1、教材教材概率论与数理统计概率论与数理统计上海财经大学应用数学上海财经大学应用数学系系上海财经大学出版社上海财经大学出版社 (2007版版)参考书第一章 事件与概率 第一节 随机现象与随机试验 在一定条件下，必然发生或必然不发生的现象，称为确定性现象。例1 在平面上给一个三角形，则三个内 角之和为180度。一随机现象()yf x 高等数学是研究确定性现象，主要研究函数 注：本课程主要工具是微积分，如极限，连续，导数，偏导数，级数，定积 分，二重积分等 例2 在一个大气压下，没有加热到100度不会沸腾。在一定条件下，可能出现这个结果，也可能出现那样结果，而且不能事先确定出现哪一个结果的现象，称为随
2、机现象随机现象。例1 抛一枚硬币。例2 从一工厂的某种产品中抽出n件产品，观察次品个数。随机现象又分为个别随机现象和大量性随机现象。个别随机现象：原则上不能在不变的条件下重复出现。例如历史事件。大量性随机现象：可以在完全相同的条件下重复出现。例如抛硬币。概率论只研究大量性随机现象在完全相同的条件下重复出现时所表现出来的规律性。以后随机现象都是指大量性随机现象。问题：随机现象难道还有规律性吗？例如，抛一枚硬币。随机现象所表现出来的规律性称为统统计规律性计规律性。概率论和数理统计的研究对象：概率论和数理统计是研究（大量性）随机现象统计规律性的数学学科。概率论和数理统计的研究方法：概率论研究方法是提
3、出数学模型，然后研究它们的性质，特点和规律性。数理统计是以概率论的理论为基础，利用对随机现象的观察所取得的数据资料来提出数学模型，并加以应用。例如控制和预测等。二随机试验 观察一定条件下发生的随机现象称为随机试验随机试验，还必须满足下述条件：条件实现一次就是一次试验。1.试验可以在相同的条件下重复进行；2.试验之前能确定所有可能发生的结果，并 且规定每次试验有且仅有一个结果出现；3.试验之前不能确定将会出现哪一个结果。例1 抛一枚硬币。例2 从一工厂的某种产品中抽出n件产品。第二节 样本空间和随机事件 一样本空间 随机试验的所有可能的结果放在一起组成的集合称为样本空间样本空间。记为 样本空间的
4、每一个元素称为样本点样本点。记为 在概率论中讨论一个随机试验时，首先要求明确它的样本空间。样本空间可以根据随机试验的内容来决定。但写法不一定惟一。(),(,),()HHTT 二个一个一个二个鉴于写出样本空间的重要性，举一些例子。例1 抛一枚硬币观察正反面出现的情况。正面，反面正面 Heads 反面 Tails,H T 例2 抛二枚硬币观察它们正反面出现的况。(,),(,),(,),(,)H HH TT HT T 例3 从一工厂的某种产品中抽出n件产 品，观察次品个数。0,1,n 例4 从包含两件次品（记作 12,a a）和三 件正品（记作 123,b b b）的五件产品中，任取两件产品。121
5、11213212223122313(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a aa ba ba ba ba ba bb bb bb b 2510C 例4 从包含两件次品（记作 12,a a）和三 件正品（记作 123,b b b）的五件产品中，任取两件产品。12111213212223122313(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a aa ba ba ba ba ba bb bb bb b 1221111112211331211222222332122123321331(,),(,),(,),(,),(,),(,
6、),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a aa aa bb aa bb aa bb aa bb aa bb aa bb ab bb bb bb bb bb b 2520P 例5 向某一目标发射一发炮弹，观察落点 与目标的距离。00,)d d 例6 向某一目标发射一发炮弹，观察落点 的分布情况。2(,),x yxyR 二随机事件例4 从包含两件次品（记作 12,a a）和三 件正品（记作 123,b b b）的五件产品中，任取两件产品。例4 从包含两件次品（记作 12,a a）和三 件正品（记作 123,b b b）的五
7、件产品中，任取两件产品，观察次品个数。12111213212223122313(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a aa ba ba ba ba ba bb bb bb b 0A=“没有抽到次品”122313(,),(,),(,)b bb bb b1A=“抽到一个次品”111213212223(,),(,),(,),(,),(,),(,)a ba ba ba ba ba b12(,)a a2A=“抽到两个次品”注意：它们都是样本空间 的子集。样本空间的子集称为随机事件随机事件，简称事件。常用,ijA B C A B表示随机事件。这个定义要注意的是样本
8、空间确定后，随机事件所包含的样本点只能在这个样本空间中找。规定：随机事件A发生当且仅当随机事件A 中有某一个样本点出现。AA发生记作 这样集合论就和概率论联系起来了。例5 向某一目标发射一发炮弹，观察落 点与目标的距离。0d d 0,)随机事件A=“距离目标不超过100米”01000,100dd 例6 向某一目标发射一发炮弹，观察落点的分布情况。2(,),x yxyR 随机事件A=“距离目标不超过100米”2222(,)100 x y xyR考虑两个特殊的随机事件：由于 ，所以样本空间 也是随机事件。但每做一次随机试验，样本空间 必然发生，又称样本空间 为必然事件必然事件。由于，所以空集 也是
9、随机事件。但每做一次随机试验，空集 一定不发生，又称空集 为不可能事件不可能事件。三随机事件的关系和运算 下面的讨论都是在同一个样本空间 为了简单事件表示复杂事件，需要研究随机事件的关系和运算。即,1,2,iA B A i 都是 的子集。上，1包含 若随机事件A发生必然导致随机事件B发生，则称随机事件B包含包含随机事件A，或者称随机事件A包含在随机事件B中。,BAAB或者。记为 用集合论语言，,AB A B 维恩(Venn)图 若,BAAB且，则称随机事件A 与随机事件B相等相等，记为 2交（积）“随机事件A与随机事件B同时发生”是一个随机事件，则称此随机事件为随机事件 A与随机事件B的交交（
10、积积），记为,ABAB或者用集合论语言，,ABABABBAB A“n个随机事件 12,nA AA同时发生”是一个 随机事件，则称此随机事件为 n个随机事件 12,nA AA的交交（积积），记为 1212nnAAAA AA或，简记为 1niiA 若随机事件A与随机事件B不能同时发生，则称随机事件A与随机事件B互不相互不相容容或互斥互斥。用集合论语言，AB AB若n个随机事件 12,nA AA中任意两个 随机事件都不能同时发生，则称n个随机事件 两两互不相容两两互不相容或两两互斥两两互斥。12,nA AA用集合论语言，,1,2,ijAAij i jn 3并“随机事件A与随机事件B至少有一个发生”是
11、一个随机事件，则称此随机事件为随机事件A与随机事件B的并并，记为 AB用集合论语言，,ABAB或 BAABA“n个随机事件 12,nA AA至少有一个发生”是一个随机事件，则称此随机事件为 n个随 机事件 12,nA AA的并并，记为 12nAAA，简记为 1niiA若n个随机事件 12,nA AA两两互不相容，称并 12nAAA为n个随机事件 12,nA AA的和和，记为 12nAAA，简记 1niiA 每次试验随机事件A与随机事件B有且仅有一个发生，则称随机事件B为随机事件A的对立事件对立事件（逆事件逆事件），记为 BA随机事件A也为随机事件B的对立事件对立事件（逆事件逆事件），记为 AB
12、用集合论语言，AB ABA4对立事件（逆事件）,AAAA “随机事件A发生，且随机事件B不发生”是一个随机事件，则称此随机事件为随机事件A与随机事件B的差差，记为 5差,ABA B或者,ABAB且用集合论语言，AA()ABBAB差化积：ABAABAB1吸收律：,AAAAA A 2幂等律：,AAA AAA3交换律：ABBAABBA三运算规律4结合律：()()()()ABCABCABCABC5分配律：()()()()()()ABCACBCABCACBC6德莫根（De Morgan）律：,ABABABAB1111,nnnniiiiiiiiAAAA运算顺序：逆交并差，括号优先 例1 在图书馆中随意抽取
13、一本书，随机事件 A表示数学书 B表示中文书 C表示平装书则 ABC表示抽取的是精装中文版数学书，CB表示精装书都是中文书，AB表示非数学书都是中文版的书，且中文版的书都是非数学书。例2 若 iA表示第 i个射手击中目标(1,2,3)i 则 3个射手都击中目标：123A A A3个射手都未击中目标：123A A A123,AAA3个射手中至少有一个击中目标：123AAA3个射手中至少有一个未击中目标：123AAA123,A A A3个射手中至少有二个击中目标：123123123123A A AA A AA A AA A A122313,A AA AA A 如果随机事件 A在 n次试验中发生了
14、m次，称比值 m n为随机事件 A的频率频率，记为 ()nmF An 随机事件 A发生可能性大小的数值称为 随机事件 A发生的概率概率（probability），记为 ()P A 频率具有稳定性。第三节 频率与概率第四节 古典概型与几何概率 一古典概型 一个随机试验的样本空间为 12,n 满足以下性质：（1）样本点总数有限，即 n有限；（2）每个样本点出现的概率相等，即 121()()()nPPPn称满足以上2个性质的模型为古典概型古典概型。随机事件,A 12,miiiA 定义()mP An 称此概率为随机事件 A的古典概率。0,mn0()1,P A()1,()0.PP 例1 将一枚均匀对称的
15、硬币抛3次，观察正反面，（1）写出样本空间；（2）设事件 1A为“恰有一次出现正面”，求 1();P A（3）设事件 2A为“至少有二次出现正 面”，求 2().P A(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,)H H HH H TH T HT H HH T TT H TT T HT T T 例2 任取一个正整数，求它是奇数的概率。A设“它是奇数”例3 掷两颗骰子，求它们点数之和为3的概率。设 A=“它们点数之和为3”说明有限性 说明等可能性 例4 P9 例1-12袋中有a个白球和b个黑球，每次从袋中任取一球，取出的球不再放回去，求第k次取到白球的概率。Ak“第 次取到白球”说
16、明用不同的样本空间解决问题 例5 P8 例1-10 某批产品共N件，其中有M件次品，无放回地从中任取n件产品，问恰好有k件次品的概率是多少？Ak“恰好有 件次品”注：这是一个重要模型例6 任取一个正整数，求该数的平方末位数为1的概率。设 A=“该数的平方末位数为1”例7 讨论福利彩票和体育彩票。73710295472,C7368347680,C1331594323 在一次乒乓球比赛中设立奖金1千元.比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部奖金.设甲,乙二人的球技相等,现已打了3盘,甲两胜一负,由于某种特殊的原因必须中止比赛.问这1000元应如何分配才算公平?问问 题题二几何概率 设有一个有界区域，区域
17、中的每个点 出现的可能性相同，,D 事件 A表示 点落在 D中，则定义()DP A 的长度（面积，体积）的长度（面积，体积）为事件 A的几何概率几何概率。例1 P10 会面问题 两人约定于0到T时内在某地会面，先到者等()t tT时后离开，假定两人在0到T时内各 时刻到达的可能性相等，求两人能会面的概率。A “两人能会面”例2 P11 蒲丰投针问题xlxaA “针与一平行线相交”x=l2sinOa2x第五节 概率的公理化定义和性质一概率的公理化定义1212()()()()mmP AAAP AP AP A古典概率的基本性质：1（非负性）对任何事件 A,()0;P A 2（规范性）()1;P 3（
18、有限可加性）若事件 12,mA AA两两互不相容，则 几何概率的基本性质：1212()()()()nnP AAAP AP AP A1（非负性）对任何事件 A,()0;P A 2（规范性）()1;P 3（可列可加性）若事件 12,nA AA两两互不相容，则 一般概率的定义，即概率公理化定义：随机事件 A发生可能性大小的数值称为 随机事件 A发生的概率概率（probability），记为 (),P A 1212()()()()nnP AAAP AP AP A1（非负性）对任何事件 A,()0;P A 2（规范性）()1;P 3（可列可加性）若事件 12,nA AA两两互不相容，则 还必须满足以下3
19、条公理：柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫1903年4月25日生于俄国坦波夫 1987年10月20日卒于苏联莫斯科 Kolmogorov,A.N.最为人所道的是对概率论公理化所作出的贡献 1939年，他被选为苏联科学院数理部院士 1980年鉴于他“在调和分析、概率论、遍历论和动力系统深刻而开创性的发现”而获得沃尔夫(Wolf)奖 他一生共写学术论文(包括合作)488篇 他是20世纪苏联最有影响的数学家，也是20世纪世界上为数极少的几个最有影响的数学家之一 他研究的领域非常广泛，几乎遍及一切数学领域 二一般概率的性质 性质1：()0P 性质2：（有限可加性）设 两两互不相容，则 12,nA AA1212(
20、)()()()nnP AAAP AP AP A 性质3：()()1P AP A例1 有4张壹分，3张贰分，2张肆分和1张捌分的邮票，任取其中3张，求（1）取出的3张邮票的总值为壹角的概率；（2）取出的3张邮票中至少有2张邮票的面 值相同的概率。解：（1）A=“取出的3张邮票的总值为壹角”（2）B=“取出的3张邮票中至少有2张邮票的面值相同”性质4 设,AB则()()()P BAP BP A 推论：设,AB则()(),P AP B反之不成立。推广：()()()P BAP BP AB 性质5：（并定理）()()()()P ABP AP BP AB()()()P ABP AP B 推论：例2 袋中装
21、有红，黄，白色球各一个，每次抽取一球，有放回地抽三次，求抽出球中无红色或无黄色的概率。解：A=“抽出球中无红色”，B=“抽出球中无黄色”推广：()()()()()()()()P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC111()()nniiijiij niPAP AP A A 1121()(1)()nijknij k nP A A AP A AA 1111nniiniiPAPAA1111()nnininiiPAP APAA1111()()nnininiiPAP APA A111()()()niijijkiij nij k nP AP A AP A A A 1121(1)()()nnnP A AAP A 111111()()()ninijnijkniij nij k nP A AP A A AP A A A A 1121(1)()nnnP A AA A 1111()()niijiij nP AP A A 12111()(1)()nijknnij k nP A A AP A AA A
