1、课题学习：最短路径课题学习：最短路径看图思考：看图思考：为什么有的人会经常践踏草地呢？为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了绿地里本没有路，走的人多了 禁止践踏禁止践踏两点之间，线段最短两点之间，线段最短连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短将军饮马问题：将军饮马问题：将军每天骑马从城堡将军每天骑马从城堡A A出发，到城堡出发，到城堡B B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？路程最短？这就是被称为这就是被称为将军饮马将军饮马而广为流传的问题。而广为流传的问题。P两
2、点之间线段最短两点之间线段最短.根据：根据：BA两点在一条两点在一条直线两侧直线两侧例例1.1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡如图：古希腊一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？最短？最短路线：最短路线：将军饮马：将军饮马：A-P-B.例例2.2.如图：一位将军骑马从城堡如图：一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B，途中马要到河边饮水一次，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？问：这位将军怎样走路程最短？AB河河两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧(二二)一次轴对称：一次轴对称：BA
3、BC例例2作法：作法：（1）作点）作点B关于直线关于直线 MN 的对称点的对称点 B（2）连结）连结BA，交，交MN于点于点 C；所以所以 点点C就是所求的点就是所求的点MN两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧(二二)一次轴对称：一次轴对称：BC+AC BC +AC ，即，即AC+BC最小最小NABCBC 直线直线MN是点是点B、B的对称轴，的对称轴，点点C、C在对称轴上，在对称轴上，BC=BC，BC=BC 在在MN 上任取另一点上任取另一点C，连结连结BC、BC、AC、BC 例例2证明：证明：在在AB C中，中，AB AC+B C，BC+AC =BC+AC =BAMBC +AC =BC +A
4、C 两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧(二二)一次轴对称：一次轴对称：例例2 2变式变式1 1：已知：已知：P P、Q Q是是ABCABC的边的边ABAB、ACAC上的点，你能在上的点，你能在BCBC上确定一点上确定一点R R，使使PQRPQR的周长最短吗？的周长最短吗？两点在一条直线同侧两点在一条直线同侧(二二)一次轴对称：一次轴对称：.AA.B.CA.MON例例3已知如图已知如图 和和 内一点内一点 ,M O NM O NA(2)AAOMBONC连结 和，交于，交于。,B C则点为所求。(三三)二次轴对称：二次轴对称：一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部求作求作:OM上一点上一点B,
5、ON上一点上一点C,使使AB+BC+AC最小最小作法作法（1）作点）作点A关于关于OM、ON的对称点的对称点A、A”草地草地河边河边.驻地驻地A例例3.3.如图：一位将军骑马从如图：一位将军骑马从驻地驻地A A出发，先牵马去出发，先牵马去草地草地 OMOM吃草，再牵马去吃草，再牵马去河边河边ONON喝水，喝水，最后回到驻地最后回到驻地A A，问：这位将军怎样走路程最短？问：这位将军怎样走路程最短？OMN(三三)二次轴对称：二次轴对称：一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部例例3变式变式1：已知：已知P是是ABC的边的边BC上的点，上的点，你能在你能在AB、AC上分别确定一点上分别确定一点Q和
6、和R，使使PQR的周长最短吗？的周长最短吗？(三三)二次轴对称：二次轴对称：一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部例例4：如图，如图，A为马厩，为马厩，B为帐篷，为帐篷，将军将军某一天某一天要要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。请你帮助确定这一天的最短路线。（四）二次轴对称：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部例例4 4答案：如图答案：如图,A,A是马厩是马厩,B,B为帐篷为帐篷,牧马人某一天要从牧马人某一天要从马厩牵出马马厩牵出马,先到草地边某
7、一处牧马先到草地边某一处牧马,再到河边饮马再到河边饮马,然后回到帐篷然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线请你帮他确定这一天的最短路线.ABABCD（四）二次轴对称：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部.B.C.DAB.AONM（四）二次轴对称：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部例例4变式变式1：已知：已知：MON和和 MON内两点内两点A、B。求作：点求作：点C和点和点D,使得点使得点C在在OM上，上，点点D在在ON上，且上，且AC+CD+BD+AB最最短。短。例例4变式变式2：如图，如图，OMCN是矩形的台球桌面，是矩形的台球桌面，有黑、白
8、两球分别位于有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？后，反弹击中黑球？（四）二次轴对称：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部.,.AOMABONB作法:(1)作点 关于的对称点点 关于的对称点(2)ABOMCOND连结 和，交于，交于。则点C、D为所求。.AABBCDMON例例4变式变式2：（四）二次轴对称：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部（2）把）把A，B在直线同侧的问题转化为在直线同侧的问题转化为 在直线的两侧，化折线为直线，在直线的两侧，化折线为直线，将军饮马的实质：将军饮马的实质：（3）可利用）可利用“两点之间线段最短两点之间线段最短”加以解决。加以解决。（1）求最短路线问题）求最短路线问题-通过几何变换找对称图形。通过几何变换找对称图形。反思是进步的阶梯反思是进步的阶梯我的收获；我的收获；我的疑惑；我的疑惑；面对一个新的求线段最短问题时，面对一个新的求线段最短问题时，我们可以通过怎样的途径去研究它？我们可以通过怎样的途径去研究它？
