无限地进行下去。MandelbrotMandelbrot集合局部放大过程精彩地描述了分形集合局部放大过程精彩地描述了分形的性质，描述了自然界的本质，可以说分形几何是的性质，描述了自然界的本质，可以说分形几何是真正描述大自然的几何学。真正描述大自然的几何学。22 分形几何体现了复杂与简单的统一：分形几何体现了复杂与简单的统一：分形几何的主要价值在于它在极端有序和真正混沌之间提分形几何的主要价值在于它在极端有序和真正混沌之间提供了一种可能性。分形最显著的性质是：本来看来十分复杂的供了一种可能性。分形最显著的性质是：本来看来十分复杂的事物，事实上大多数均可用仅含很少参数的简单公式来描述。事物，事实上
31、大多数均可用仅含很少参数的简单公式来描述。其实简单并不简单，它蕴含着复杂。其实简单并不简单，它蕴含着复杂。分形几何中的迭代法为我分形几何中的迭代法为我们提供了认识简单与复杂的辩证关系的生动例子。分形高度复们提供了认识简单与复杂的辩证关系的生动例子。分形高度复杂，又特别简单。杂，又特别简单。无穷精致的细节和独特的数学特征（没有两无穷精致的细节和独特的数学特征（没有两个分形是一样的）是分形的复杂性一面。连续不断的，从大尺个分形是一样的）是分形的复杂性一面。连续不断的，从大尺度到小尺度的自我复制及迭代操作生成，又是分形简单的一面度到小尺度的自我复制及迭代操作生成，又是分形简单的一面.天才的猜想天才的
32、猜想迭代函数法：迭代函数法：动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集，它的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。分形体具有们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。分形体具有局部与整体的自相似性，对于有规分形，自相似性只存在于一局部与整体的自相似性，对于有规分形，自相似性只存在于一定的范围内或在一定的标度空间中，复杂的分形图不能用传统定的范围内或在一定的标度空间中，复杂的分形图不能用传统数学方法描述，但却能用简单的迭代法生成，
33、可以应用迭代函数学方法描述，但却能用简单的迭代法生成，可以应用迭代函数系统生成诸如植物，丛林，山川，烟云等复杂的自然景物。数系统生成诸如植物，丛林，山川，烟云等复杂的自然景物。23 客观自然界中许多事物，具有自相似的客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次层次”结构结构。在理。在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。这类层次结构的分形几何学。客观事物有它自己的特征长度客观事物有它自己的特征长度。
34、要用恰当的尺度去测量。要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺度，嫌太长。从而产生了特征长度。还有的事物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做这叫做“无标度性无标度性”的问题。的问题。24 如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是
35、十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性无标度性”解决解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长？这个问题这依赖于测量时所中探讨了英国的海岸线有多长？这个问
36、题这依赖于测量时所使用的尺度。使用的尺度。25 英国的海岸线英国的海岸线如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起
37、来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的存在着可以变化许多个数量级的“无标度无标度”区，长度不是海区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。岸线的定量特征，就要用分维。26 数学家寇赫从一个正方形的数学家寇赫从一个正方形的“岛岛”出发，始终保持面积不变，把出发，始终保持面积不变，把它的它的“海岸线海岸线”变
38、成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维才是穷大。以后可以看到，分维才是“寇赫岛寇赫岛”海岸线的确切特征量，海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于即海岸线的分维均介于1 1到到2 2之间。之间。这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象。这些中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象。这些促使数学家
39、进一步的研究，从而产生了分形几何学。促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。这座具电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。这座具有无穷层次结构的宏伟建筑，每一个角落里都存在无限嵌套的有无穷层次结构的宏伟建筑，每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊，促使数学家和科学家深入研究。迷宫和回廊，促使数学家和科学家深入研究。27 四、分形艺术四、分形艺术 用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成一幅用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成一幅幅精美的艺术图案，这些艺术图案人们称之为幅精美的艺术图案，这些艺术图案人们称之为 分形
40、艺术分形艺术。分形分形艺术艺术 以一种全新的艺术风格展示给人们，使人们认识到该艺术和以一种全新的艺术风格展示给人们，使人们认识到该艺术和传统艺术一样具有和谐、对称等特征的美学标准。传统艺术一样具有和谐、对称等特征的美学标准。这里值得一提这里值得一提的是对称特征，的是对称特征，分形的对称性即表现了传统几何的上下、左右及分形的对称性即表现了传统几何的上下、左右及中心对称。中心对称。同时她的自相似性又揭示了一种新的对称性，即画面同时她的自相似性又揭示了一种新的对称性，即画面的局部与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。的局部与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。这种这种对称不同于欧几里
41、德几何的对称，而是大小比例的对称，即系统对称不同于欧几里德几何的对称，而是大小比例的对称，即系统中的每一元素都反映和含有整个系统的性质和信息。这一点与上中的每一元素都反映和含有整个系统的性质和信息。这一点与上面所讲的例子：面所讲的例子：一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息的全部生长信息，完全吻合。不管你是从科学的观点看还是从美，完全吻合。不管你是从科学的观点看还是从美学的观点看，她都是那么富有哲理，她是科学上的美和美学上的学的观点看，她都是那么富有哲理，她是科学上的美和美学上的美的有机结合。美的有机结合。28 Newton/Nova
42、 Newton/Nova 分形分形 Newton Newton奠定了经典力学、光学和微积分学的基础。但是除了创奠定了经典力学、光学和微积分学的基础。但是除了创造这些自然科学的基础学科外，他还建立了一些方法，这些方法造这些自然科学的基础学科外，他还建立了一些方法，这些方法虽然比不上整个学科那么有名，但已被证明直到今天还是非常有虽然比不上整个学科那么有名，但已被证明直到今天还是非常有价值的。例如，牛顿建议用一个逼近方法求解一个方程的根。你价值的。例如，牛顿建议用一个逼近方法求解一个方程的根。你猜测一个初始点，然后使用函数的一阶导数，用切线逐渐逼近方猜测一个初始点，然后使用函数的一阶导数，用切线逐渐
43、逼近方程的根。如方程程的根。如方程 Z Z6 6+1=0+1=0有六个根，用牛顿的方法有六个根，用牛顿的方法 猜测猜测 复平复平面上各点最后趋向方程的那一个根，你就可以得到一个怪异的分面上各点最后趋向方程的那一个根，你就可以得到一个怪异的分形图形。和平常的形图形。和平常的JuliaJulia分形一样，你能永远放大下去，并有自相分形一样，你能永远放大下去，并有自相似性。似性。牛顿分形图形中的颜色显示每个答案的种类及性质，即迭牛顿分形图形中的颜色显示每个答案的种类及性质，即迭代到目的地花费的时间，如图代到目的地花费的时间，如图 29 Paul DerbyshirePaul Derbyshire研究
44、牛顿分形图形时，他把研究牛顿分形图形时，他把JuliaJulia集合的常集合的常值值C C加入进去改变了一下算法，并用同样的方法去估算加入进去改变了一下算法，并用同样的方法去估算Z Z，逼，逼近答案，产生奇特的并称之为近答案，产生奇特的并称之为NovaNova的分形图形。的分形图形。NovaNova类类型分形图形如图所示型分形图形如图所示 30 关于分形艺术的争论把计算机产生的图形看成是艺术，有人可能要关于分形艺术的争论把计算机产生的图形看成是艺术，有人可能要提出一些疑问。这些图形可以利用高品质的打印机产生任意多幅同提出一些疑问。这些图形可以利用高品质的打印机产生任意多幅同样质量的样质量的 原
45、作原作，从而在商业化的艺术市场上造成混乱，因此她没，从而在商业化的艺术市场上造成混乱，因此她没有收藏价值，没有收藏价值的作品还能算得上是艺术吗？这是一个有收藏价值，没有收藏价值的作品还能算得上是艺术吗？这是一个十分敏感的问题。早在六十年代初有些数学家和程序设计人员就开十分敏感的问题。早在六十年代初有些数学家和程序设计人员就开始利用计算机及绘图设备从事这方面的工作。但他们大部分人避免始利用计算机及绘图设备从事这方面的工作。但他们大部分人避免将自己的工作与将自己的工作与 艺术艺术 一词挂起钩来，以免与艺术界的人们发生冲一词挂起钩来，以免与艺术界的人们发生冲突。但是有一些人还是挺着腰杆去面对批评，承
46、认计算机是视觉艺突。但是有一些人还是挺着腰杆去面对批评，承认计算机是视觉艺术的一种新工具，称他们自己的方法为术的一种新工具，称他们自己的方法为 计算机艺术计算机艺术。在批评面前，。在批评面前，他们没有受到影响。他们不顾理论界的反对而继续自己的探索。他他们没有受到影响。他们不顾理论界的反对而继续自己的探索。他们积累了大量令人难忘的成果。正因为他们的努力才出现了今天的们积累了大量令人难忘的成果。正因为他们的努力才出现了今天的PhotoShopPhotoShop、Corel DRAWCorel DRAW等等著名的软件，等等著名的软件，以及各种计算机艺术团以及各种计算机艺术团体组织。体组织。Photo
47、ShopPhotoShop也成了某些美术专业学生的必修课。当今时代也成了某些美术专业学生的必修课。当今时代出现的充满科技含量的出现的充满科技含量的 分形艺术分形艺术 又不同于运用又不同于运用PhotoShopPhotoShop从事的从事的计算机艺术创作。计算机艺术创作。31 分形艺术分形艺术 是纯数学产物，是否能算得上艺术必然会引起新的争论。是纯数学产物，是否能算得上艺术必然会引起新的争论。争论最活跃的问题是：分形图形是纯数学产物能算得上艺术吗？既争论最活跃的问题是：分形图形是纯数学产物能算得上艺术吗？既然学习数学和程序设计就可以从事艺术创作了，学习美术专业还有然学习数学和程序设计就可以从事艺
48、术创作了，学习美术专业还有什么用处呢？这个问题提的好。从事分形艺术创作的人要研究产生什么用处呢？这个问题提的好。从事分形艺术创作的人要研究产生这些图形的数学算法，这些算法产生的图形是无限的。他们没有结这些图形的数学算法，这些算法产生的图形是无限的。他们没有结束，你永远不能看见它的全部。你不断放大她们的局部，也许你可束，你永远不能看见它的全部。你不断放大她们的局部，也许你可能正在发现前人没曾见到过的图案。这些图案可能是非常精彩的。能正在发现前人没曾见到过的图案。这些图案可能是非常精彩的。她们与现实世界相符合，从浩瀚广阔的宇宙空间到极精致的细节，她们与现实世界相符合，从浩瀚广阔的宇宙空间到极精致的
49、细节，是完全可以用数学结构来描述的。另一个的问题是颜色，好的颜色是完全可以用数学结构来描述的。另一个的问题是颜色，好的颜色选择，就可以得到一幅奇妙的图形。糟糕的选择，你得到的就是垃选择，就可以得到一幅奇妙的图形。糟糕的选择，你得到的就是垃圾。所以说，创造分形艺术，最好再学一点绘画基础、色彩学等，圾。所以说，创造分形艺术，最好再学一点绘画基础、色彩学等，那将是大有益处。分形几何冲击着不同的学术领域，她在艺术领域那将是大有益处。分形几何冲击着不同的学术领域，她在艺术领域显示出非凡的作用。创作精美的分形艺术是国内外分形艺术家们的显示出非凡的作用。创作精美的分形艺术是国内外分形艺术家们的人生追求。人生
50、追求。32 五、分形几何学的应用五、分形几何学的应用由于分形能够用递推函数加以描述，所以用计算机生成的分形十由于分形能够用递推函数加以描述，所以用计算机生成的分形十分理想。特别是迭代函数系统具有很高的压缩比，可达分理想。特别是迭代函数系统具有很高的压缩比，可达1 1：10001000，在图象及通讯方面具有广阔的应用。像电影在图象及通讯方面具有广阔的应用。像电影星际旅行星际旅行：可汗：可汗的愤怒的愤怒中新行星的诞生以及中新行星的诞生以及吉地的返回吉地的返回中行星在空间飘浮中行星在空间飘浮等壮观的场面，就是由彼克沙公司在一台计算机上完成的。由计等壮观的场面，就是由彼克沙公司在一台计算机上完成的。由
