1、一、第一换元法一、第一换元法(或称凑微分法或称凑微分法)第第四四节换元积分法节换元积分法二、第二换元法二、第二换元法1 利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的.现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法 不定积分换元法.它是在积分运算过程中进行适当的变量代换,将原来的积分化为对新的变量的积分,而后者的积分是比较容易积出的.2引例引例 xxd3cos xxd3cos331,)d(33cos31 xx(因为因为 d(3x)=3dx).dcos31d3cos uuxx一、第一换元法一、第一换元法(或称凑微分法）或称凑微分法）令令 u=3x，则
2、上式变为则上式变为3Cxxx sindcos把把,dcos上上用用到到 uu那么，那么，uuxxdcos31d3cosCu sin31.3sin31Cx 也就是说上述结果正确也就是说上述结果正确.3cos 3sin 31 的一个原函数的一个原函数是是容易验证容易验证xx一般地，能否把公式一般地，能否把公式，)的可微函数的可微函数是是(用到用到xuCuFuufCxFxxf)(d)()(d)(定理定理 1 回答这个问题回答这个问题.4第一换元法第一换元法,)()(CuFuufd设且且 u=j j (x)为可微函数，为可微函数，xxxfd)()(j jj j.)(CxF j j证证已知已知 F (u
3、)=f (u)，u=j j (x)，则则 )(xFj j)()(xuf j jxuuF ),()(xxf j jj j所以所以 xxxfd)()(j jj j.)(CxF j j则则5第一换元法可以分为以下三个步骤第一换元法可以分为以下三个步骤：（1）凑微分：将被积表达式 d)(xxg凑成 的形式，d)()(xxxfjj)(dd)(xxxjj)(d)(d)()(d)(xxfxxxfxxgjjjj（2）代换：令ux)(j d)(uuf（3）还原：用)(xuj .)()(d)(CxFCuFuufj于是：求不定积分还原，即6用上式求不定积分的方法称为第一换元法或用上式求不定积分的方法称为第一换元法或
4、称凑微分法称凑微分法则则，若若 )(d)(CxFxxf ,)(d)(CuFuuf 式就是把已知的积分式就是把已知的积分CxFxxf )(d)(中的中的 x 所以说把基本积分表所以说把基本积分表中的积分变量中的积分变量换成可微函数换成可微函数 j j (x)后仍成立后仍成立.其中其中 u=j j (x)可微可微.换成了可微函数换成了可微函数 j j (x).7例例 1求求.d)23sin(xx解解对照基本积分表，对照基本积分表，相似相似上式与表中上式与表中 dsin xx如果把如果把 dx 写成了写成了 d(3x+2)，那么就可用定理那么就可用定理 1 及及,cosdsinCxxx 为此将为此将
5、 dx 写成写成),23(d31d xx代入式中，代入式中，那么那么 xxd)23sin(.)2d(3)23sin(31 xx令令 3x+2=u 则则 uudsin31Cu cos31.)23cos(31Cx ),(d1d .1baxax 利用利用a,b 均为常数均为常数，且且 a 0.8例例 2求求.d)54(99 xx解解上式与基本积分表中上式与基本积分表中Cxxx 111d 相似，相似，为此将为此将 dx 写成写成那么那么 xxd)54(99,)5d(4)54(4199 xx,)54(d41d代入式中代入式中 xx令令 4x+5=u，uu d4199则，原式则，原式Cu 1004001.
6、)54(4001100Cx 9例例 3求求.1d xx解解上式与基本积分表中上式与基本积分表中.|lnd1类似类似Cxxx 为此将为此将 dx=d(x+1)代入式中，代入式中，那么那么 1dxx 1)1d(xx.|1|lnCx 10例例 4求求 22dxax(a 0 常数常数).解解上式与基本积分表上式与基本积分表.arcsin1d2类似类似Cxxx 22dxax 21daxax 21daxax.arcsinCax .arcsind22Caxxax 11例例 5求求 22dxax(a 0 常数常数).).解解 22dxax 221d1axxa 21d1axaxa.arctan1Caxa .ar
7、ctan1d22Caxaxax 12),(d21d .22axxx 利用利用),d(31d32axxx ,dlnd1xxx,1dd12xxx ,d2d1xxx,cosddsinxxx ,sinddcosxxx,tanddsec2xxx,cotddcsc2xxx ,arcsindd112xxx xxxarctandd112 等等等等.13例例 6求求.de2 xxx解解将被积分式中的将被积分式中的 xdx 因子凑微分，因子凑微分，.212xxxdd 则则 2de21de22xxxxxCx 2e21经求导验算，经求导验算，.ee2122xxxC 结果正确结果正确.即即即即14例例 7求求.dln
8、xxx解解因子因子将被积分式中的将被积分式中的 d1 xx).lnd(d1xxx 凑微分，即凑微分，即则则 xxxdln xx lndln.ln212Cx .)ln(d)(d)(ln :xuuufxxxf一般公式15例例 8求求.dcossin2 xxx解解 x2sin x2sin.sin313Cx 解解x1sin x1sin.1cosCx 例例 9求求.d1sin12 xxx 21xxdx1dxxdcosxsind16例例 10求求.2xxxdee解解.)2ln(Cxe 2 xexexd 2 xe)2xd(e173.利用三角函数的恒等式利用三角函数的恒等式.例例 12 求求.dtan xx解
9、解 xxdtan.|cos|lnCx xcosxsinxd xcosxcosd18例例 13求求.dsin2 xx解解 xxdsin2 xxd22cos1 xxxd2cosd21 xxx2d2cos2121.2sin4121Cxx 19例例 14求求.dsin3 xx解解 xxdsin3 xxxdsinsin2 xx cosdsin2 xxcosd)cos1(2.coscos313Cxx 20例例 15求求.d2cos5sin xxx解解 xxxd2cos5sin xxxd)3sin7(sin21 xxxx3d3sin31217d7sin7121.3cos617cos141Cxx 21例例 1
10、6求求.d1 xxx解解 xxxd1 xxxd111 xxd111.|1|lnCxx 4.利用代数恒等式利用代数恒等式22例例 17求求 22dxax(a 0 常数常数).).解解 22dxax )(dxaxax xxaxaxaxaad)()()(21 xaxxaxadd21.ln21Cxaxaa Cxaxaaxaxln21d22 xaxaxaxaa)(d)(d2123例例 18求求 .45d2xxx 45d2xxx解解 )1)(4(dxxx xxxxxd)1)(4()4()1(31 1d4d31xxxx.14ln31Cxx 24例例 19求求 .54d2xxx解解 54d2xxx 2)2(1
11、dxx 2)2(1)2(dxx.)2arctan(Cx 25例例 20求求 .d5412xxxx xxxxxd541)54(2122 1)2(dd54)54(21222xxxxxxx解解 xxxxd5412.)2arctan()54ln(212Cxxx Cxfxfxfxxfxf|)(|ln)()(dd)()(26例例 21求求.dsec xx解解 xxdsec xxdcos1xxxdcoscos2 xx2sin1sindCxx sin1sin1ln21 Cxxxx|tansec|lndsec.|tansec|lnCxx 27例例 22求求.d1arctan2xxxx解解xxxxd1arctan
12、2dxxxxxx221arctand1xxdxarctanarctan)xd(1112122Cxx22)(arctan21)1ln(2128二、第二换元法二、第二换元法引例引例xxxd1为了将被积函数中的根式1x去掉，应将其作为一个整体，因此令1xt因此，tdtdxtx2,12将其代入原积分式中，tdtttxxx2112dCttdtt232)1(232Cttdtt232)1(232Cxx12)1(32329 d)(d)()(是被积表达式第一换元法：uufxxxfjj常遇到的是一般形。而在实际问题中，常已明显含有因子)(xj。，而不能分出因子式的积分：)(d)(xxxfj 将积分转化：及反函数的
13、导数公式，这时我们利用复合函数ttgtttfd)(d)()(jjxxfd)()(txj令CtF)(容易积出：CxF)(1j301.简单根式代换简单根式代换例例 22求求 .d1xxx解解为了去掉被积函数中的根号，为了去掉被积函数中的根号，,1tx 令令则则 dx=2tdt，于是有于是有 tttd1222 xxxd1 tttd11)1(222tt d11122.)arctan(2Ctt ,12tx 31回代变量，回代变量，,1 xt得得 xxxd1.)arctan(2Ctt .)1arctan1(2Cxx 32例例 23求求.d14 xxx解解被积函数含根式被积函数含根式,4xx为了去掉根号，为
14、了去掉根号，,44txtx 令令于是有于是有xxx d14 ttttd423ttt d142ttt d1114.|1|ln2142Cttt 则则 dx=4t3 dt，tttd11)1(4233回代变量，回代变量，,4xt 得得 4dxxxCttt|1|ln2142.)1ln(44244Cxxx 34例例 24求求.d11 xxxx解解为了去掉被积函数中的根号，为了去掉被积函数中的根号，,11,12 txtxx令令,d)1(2d22tttx 则则于是有于是有35 xxxxd11 tttd1222 tttd11)1(222 ttd11122 tttd11222Cttt 11ln2.1111ln12
15、Cxxxxxx 362.三角代换三角代换例例 25求求.)0(d22 axxa,cossin1222tataxa 于是有于是有xxa d22 ttadcos22 ttad)2cos1(22Ctta 2sin2122 .cossin22Cttta 解解,22sin ttax令令则则 dx=acost dt，37 把变量把变量 t 换为换为 x.为简便起见，为简便起见，,sin axt 根据根据 画一个直角三角画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图形，称它为辅助三角形，如图.,arcsin axt 因为因为,cos22axat 于是有于是有 xxad22Cttta )cossin(22Caxaa
16、xaxa 222arcsin2.2arcsin2222Cxaxaxa xa22xa t38例例 26求求 ).0(d22aaxx解解，令令 22tan ttax则则 dx=asec2 tdt，于是有于是有 22daxx ttatadsecsec2tt dsec.|tansec|ln1Ctt 39，根据根据axt tan作辅助三作辅助三角形，角形，得得axt22ax 122|tansec|lndCttaxx122lnCaaxax aCaxxln)ln(122 ，Caxx )ln(22其中其中 C=C1-lna.40例例 27求求).0(d22 aaxx解解令令 x=a sec t，则则 dx=a
17、 sec t tan t dt，于是有于是有 22daxx ttattadtantansec ttdsec,|tansec|ln1Ctt 41,sec axt 根据根据作 辅 助 三作 辅 助 三角形，角形，22daxxaxt22ax 1|tansec|lnCtt 122 lnCaaxax aCaxxln|ln122 ，Caxx|ln22 得得其中其中 C=C1 lna.42,)1(22时时含含xa 作三角代换作三角代换 x=a sin t 或或 x=a cos t；,)2(22时时含含xa 作三角代换作三角代换 x=a tan t 或或 x=a cot t；,)3(22时时含含ax 作三角代
18、换作三角代换 x=a sec t 或或 x=a csc t.43例例 28求求.1d2 xxx解法一三角代换法解法一三角代换法.令令 x=tan t，于是得于是得 21dxxx ttttdsectansec2 ttdcsc则则 dx=sec2 tdt，.|cotcsc|lnCtt 44根据根据 tan t=x，作辅助三作辅助三角形，角形，得得1xt21x 21dxxx=ln|csc t cot t|+CCxxx 11ln2.11ln2Cxx 45解法二凑微分法解法二凑微分法.,d111d11222xxxxxx ，凑微分凑微分xxx1dd2 于是有于是有 21dxxx xxxd11122xx1d
19、1112 Cxx 111ln2Cxx 11ln2.11ln2Cxx 46解法三根式代换法解法三根式代换法.，令令1122 txtx,d1d2tttx 则则于是有于是有 21dxxx tttttd1122ttd112 Ctt 11ln21Cxx 222)11(ln21.11ln2Cxx 47例例 29求求.169d2 xxx解解 169d2xxx )13(d)2()13(13122xx.|16913|ln312Cxxx 48常用的凑微分列表如下：)(arctan1113)(arcsin1112)(csccotcsc11)(sectansec10)(cotcsc9)(tansec8)(sincos72222xddxxxddxxxdxdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdx、)(cossin6)(5)1,0()(ln14)(ln13)(112)(111xdxdxbeddxeaabadadxabxddxxbxddxxbaxdadxxxxx、49,)1(22时时含含xa 作三角代换作三角代换 x=a sin t 或或 x=a cos t；,)2(22时时含含xa 作三角代换作三角代换 x=a tan t 或或 x=a cot t；,)3(22时时含含ax 作三角代换作三角代换 x=a sec t 或或 x=a csc t.50
