1、利用空间向量求角和距利用空间向量求角和距离离课标要求课标要求素养达成素养达成1.1.理解直线与平面所成角和点到平理解直线与平面所成角和点到平面的距离的概念面的距离的概念.2.2.能够利用向量方法解决线线、线能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题及各种空面、面面的夹角问题及各种空 间距离间距离.3.3.体会空间向量解决立体几何问题体会空间向量解决立体几何问题的三步曲的三步曲.通过对命题的学习通过对命题的学习,使学生养成分使学生养成分析问题解决问题的能力析问题解决问题的能力,提升了学提升了学生的辨析能力生的辨析能力.新知探求新知探求 素养养成素养养成知识点一知识点一 空间角与向量的关系空间
2、角与向量的关系问题问题1 1:(1):(1)如图如图(1)(1)所示所示,直线直线l l与平面与平面相交相交,所成的角为所成的角为,直线的方向向直线的方向向量为量为a a,平面的法向量为平面的法向量为n n,在图在图(1)(1)中中,角角与与 角有什么关系角有什么关系?(2)(2)如图如图(2)(2)所示所示,平面平面=l,=l,平面平面的法向量为的法向量为m m,平面平面的法向量为的法向量为n n.在图在图(2)(2)中中,两平面所成的二面角与法向量两平面所成的二面角与法向量m,nm,n所成的角之间具有怎样所成的角之间具有怎样 的关系的关系?答案答案:(1)(1)两角互余两角互余,即即+=9
3、0+=90.(2).(2)互补互补.梳理梳理空间角与向量的关系空间角与向量的关系角角特征、描述特征、描述与向量的关系与向量的关系线线角线线角两异面直线所成的角是平移后相应两两异面直线所成的角是平移后相应两相交直线所成的角相交直线所成的角,其范围是其范围是 .两异面直线所成的角为两异面直线所成的角为,它们它们的方向向量为的方向向量为a a,b b,则则cos=cos=|cos|cos|=|=.线面角线面角直线与平面所成的角范围是直线与平面所成的角范围是0,0,若直线若直线l l的方向向量为的方向向量为a,平面平面的的法向量为法向量为n,则则l l与与所成的角就是所成的角就是向量向量 的余角或其补
4、角的余角的余角或其补角的余角二面角二面角二面角的大小二面角的大小,可以通过其平面角可以通过其平面角来度量来度量,其范围是其范围是 .(1)(1)在两个半平面内分别与棱垂直在两个半平面内分别与棱垂直的两向量的夹角的两向量的夹角(或补角或补角)即为二面即为二面角的大小角的大小;(2)(2)两个半平面的法向量的夹角两个半平面的法向量的夹角(或或补角补角)即为二面角的大小即为二面角的大小0,0,知识点二知识点二 空间距离与向量的关系空间距离与向量的关系问题问题2:2:如图所示如图所示,直线直线ABAB与平面与平面相交于点相交于点A,BOA,BO平面平面,垂足为垂足为O.O.在图中在图中,如何借助法向量
5、求如何借助法向量求B B点到平面点到平面的距离的距离BOBO的长的长?梳理梳理空间距离与向量的关系空间距离与向量的关系 题型一题型一 求异面直线所成的角求异面直线所成的角课堂探究课堂探究 素养提升素养提升【例【例1 1】正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分别是分别是A A1 1D D1 1,A,A1 1C C1 1的中点的中点.求异面直线求异面直线AEAE与与CFCF所成角的余弦值所成角的余弦值.解解:不妨设正方体棱长为不妨设正方体棱长为2,2,分别以分别以DA,DC,DDDA,DC,DD1 1所在直线为所在直线为x x轴、轴、y
6、 y轴、轴、z z轴建立如图所示空间轴建立如图所示空间直角坐标系直角坐标系,则则A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2),一题多变一题多变:将题目中的点将题目中的点F F改为改为“ABAB的中点的中点”,求异面直线求异面直线AEAE与与C C1 1F F所成角的余弦值所成角的余弦值.方法技巧方法技巧 (1)(1)用基向量法求异面直线的夹角的方法用基向量法求异面直线的夹角的方法作空间几何体的图形作空间几何体的图形,并找出基底并找出基底;用基底表示两异面直线的方向向量用基底表示两异面直线的方向向量
7、;利用公式利用公式coscos=,=,求出两直线的方向向量的夹角求出两直线的方向向量的夹角;结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角.(2)(2)用坐标法求异面直线的夹角的方法用坐标法求异面直线的夹角的方法建立恰当的空间直角坐标系建立恰当的空间直角坐标系;找到两条异面直线的方向向量的坐标形式找到两条异面直线的方向向量的坐标形式;利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角;结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角.【备用例【备用例1 1】在四棱锥在四棱锥P
8、-ABCDP-ABCD中中,PD,PD平面平面ABCD,PAABCD,PA与平面与平面ABCDABCD所成的角为所成的角为6060.在四边形在四边形ABCDABCD中中,ADC=DAB=90,ADC=DAB=90,AB=4,CD=1,AD=2.,AB=4,CD=1,AD=2.(1)(1)建立适当的坐标系建立适当的坐标系,并写出点并写出点B,PB,P的坐标的坐标;解解:(1)(1)以以D D为坐标原点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.Dxyz.因为因为ADC=DAB=90ADC=DAB=90,AB=4,AD=2.,AB=4,AD=2.所以所以B(2,4
9、,0).B(2,4,0).由由PDPD平面平面ABCD,ABCD,得得PADPAD为为PAPA与平面与平面ABCDABCD所成的角所成的角,所以所以PAD=60PAD=60.在在RtRtPADPAD中中,由由AD=2,AD=2,得得PD=.PD=.所以所以P(0,0,).P(0,0,).(2)(2)求异面直线求异面直线PAPA与与BCBC所成的角的余弦值所成的角的余弦值.题型二题型二 求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角【例【例2 2】(20182018镇江高二期中镇江高二期中)如图如图,在棱长为在棱长为3 3的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1
10、1中中,A,A1 1E=CF=1.E=CF=1.(1)(1)求两条异面直线求两条异面直线ACAC1 1与与D D1 1E E所成角的余弦值所成角的余弦值;(2)(2)求直线求直线ACAC1 1与平面与平面BEDBED1 1F F所成角的正弦值所成角的正弦值.方法技巧方法技巧 利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤(1)(1)建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系;(2)(2)求直线的方向向量求直线的方向向量 ;(3)(3)求平面的法向量求平面的法向量n n;(4)(4)计算计算:设线面角为设线面角为,则则sin=.sin=.即时训练即时训练2-1:2-1:(20
11、172017启东市高二期末启东市高二期末)如图如图,在三棱锥在三棱锥P-ABCP-ABC中中,PA,PA底面底面ABC,PA=AB,ABC=60ABC,PA=AB,ABC=60,BCA=90,BCA=90,点点D D为棱为棱PBPB的中点的中点,求求ADAD与平面与平面PACPAC所成所成角的正弦值角的正弦值.【备用例【备用例2 2】(20182018南昌高二期末南昌高二期末)如图如图,在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,PD,PD平面平面ABCD,ADBC,BAD=90ABCD,ADBC,BAD=90,CD=13,AB=12,BC=10,AD=5,PD=8,CD=13,AB=12,
12、BC=10,AD=5,PD=8,点点E,FE,F分别是分别是 PB,DCPB,DC的中点的中点.(1)(1)求证求证:EF:EF平面平面PAD;PAD;解解:取取CBCB的中点的中点G,G,连接连接DG,DG,因为因为ADBGADBG且且AD=BG,AD=BG,所以四边形所以四边形ABGDABGD为平行四为平行四边形边形,所以所以DG=AB=12,DG=AB=12,又因为又因为ABAD,ABAD,所以所以DGAD,DGAD,又又PDPD平面平面ABCD,ABCD,故以点故以点D D为原点建立如图所示的空间直角坐标系为原点建立如图所示的空间直角坐标系.因为因为BC=10,AD=5,PD=8,BC
13、=10,AD=5,PD=8,所以有所以有D(0,0,0),P(0,0,8),B(12,5,0),D(0,0,0),P(0,0,8),B(12,5,0),C(12,-5,0),G(12,0,0).C(12,-5,0),G(12,0,0).因为因为E,FE,F分别是分别是PB,DCPB,DC的中点的中点,所以所以E(6,2.5,4),F(6,-2.5,0).E(6,2.5,4),F(6,-2.5,0).(2)(2)求求EFEF与平面与平面PDBPDB所成角的正弦值所成角的正弦值.题型三题型三 二面角的求法二面角的求法【例【例3 3】(20172017上饶高二期中上饶高二期中)如图如图,ABCD,A
14、BCD是边长为是边长为3 3的正方形的正方形,DE,DE平面平面ABCD,AFDE,DE=3AF,BEABCD,AFDE,DE=3AF,BE与平面与平面ABCDABCD所成角为所成角为6060.(1)(1)证明证明:因为因为DEDE平面平面ABCD,ABCD,所以所以DEAC.DEAC.因为四边形因为四边形ABCDABCD是正方形是正方形,所以所以ACBD,DEBD=D.ACBD,DEBD=D.从而从而ACAC平面平面BDE.BDE.(1)(1)求证求证:AC:AC平面平面BDE;BDE;(2)(2)求二面角求二面角F-BE-DF-BE-D的余弦值的余弦值.方法技巧方法技巧 用向量法求二面角的
15、大小的求解步骤用向量法求二面角的大小的求解步骤:(1)(1)建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系;(2)(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量;(3)(3)求两个法向量的夹角求两个法向量的夹角;(4)(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角;(5)(5)确定二面角的大小确定二面角的大小.即时训练即时训练3-1:3-1:如图如图,长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AD=AA,AD=AA1 1=1,AB=2,=1,AB=2,点点E E是是ABAB的中点的中点.
16、(1)(1)求证求证:B:B1 1CC平面平面AEDAED1 1;(1)(1)证明证明:如图如图,因为因为ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1为长方体为长方体,以以D D为坐标原点为坐标原点,DA,DA为为x x轴的正半轴轴的正半轴,DCDC为为y y轴的正半轴轴的正半轴,DD,DD1 1为为z z轴的正半轴轴的正半轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,由题知由题知,A(1,0,0),A(1,0,0),E(1,1,0),DE(1,1,0),D1 1(0,0,1),C(0,2,0),B(0,0,1),C(0,2,0),B1 1(1,2,1),(1,2,1),(2
17、)(2)求二面角求二面角A-DA-D1 1E-CE-C的大小的大小.(2)(2)解解:设二面角设二面角A-DA-D1 1E-CE-C的平面角为的平面角为,由由(1)(1)知平面知平面AEDAED1 1的一个法向量为的一个法向量为n n=(1,0,=(1,0,1);1);同理同理,设设n n1 1=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1)为平面为平面D D1 1ECEC的一个法向量的一个法向量,题型四题型四 求空间点到平面的距离求空间点到平面的距离【例【例4 4】四棱锥四棱锥P-ABCDP-ABCD中中,四边形四边形ABCDABCD为正方形为正方形,PD,PD平面平面ABCD,PD=DA=
18、2,F,EABCD,PD=DA=2,F,E分分别为别为AD,PCAD,PC的中点的中点.(1)(1)求证求证:DE:DE平面平面PFB;PFB;(2)(2)求点求点E E到平面到平面PFBPFB的距离的距离.方法技巧方法技巧 利用向量法求点到平面距离的特点是不必作出垂线段利用向量法求点到平面距离的特点是不必作出垂线段,而是转化为求已知点与平面内一点连线对应的向量在平面法向量上的投而是转化为求已知点与平面内一点连线对应的向量在平面法向量上的投影影,具体求解过程如下具体求解过程如下:(1)(1)建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系;(2)(2)求出已知点求出已知点P P与平面与平面内任一点内任一点
19、A A对应的向量对应的向量 ;(3)(3)求出平面求出平面的法向量的法向量n n;(4)(4)求点求点P P到平面到平面的距离的距离,即即d=.d=.即时训练即时训练4-1:4-1:正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为2,E,F,G2,E,F,G分别是分别是C C1 1C,DC,D1 1A A1 1,AB,AB的中的中点点,求点求点A A到平面到平面EFGEFG的距离的距离.【备用例【备用例3 3】在三棱锥在三棱锥B-ACDB-ACD中中,平面平面ABDABD平面平面ACD,ACD,若棱长若棱长AC=CD=AD=AB=1,AC=CD=AD=AB=1,且且BAD=30BAD=30,求点求点D D到平面到平面ABCABC的距离的距离.解解:如图所示如图所示,以以ADAD的中点的中点O O为原点为原点,以以OD,OCOD,OC所在直线为所在直线为x x轴、轴、y y轴轴,过过O O作作OMOM平面平面ACDACD交交ABAB于于M,M,以直线以直线OMOM为为z z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系,
