1、第三章第三章 向量与向量与向量空间向量空间 第一节第一节n维向量维向量第二节线性相关与线性无关第二节线性相关与线性无关第三节线性相关性的判别定理第三节线性相关性的判别定理第四节向量组的秩第四节向量组的秩第五节向量空间第五节向量空间1 n维向量维向量 定义定义1 n个数组成的有序数组（个数组成的有序数组（a1,a2,an）称为一个称为一个n维向量维向量，简称，简称向量向量。naaa21或或用小写的粗黑体字母来表示向量用小写的粗黑体字母来表示向量。行向量行向量列向量列向量返回返回上一页上一页下一页下一页数数a1,a2,an称为这个称为这个向量的分量向量的分量。ai称为这个称为这个向量的第向量的第i
2、个分量或坐标。分量都是实数的向量个分量或坐标。分量都是实数的向量称为称为实向量实向量；分量是复数的向量称为；分量是复数的向量称为复向量复向量。n维行向量可以看成维行向量可以看成1n矩阵，矩阵，n维列向量也常维列向量也常看成看成n1矩阵。矩阵。设设k和和l为两个任意的常数，为两个任意的常数，为任意的为任意的n维向维向量，其中量，其中 ,),(21naaa ),(21n),(21n返回返回上一页上一页下一页下一页定义定义2 如果如果 和和 对应的分量都相等，即对应的分量都相等，即ai=bi，i=1,2,n就称这两个就称这两个向量相等向量相等，记为，记为 。定义定义3 向量向量（a1+b1,a2+b
3、2,an+bn）称为称为 与与 的的和和，记为，记为 。称向量。称向量（ka1,ka2,kan）为为 与与k的数量乘积，简称的数量乘积，简称数乘数乘，记为，记为 。k返回返回上一页上一页下一页下一页定义定义4 分量全为零的向量分量全为零的向量（0，0，0）称为称为零向量零向量，记为，记为0。与与-1的数乘的数乘（-1）=（-a1,-a2,-an）称为称为 的的负向量负向量，记为，记为 。)(向量的减法定义为向量的减法定义为向量的加法与数乘具有下列性质向量的加法与数乘具有下列性质：交换律交换律)1()()()2(结合律结合律返回返回上一页上一页下一页下一页 0)3(0)()4(kkk )()5(
4、lklk )(6()()()7(kllk 1)8(00)9(00)10(k0,00)11(kk那么那么且且如果如果满足（满足（1）（8）的）的运算称为线性运算。运算称为线性运算。返回返回上一页上一页下一页下一页2 线性相关与线性无关线性相关与线性无关 矩阵与向量的关系：矩阵与向量的关系：通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维行维行向量组向量组 可以排列成一个可以排列成一个sn分块矩阵分块矩阵 s ,21 s 21其中其中 为由为由A的第的第i行形成的子块，行形成的子块，称为称为A的行向量组。的行向量组。i s ,21n维列向量组维列向量组 可以
5、排成一个可以排成一个ns矩阵矩阵 s ,21),(21sB 其中其中 为由为由B的第的第j列形成的子块，列形成的子块，称为称为B的列向量组。的列向量组。j s ,21返回返回上一页上一页下一页下一页0),(2121 sskkk 定义定义5 向量组向量组 称为称为线性相关线性相关的，如果有的，如果有不全为零的数不全为零的数k1,k2,ks，使，使s ,21022111 sssiiikkkk 反之，如果只有在反之，如果只有在k1=k2=ks=0时上式才成立，就时上式才成立，就称称 线性无关线性无关。s ,21当当 是行向量组时，它们线性相关就是指有非是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的零的1s
6、矩阵（矩阵（k1,k2,ks）使）使 s ,21返回返回上一页上一页下一页下一页当当 为列向量时，它们线性相关就是指有非为列向量时，它们线性相关就是指有非零的零的s1矩阵矩阵 ，使，使),(21 skkks ,2112n12n12n1122ni16 ,.,.,.,.nniik kkkkkk 定义向量 称为向量组的一个线性组合，或者说 可由 向量组线性表出（示），如果有常数，使也记也可用矩阵形式表示：也可用矩阵形式表示：0),(2121 sskkk 返回返回上一页上一页下一页下一页若所给向量均为行向量，则有若所给向量均为行向量，则有nnkkk2121),(若所给向量均为列向量，则有若所给向量均为
7、列向量，则有nnkkk2121),(返回返回上一页上一页下一页下一页例例 判断向量组判断向量组 )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(21n 的线性相关性。的线性相关性。解解 假设存在一组常数假设存在一组常数k1,k2,kn 使得使得),(212211nnnkkkkkk 因所以所以 0),.,(21nkkk 即即 k1=k2=kn=0 因此因此 线性关。线性关。n ,21称为基本单位向量。称为基本单位向量。n ,2102211nnkkk返回返回上一页上一页下一页下一页例例 设向量组设向量组 线性无关，线性无关，试证向量组，试证向量组 也也线性无关。线性无关。321,211 322 13
8、3 321,证证 假设存在一组常数假设存在一组常数k1,k2,k3 使得使得0)()()(332221131kkkkkk 则0332211kkk由由 线性无关，故有线性无关，故有 321,000322131kkkkkk由于满足由于满足k1,k2,k3的取值只有的取值只有k1=k2=k3=0所以所以 线性无关。线性无关。321,返回返回上一页上一页下一页下一页定理定理1 向量组向量组 （s2）线性相关的充要条件）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。s ,21证证 充分性：设充分性：设 中有一个向量能由其他向中有一个向量能由其他向量
9、线性表出，不妨设量线性表出，不妨设s ,21sskkk 332210221 sskk 所以所以 线性相关。线性相关。s ,21s ,21必要性：如果必要性：如果 线性相关，就有不全为零的线性相关，就有不全为零的数数k1,k2,ks，使，使 02211 sskkk 设设k10,那么那么 sskkkkkk 13132121 即即 能由能由 线性表出。线性表出。1 s ,32返回返回上一页上一页下一页下一页例如例如，向量组，向量组 是线性相关的，因为是线性相关的，因为 2133 )1,3,1,2(1 )4,5,2,4(2 )1,4,1,2(3 对于只有两个向量对于只有两个向量，的向量组，由定理可得，
10、的向量组，由定理可得，线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是，的对应分量成比的对应分量成比例。例。返回返回上一页上一页下一页下一页定理定理2 设向量组设向量组 线性无关，而向量组线性无关，而向量组 线性相关，则线性相关，则 能由向量组能由向量组线性表出，且表示式是唯一的。线性表出，且表示式是唯一的。t ,21 ,21t t ,21证证 由于由于 线性相关，就有不全为零的线性相关，就有不全为零的数数k1,k2,kt,k，使，使 ,21t02211 kkkkttttkkkkkk 2211即即 可由可由 线性表出。线性表出。t ,21由由 线性无关有线性无关有k0。（否则，（否则，线性相关
11、）线性相关）t ,21t ,21返回返回上一页上一页下一页下一页设设 ttthhhlll 22112211为任意两个表达式。为任意两个表达式。0)()()()()(22211122112211 ttttttthlhlhlhhhlll 且且 线性无关线性无关 t ,21得到得到 l1=h1,l2=h2,，lt=ht 因此表示式是唯一的。因此表示式是唯一的。返回返回上一页上一页下一页下一页定义定义7 如果向量组如果向量组 中每个向量都可以由中每个向量都可以由 线性表出，就称向量组线性表出，就称向量组 可由可由 线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，就称它们线性表
12、出，就称它们等价等价。s ,21t ,21s ,21t ,21每一个向量组都可以经它自身线性表出。每一个向量组都可以经它自身线性表出。同时，如果向量组同时，如果向量组 可以经向量组可以经向量组 线性表出，向量组线性表出，向量组 可以经向量组可以经向量组 线性表出，那么向量组线性表出，那么向量组 可以经向量组可以经向量组 线性表出。线性表出。s ,21t ,21s ,21t ,21p ,21p ,21返回返回上一页上一页下一页下一页向量组向量组 中每一个向量都可以经向量组中每一个向量都可以经向量组 线性表出。因而，向量组线性表出。因而，向量组 可以经向量组可以经向量组 线性表出。线性表出。s ,
13、21p ,21s ,21p ,21 tjjijisik1,2,1,pmmmjjtjl1,2,1,如果如果mtjpmtjpmpmtjjmijmjmijmjmijilklklk 111111)(有有返回返回上一页上一页下一页下一页向量组的等价具有下述性质：向量组的等价具有下述性质：(1)反身性反身性：向量组：向量组 与它自己等价；与它自己等价；s ,21(2)对称性对称性:如果向量组如果向量组 与与 等价，等价，那么那么 也与也与 等价。等价。s ,21s ,21t ,21t ,21(3)传递性传递性:如果向量组如果向量组 与与 等价，等价，而向量组而向量组 又与又与 等价等价,那么那么 向量组向
14、量组 与与 等价等价t ,21s ,21t ,21p ,21p ,21s ,21返回返回上一页上一页下一页下一页3 线性相关性的判别定理线性相关性的判别定理 定理定理3 有一个部分组线性相关的向量组线性相关。有一个部分组线性相关的向量组线性相关。设这个部分组为设这个部分组为 。则有不全为零的数。则有不全为零的数k1,k2,kr，使，使 r ,21证证 设向量组设向量组 有一个部分组线性相关。有一个部分组线性相关。s ,21 sirisrjjiiiikk11100 因此因此 也线性相关。也线性相关。s ,21推论推论 含有零向量的向量组必线性相关。含有零向量的向量组必线性相关。返回返回上一页上一
15、页下一页下一页定理定理4 设设p1,p2,pn为为1，2，n的一个排列，的一个排列，和和 为两向量组，其中为两向量组，其中,.,2121nipipipiiniiiaaaaaa即即 是对是对 各分量的顺序进行各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有重排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的相同的线性相关性线性相关性。s ,21s ,21s ,21s ,21证证 对任意的常数对任意的常数k1,k2,ks，返回返回上一页上一页下一页下一页 sisnsnnssssiiakakakakakakakakakk1221122221211212111 sispsppspsppspsppiinnna
16、kakakakakakakakakk1221122112211222121 上两式只是各分量的排列顺序不同，因此上两式只是各分量的排列顺序不同，因此 02211 sskkk 当且仅当当且仅当 02211 sskkk 所以所以 和和 有相同的线性相关性。有相同的线性相关性。s ,21s ,21返回返回上一页上一页下一页下一页(2)如果如果 线性无关，线性无关，那么那么 也线性无关。也线性无关。s ,21s ,21s ,21s ,21s ,21s ,21定理定理5在在r维向量组维向量组 的各向量添上的各向量添上n-r个分个分量变成量变成n维向量组维向量组 。(1)如果如果 线性相关，线性相关，那么
17、那么 也线性相关。也线性相关。证证 对列向量来证明定理。对列向量来证明定理。121),(As 2121),(AAs 返回返回上一页上一页下一页下一页0),(212121 XAXAXAAXs 0),(121 XAXs 从而从而利用利用(1)式式,用反证法容易证明用反证法容易证明(2)式也成立。式也成立。因此因此,也线性相关也线性相关,即即(1)式成立。式成立。s ,21如果如果 线性相关线性相关,就有一个非零的就有一个非零的s 1矩阵矩阵X,使使 s ,21返回返回上一页上一页下一页下一页引理引理1 如果如果n阶方阵阶方阵A的行列式等于零的行列式等于零,那么那么A的行的行(列列)向量组线性相关。
18、向量组线性相关。定理定理6 n维向量组维向量组 线性无关的充要条件线性无关的充要条件是矩阵是矩阵 s ,21 nnnnnnnaaaaaaaaaA21222211121121 的行列式不为零的行列式不为零(A可逆可逆)。此时。此时,矩阵矩阵A的的n个列向量也个列向量也线性无关。线性无关。定理定理7 n+1个个n维向量组维向量组 必线性相关。必线性相关。121,n 推论推论 当当mn时时,m个个n维向量组线性相关。维向量组线性相关。返回返回上一页上一页下一页下一页定理定理8 如果向量组如果向量组 可由可由 线性线性表出且表出且st，那么，那么 线性相关。线性相关。s ,21s ,21s ,21推论
19、推论1 如果向量组如果向量组 ，可由向量组，可由向量组 线性表出，且线性表出，且 线性无关，那么线性无关，那么 。s ,21s ,21s ,21ts 推论推论2 两个线性无关的等价的向量组必含有相同个两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量。数的向量。返回返回上一页上一页下一页下一页回顾：矩阵的秩回顾：矩阵的秩定义：定义：在在 mn 矩阵矩阵 A 中，任取中，任取 k 行行 k 列列(k m，kn)，位于这些行列交叉处的位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在个元素，不改变它们在 A中所处中所处的位置次序而得的的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵阶行列式，称为矩阵 A 的的
20、k 阶子式阶子式规定：规定：零矩阵的秩等于零零矩阵的秩等于零定义：定义：设矩阵设矩阵 A 中有一个不等于零的中有一个不等于零的 r 阶子式阶子式 D，且所有，且所有r+1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵称为矩阵A 的的最高阶非零子式最高阶非零子式，数，数 r 称为称为矩阵矩阵 A 的秩的秩，记作，记作 R(A)结论：结论：矩阵的秩矩阵的秩=矩阵中最高阶非零子式的阶数矩阵中最高阶非零子式的阶数=矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数向量组的秩的概念向量组的秩的概念定义：定义：设有向量组设有向量组 A，如果在
21、，如果在 A 中能选出中能选出 r 个向量个向量a1,a2,ar，满足，满足向量组向量组 A0：a1,a2,ar 线性无关；线性无关；向量组向量组 A 中任意中任意 r+1个向量（如果个向量（如果 A 中有中有r+1个向量的个向量的话）都线性相关；话）都线性相关；那么称向量组那么称向量组 A0 是向量组是向量组 A 的一个的一个最大线性无关向量组最大线性无关向量组，简称简称最大无关组最大无关组最大无关组所含向量个数最大无关组所含向量个数 r 称为称为向量组向量组 A 的秩的秩，记作，记作RA 4 向量组的秩向量组的秩 定义定义8 设存在向量组设存在向量组a1,a2,as 的一个部分组的一个部分
22、组12,riiiaaa满足：满足：(1)(1)部分组部分组12,riiia aa12,riiiaaa线性无关。线性无关。(2)(2)部分组部分组(1)iais ,都有都有线性相关。线性相关。则称部分组则称部分组12,riiiaaa是向量组是向量组a a1 1,a,a2 2,a as s 的一个的一个极大线性无关组（简称为极大无关组）。极大线性无关组（简称为极大无关组）。满足：满足：定义定义8 8若向量组若向量组a a1 1,a,a2 2,a as s的一个部分组的一个部分组12,riiiaaa 121,riiia aa线线性性无无关关；122(1,2,),riiiiia is aa aa 对对
23、任任意意的的可可由由线线性性表表出出。1212,riiisa aaa aa则则称称部部分分组组是是向向量量组组的的一一个个极极大大无无关关组组。性质性质1 1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。性质性质2 2 一向量组的任意两极大线性无关组都等价。一向量组的任意两极大线性无关组都等价。性质性质3 3 一向量组的任意两个极大线性无关组都含有相一向量组的任意两个极大线性无关组都含有相同个数的向量。同个数的向量。定义定义9 9 向量组向量组a a1 1,a,a2 2,a,as s 的极大线性无关组所含向的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩
24、，记为量的个数称为这个向量组的秩，记为12(,)sR a aa定理定理9 9 向量组任意线性无关的部分组都可扩充为一向量组任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组。个极大线性无关组。推论推论 秩为秩为r r的向量组中，任意含的向量组中，任意含r r个向量的线性无关个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组。的部分组都是极大线性无关组。引理引理 设设a a1 1,a,a2 2,a ar r是是r r个个n n维向量维向量(rn),(rn),则则a a1 1,a,a2 2,a,as s线性无关的充分必要条件是矩阵线性无关的充分必要条件是矩阵A=(a a1 1,a,a2 2,a,ar r)至
25、少至少存在一个存在一个r r阶子式不为零。阶子式不为零。定理定理10 10 设设A A为为m mn n矩阵，则矩阵矩阵，则矩阵A A的秩等于它的列向量的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。组的秩，也等于它的行向量组的秩。推论推论 矩阵矩阵A A的秩与列秩相等。的秩与列秩相等。5 向量空间向量空间 定义定义15 设设V为为n维向量的集合，如果维向量的集合，如果V非空且对于向非空且对于向量加法及数乘运算封闭，即对任意的量加法及数乘运算封闭，即对任意的 和常数和常数k都有都有就称集合就称集合V为一个为一个向量空间向量空间。Vk,V 例例 n维向量的全体维向量的全体Rn构成一个向量空间。构
26、成一个向量空间。3维向量可维向量可以用有向线段来表示，所以以用有向线段来表示，所以R3也可以看作以坐标原点也可以看作以坐标原点为起点的有向线段的全体。为起点的有向线段的全体。例例 n维零向量所形成的集合维零向量所形成的集合0构成一个向量空间。构成一个向量空间。返回返回上一页上一页下一页下一页定义定义16 如果如果V1和和V2都是向量空间且都是向量空间且 ,就称就称V1是是V2的的子空间子空间。21VV (2)V中任意向量都可以经中任意向量都可以经 线性表出，线性表出，那么，向量组那么，向量组 就称为就称为V的一个的一个基基，r称称为为V的维数，并称的维数，并称V为一个为一个r维向量空间。维向量
27、空间。定义定义17 设设V为一个向量空间。如果为一个向量空间。如果V中的向量组中的向量组 满足满足 r ,21r ,21r ,21r ,21(1)线性无关；线性无关；如果向量空间如果向量空间V没有基，就说没有基，就说V的维数为的维数为0，0维向维向量空间只含一个零向量。量空间只含一个零向量。返回返回上一页上一页下一页下一页如果把向量空间如果把向量空间V看作向量组，那么看作向量组，那么V的基就是它的极的基就是它的极大线性无关组，大线性无关组，V的维数就是它的秩。当的维数就是它的秩。当V由由n维向量维向量组成时，它的维数不会超过组成时，它的维数不会超过n。例例 设设 ,243041,2212121
28、22,21321 A验证验证 是是R3的一个基并将的一个基并将 用这个基线性用这个基线性表示出来。表示出来。321,21,解解 由由 0 A知知 线性无关，线性无关，因此因此 是是R3的一个基。的一个基。321,321,返回返回上一页上一页下一页下一页BAXA1可逆有由AXBxxxxxx简记为即32312221121132121,33222211223312211111 xxxxxx 设设且存在有限个初等矩阵且存在有限个初等矩阵P1，P2，Pl，使得使得 P1P2PlA=E,(1)则则A-1=P1P2Pl 返回返回上一页上一页下一页下一页（）说明（）说明A经过有限次初等行变换变成经过有限次初等
29、行变换变成E（）说明（）说明B经过有限次初等行变换变成经过有限次初等行变换变成X故可用初等行变换求故可用初等行变换求X（）XBPPPl21初等行变换BAEBA1即初等行变换XEBA因此只需对矩阵因此只需对矩阵(AB)作初等行变换，当把作初等行变换，当把A变为变为E时，时，B就变成了就变成了A-1B。返回返回上一页上一页下一页下一页 411223021224221)3,1(r 873607863024221)2(13()2(12(rr 699007863024221)2(23()1(1(rr 32110032030322021)2(31()6(32()91(3(rrr,3211001320103432001)2(21()31(2(rr 242213021241122BA返回返回上一页上一页下一页下一页 3211001320103432001所以所以 3212321132343232 返回返回上一页上一页
