1、满足性质：满足性质：,VkR 1(,)(,)2(,)(,)kk 3(,),(,)4(,)0,当且仅当当且仅当 时时0 (,)0.1.定义定义设设V是实数域是实数域 R上的线性空间，对上的线性空间，对V中任意两个向量中任意两个向量、定义一个二元实函数，记作、定义一个二元实函数，记作 ，若，若,(,)(,)（对称性）（对称性）（数乘）（数乘）（可加性）（可加性）（正定性）（正定性）V为实数域为实数域 R上的线性空间上的线性空间;V除向量的线性运算外，还有除向量的线性运算外，还有“内积内积”运算运算;(,).R 欧氏空间欧氏空间 V是特殊的线性空间是特殊的线性空间则称则称 为为 和和 的的内积内积，
2、并称这种定义了内积的，并称这种定义了内积的(,)实数域实数域 R上的线性空间上的线性空间V为为欧氏空间欧氏空间.例例1在在 中，对于向量中，对于向量 nR 1212,nna aab bb当当 时，时，1）即为几何空间）即为几何空间 中内积在直角中内积在直角3n 3R 坐标系下的表达式坐标系下的表达式.即即(,).这样这样 对于内积就成为一个欧氏空间对于内积就成为一个欧氏空间.nR(,)易证易证 满足定义中的性质满足定义中的性质.(,)141）定义）定义 1 12 2(,)n na ba ba b （1）所以 为内积),(2）定义）定义 1 12 2(,)2kkn na ba bka bna b
3、 从而从而 对于内积也构成一个欧氏空间对于内积也构成一个欧氏空间.nR(,)由于对由于对 未必有未必有,V (,)(,)注意：注意：所以所以1），），2）是两种不同的内积）是两种不同的内积.从而从而 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.nR易证易证 满足定义中的性质满足定义中的性质.(,)14所以 也为内积),(例例2 为闭区间为闭区间 上的所有实连续函数上的所有实连续函数(,)C a b,a b所成线性空间，对于函数所成线性空间，对于函数 ，定义，定义(),()f xg x(,)()()baf gf x g x dx （2）则则 对于（对于（2）作成一个
4、欧氏空间）作成一个欧氏空间.(,)C a b证：证：(),(),()(,),f xg xh xC a bkR1.(,)()()()()(,)bbaaf gf x g x dxg x f x dxg f 2.(,)()()()()bbaak f gk f x g x dxkf x g x dx(,)k f g 3.(,)()()()bafg hf xg xh x dx ()()()()bbaaf x h x dxg x h x dx(,)(,)f hg h24.(,)()baf ffx dx 2()0,fx (,)0.f f且若且若()0,f x 则则2()0,fx 从而从而(,)0.f f 故
5、故 (,)0()0.f ff x因此，因此，为内积，为内积，为欧氏空间为欧氏空间.(,)f g(,)C a b 21)(,)(,),(,)kkkkk 2)(,)(,)(,)推广：推广：11(,)(,)ssiiii 3)(0,)0 2.2.内积的简单性质内积的简单性质,VkR V为欧氏空间，为欧氏空间，2)欧氏空间欧氏空间V中，中，,(,)0V 使得使得 有意义有意义.1.1.引入长度概念的可能性引入长度概念的可能性1）在）在 向量的长度（模）向量的长度（模）.3R 2.2.向量长度的定义向量长度的定义,(,)V 称为向量称为向量 的的长度长度.特别地，当特别地，当 时，称时，称 为为单位向量单
6、位向量.1 1)0;003.3.向量长度的简单性质向量长度的简单性质3）非零向量）非零向量 的单位化：的单位化：1.2)kk（3）1）在）在 中向量中向量 与与 的夹角的夹角 3R 2）在一般欧氏空间中推广（）在一般欧氏空间中推广（4 4）的形式，首先）的形式，首先1.1.引入夹角概念的可能性与困难引入夹角概念的可能性与困难应证明不等式：应证明不等式：(,)1 此即此即,cosarc （4）对欧氏空间对欧氏空间V中任意两个向量中任意两个向量 ，有，有、(,)（5）2.2.柯西布涅柯夫斯基不等式柯西布涅柯夫斯基不等式当且仅当当且仅当 线性相关时等号成立线性相关时等号成立.、证：当证：当 时，时，
7、0 (,0)0,0结论成立结论成立.(,)0.当当 时，作向量时，作向量 0 ,ttR由内积的正定性，对由内积的正定性，对 ，皆有，皆有 tR (,)(,)tt 2(,)2(,)(,)0tt （6）取取 代入（代入（6）式，得）式，得(,)(,)t 22(,)(,)(,)2(,)(,)0(,)(,)即即 2(,)(,)(,)两边开方，即得两边开方，即得 ,.当当 线性相关时，不妨设线性相关时，不妨设、k 于是，于是，2(,)(,)(,).kkk 2kk (,).(5)式等号成立式等号成立.反之，若（反之，若（5）式等号成立，由以上证明过程知）式等号成立，由以上证明过程知 或者或者 ，或者，或者
8、 0 ,0,也即也即 线性相关线性相关.、1 12 2n na ba ba b,1,2,.iiabRin3.3.柯西布涅柯夫斯基不等式的应用柯西布涅柯夫斯基不等式的应用2222221212nnaaabbb（7）1）柯西不等式）柯西不等式22()()()()bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx(),()()()baf xg xf x g x dx 由柯西布涅柯夫斯基不等式有由柯西布涅柯夫斯基不等式有(),()()()f xg xf xg x 从而得证从而得证.证：在证：在 中，中，与与 的内积定义为的内积定义为(,)C a b()()f xg x2 2）施瓦滋不等式）施瓦滋不等式
9、（7）证：证：2(,)(,)2(,)(,)2222 两边开方，即得（两边开方，即得（7）成立）成立.对欧氏空间中的任意两个向量对欧氏空间中的任意两个向量 有有,、3 3）三角不等式）三角不等式设设V为欧氏空间，为欧氏空间，为为V中任意两非零中任意两非零、向量，向量，的的夹角夹角定义为定义为、4.4.欧氏空间中两非零向量的夹角欧氏空间中两非零向量的夹角定义定义1：(,),cosarc 0,零向量与任意向量正交零向量与任意向量正交.注：注：即即 .,2 cos,0 设设 为欧氏空间中两个向量，若内积为欧氏空间中两个向量，若内积、,0 则称则称 与与 正交正交或或互相垂直互相垂直，记作，记作 .定义
10、定义2：5.5.勾股定理勾股定理设设V为欧氏空间，为欧氏空间，,V 222证：证：2,2,222(,)0 .若欧氏空间若欧氏空间V中向量中向量 两两正交，两两正交，12,m 推广：推广：则则 22221212.mm证：若证：若(,)0,ijij 则则 21211(,)mmmijij1(,)(,)mmiiijiij 222121(,)miimi (,)0,1,2,ijiji jm 即即例例3、已知、已知 2,1,3,2,1,2,2,1在通常的内积定义下，求在通常的内积定义下，求,(,),.解：解：2222,2132183 2 (,)2 11 2322 10 ,2 又又 1,1,5,1 22221
11、151282 7 通常称为与的距离，记作通常称为与的距离，记作(,).d 设设V为欧氏空间，为欧氏空间，为为V的一组基，对的一组基，对V中中12,n 任意两个向量任意两个向量1 122nnxxx1 122nnyyy令令(,),1,2,.ijijai jn 1111(,)(,)(,)nnnniijjijijijijxyx y （8）定义定义：矩阵：矩阵 111212122212(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,)nnnnnnA 称为基称为基 的的度量矩阵度量矩阵.12,n 1122,ijn nnnxyxyAaXYxy（9）则则 11(,)nnijijija x yX AY （10）
12、度量矩阵度量矩阵A是实对称矩阵是实对称矩阵.由内积的正定性，度量矩阵由内积的正定性，度量矩阵A还是正定矩阵还是正定矩阵.事实上，对事实上，对 ，即，即 ,0V0X 有有(,)0X AX A为正定矩阵为正定矩阵.由（由（10）知，在基）知，在基 下，向量的内积下，向量的内积12,n 由度量矩阵由度量矩阵A完全确定完全确定.对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.证：设证：设 为欧氏空间为欧氏空间V的两组的两组1212,;,nn 基，它们的度量矩阵分别为基，它们的度量矩阵分别为A、B，且，且1212(,)(,)nnC 设设 12,ijnn nCcC CC
13、1,1,2,nikikkcin 则则11(,)(,)nnijkikljlklcc 11(,)nnklkiljklc c 11nnklkiljkla c c ijC AC 于是于是 (,)ijijBC AC 1212,nnCCA C CCC ACC 欧氏空间欧氏空间V的子空间在所的子空间在所V中定义的内积之下也是中定义的内积之下也是一个欧氏空间，称之为一个欧氏空间，称之为V的的欧氏子空间欧氏子空间.设设为欧氏空间，非零向量为欧氏空间，非零向量12,mV 若若 则则 是正交向量组是正交向量组.0,正交向量组必是线性无关向量组正交向量组必是线性无关向量组.定义：定义：如果它们两两正交，则称之为如果它
14、们两两正交，则称之为正交向量组正交向量组.注：注：证：设非零向量证：设非零向量 两两正交两两正交.12,mV 令令11220,mmikkkkR则则11(,)(,)(,)0mmijjjijiiijjkkk 由由 知知0i (,)0,ii 0,1,2,.ikim故线性无关故线性无关.12,m 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数维欧氏空间中正交向量组所含向量个数.n n 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组12(,)10.12(1,1,0),(1,0,1)例如：中例如：中3R线性无关线性无关但不是正交向量组但不是正交向量组.12,1.1.几何空间几何空间
15、中的情况中的情况3R在直角坐标系下在直角坐标系下(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)ijk 是由单位向量构成的正交向量组，即是由单位向量构成的正交向量组，即(,)(,)(,)0,i jj kk i ,i j k 是是 的一组基的一组基.3R|1ijk 设设 3111222,x iy jz kx iy jz kR 从从111(,),(,),(,)ixjykz 12121 2(,)x xy yz z 222111|xyz(,)(,)(,)i ij jk k 得得12121 2222222111222,arccosx xy yz zxyzxyz 即在基即在基 下，下，中的与内积有关的度量性
16、质有中的与内积有关的度量性质有 ,i j k 3R简单的表达形式简单的表达形式.维欧氏空间中，由维欧氏空间中，由 个向量构成的正交向量组个向量构成的正交向量组nn称为称为正交基正交基；2.2.标准正交基的定义标准正交基的定义由单位向量构成的正交基称为由单位向量构成的正交基称为标准正交基标准正交基.由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基正交基.维欧氏空间维欧氏空间V中的一组基中的一组基 为标准正交基为标准正交基n1,n 维欧氏空间维欧氏空间V中的一组基中的一组基 为标准正交基为标准正交基n1,n当且仅当其度量矩阵当且仅当其度量矩阵 (,).ijnA
17、E 1(,),1,2,0ijiji jnij ，(1)维欧氏空间维欧氏空间V中标准正交基的作用中标准正交基的作用:n设设 为为V的一组标准正交基，则的一组标准正交基，则1,n(i)设设1 122nnxxxV由由(1)，(,).iix (ii)11221(,)nnniiix yx yx yx y (3)这里这里 1 122nnxxx，1 122.nnyyy(iii)221|nxx 1122(,)(,)(,)nn 有有(2)(定理定理1)维欧氏空间中任一个正交向量组都能维欧氏空间中任一个正交向量组都能n扩充成一组正交基扩充成一组正交基.证：设证：设 欧氏空间欧氏空间中的正交向量组，中的正交向量组，
18、12,m 对作数学归纳法对作数学归纳法nm 当当 时时,0nm3.3.标准正交基的构造标准正交基的构造 施密特施密特(Schmidt)(Schmidt)正交化过程正交化过程 12,m 就是一组正交基了就是一组正交基了.1）12,k 使使1212,mk 假设假设 时结论成立，即此时可找到向量时结论成立，即此时可找到向量 nmk成为一组正交基成为一组正交基.现在来看现在来看 的情形的情形.1(1)nmk所以必有向量所以必有向量 不能被不能被 线性表出，线性表出，12,m 11122mmmkkk,mn 因为因为作向量作向量待定待定ikR(0)从正交向量组的性质知从正交向量组的性质知1(,)(,)(,
19、),1,2,.imiiiikim 于是取于是取(,)1,2,(,)iiiikim ,1(,)01,2,.imim ,即即 为正交向量组为正交向量组121,mm 由归纳法假设知，对这由归纳法假设知，对这 个向量构成的正交组个向量构成的正交组1m 可得可得可扩充得正交基可扩充得正交基.于是定理得证于是定理得证2）都可找到一组标准正交基都可找到一组标准正交基 使使12,n 1212(,)(,),1,2,iiLLin 证：证：12,.n 基本方法基本方法逐个构成出满足要求的逐个构成出满足要求的 (定理定理2)对于对于 维欧氏空间中任一组基维欧氏空间中任一组基12,n n首先，可取首先，可取 1111.
20、|一般地，假定已求出一般地，假定已求出 是单位正交的是单位正交的，且，且 12,m 1212(,)(,),1,2,iiLLim (4)当当 时，因为有时，因为有mn 112(,),mmL 由由(4)知知 不能被不能被 线性表出线性表出1m 12,m 按定理按定理1证明中的方法，作向量证明中的方法，作向量111122,mmmmkkk1(,)(,)miiiik 1111(,)mmmmiii (5)即即再设再设 1111.|mmm 可知可知 是单位正交向量组是单位正交向量组121,mm 从从(4)和和(5)知知 与与 121,mm 121,mm 是等价向量组，是等价向量组，因此，有因此，有12112
21、1(,)(,)mmLL 由归纳原理，定理由归纳原理，定理2得证得证.则且则且 110(,)0,1,2,mmiim则过渡矩阵是上三角形（即则过渡矩阵是上三角形（即 ）()ijTt 0,ijtij0,1,2,iitin且且 由由 1212(,)(,),1,2,iiLLin 1212(,)(,),nnT 知，若知，若 Schmidt正交化过程正交化过程:11,11(,),2,3,;(,)jjijjiiiijm 1,1,2,|iiiim 12,.m 化成正交向量组化成正交向量组先把线性无关的向量组先把线性无关的向量组1,m1 再单位化得标准正交向量组再单位化得标准正交向量组12,.m 2 212211
22、1(,),(,)例例1.把把 12(1,1,0,0),(1,0,1,0),34(1,0,0,1)(1,1,1,1)变成单位正交的向量组变成单位正交的向量组.11(1,1,0,0)2122111(,)(,)313233121122(,)(,)(,)(,)解：正交化解：正交化 令令43414244123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)(1,1,1,1)11(,1,0)221 1 1(,1)3 3 3 1111|2221|再单位化再单位化3331|4441|即为所求即为所求1234,11(,0,0)22 112(,0)6661113(,)12121212 111 1(,)222 2例
23、例2.在在 中定义内积为中定义内积为 4 R x11(,)()()f gf x g x dx 求求 的一组标准正交基的一组标准正交基4 R x(由基由基 出发作正交化出发作正交化)231,x xx解解:取取2312341,xxx正交化正交化1 1111211(,)0,xdx 2122111(,)(,)123112(,),3x dx 1111(,)2,dx 13321(,)0,x dx 22333121023x22x313233121122(,)(,)(,)(,)13411(,)0,x dx 144212(,),5x dx 122212(,),3x dx 1324311(,)()0,3xxdx
24、43414244123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)335xx25441232300122|2|6,1222331184(,)()(),3453 10 xdx 1322441384(,)()(),51755 14xxdx 2 单位化单位化122212(,),3x dx 1111(,)2,dx 3444|,|.3 105 14于是得于是得 的标准正交基的标准正交基4 R x11112,|2 22216|2x 2333110(31)|2x 3444114(53)|4xx 设设 与与 是是 维欧氏空间维欧氏空间V中的中的1212,nn n两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是两组标准正
25、交基，它们之间过渡矩阵是(),i jn nAa 即即 1212(,)(,)nnA 4.4.标准正交基间的基变换标准正交基间的基变换1122,1,2,iiininaaain或或由于是标准正交基，所以由于是标准正交基，所以12,n （6）1(,),1,2,0ijiji jnij ，由公式（由公式（3），有），有 11221(,)0ijijijninjijaaaij ，（7）把把A按列分块为按列分块为 12,nAA AA 由（由（7）有）有 1212,nnnAAA AA AAEA （8）则称则称A为为正交矩阵正交矩阵.2）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是
26、正交矩阵矩阵.1定义定义A AE (),n nijAaR 设设若满足若满足2简单性质简单性质1）A为正交矩阵为正交矩阵1.A 3）设）设 是标准正交基，是标准正交基，A为正交矩阵，若为正交矩阵，若 12,n 则则 也是标准正交基也是标准正交基.12,n 1212(,)(,)nnA 4）为正交矩阵为正交矩阵n nAR A的列向量组是欧氏空间的列向量组是欧氏空间 的标准正交基的标准正交基.nR6）为正交矩阵为正交矩阵n nAR A的行向量组是欧氏空间的行向量组是欧氏空间 的标准正交基的标准正交基.nR5）为正交矩阵为正交矩阵n nAR 1.AA 1 1定义：定义：1)与与 是欧氏空间是欧氏空间V中
27、的两个子空间，如果对中的两个子空间，如果对1V2V(,)0,则称子空间则称子空间 与与 为为正交的正交的，记作，记作2V1V12.VV(,)0,则称向量与子空间则称向量与子空间 正交，记作正交，记作 1.V 1V12,VV恒有恒有2)对给定向量对给定向量 如果对如果对 恒有恒有,V 1,V 当且仅当当且仅当 中每个向量都与中每个向量都与 正交正交 12VV 1V2V12120.VVVV 当当 且且 时，必有时，必有 1V 1V 0.12(,)00.VV 证明：设子空间证明：设子空间 两两正交，两两正交，12,sV VV2 2定理定理5 5 两两正交的子空间的和必是直和两两正交的子空间的和必是直
28、和12,sVVV要证明要证明中零向量分解式唯一中零向量分解式唯一12sVVV只须证：只须证：设设 120,1,2,siiVis,ijVV ij12(,0)(,)(,)0iisii 由内积的正定性，可知由内积的正定性，可知 0,1,2,.iis 1 1定义：定义：如果欧氏空间如果欧氏空间V的子空间的子空间 满足并且满足并且12,V V12,VV 则称则称 为为 的的正交补正交补.2V1V12,VVV 维欧氏空间维欧氏空间V的每个子空间的每个子空间 都有唯一正交补都有唯一正交补.1Vn证明：当证明：当 时，时，V就是就是 的唯一正交补的唯一正交补 10V 1V当当 时，时，也是有限维欧氏空间也是有
29、限维欧氏空间.1V10V 12,m 取取 的一组正交基的一组正交基1V2 2定理定理6 6由定理由定理1，它可扩充成，它可扩充成V的一组正交基的一组正交基121,mmn 记子空间记子空间 12,.mnLV 12.VVV 显然显然,又对又对 1 1221,mmxxxV112,mmnnxxV1111(,)(,)(,)0mnmniijjijijij mij mxxx x 12.VV即即 为为 的正交补的正交补.2V1V再证唯一性再证唯一性.设设 是是 的正交补，则的正交补，则23,V V1V1213VVVVV131,1131(,)(,)由此可得由此可得10,23.VV对对 由上式知由上式知 2,V
30、13VV 131133,VV即有即有 又又1213,VVVV0 11(,)1131(,)(,)从而有从而有3V 即有即有 同理可证同理可证32,VV 23.VV唯一性得证唯一性得证.维欧氏空间维欧氏空间V的子空间的子空间W满足满足:n 子空间子空间W的正交补记为即的正交补记为即 .W i)()WW ii)dimdimdimWWVn iii)WWV)W的正交补的正交补 必是必是W的余子空间的余子空间.W 但一般地，子空间但一般地，子空间W W的余子空间未必是其正交补的余子空间未必是其正交补.WVW 称称 为在子空间为在子空间W上的上的内射影内射影.13 3内射影内射影,VWW 设设W是欧氏空间是
31、欧氏空间V的子空间，由的子空间，由对对 有唯一的使有唯一的使12,WW,V 121.定义定义即即，(),()(,),V 欧氏空间欧氏空间V的线性变换的线性变换 如果保持向量的内积不变，如果保持向量的内积不变，则称则称 为为正交变换正交变换.欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度不变的正交变换的推广不变的正交变换的推广.2.2.欧氏空间中的正交变换的刻划欧氏空间中的正交变换的刻划下述命题是等价的：下述命题是等价的：（定理定理4 4）设是欧氏空间）设是欧氏空间V的一个线性变换的一个线性变换.(),(),ddV 3）保持向量间的距离不变，即保持向量间的距离不
32、变，即 2）保持向量长度不变，即保持向量长度不变，即 1）是正交变换；是正交变换；(),;V 证明：首先证明证明：首先证明1)与与2)等价等价1)2):即，即，22()(),()(,),V 两边开方得，两边开方得，(),V 若是正交变换，则若是正交变换，则 2)1):有，有，(),()(,),(1)(),()(,),(2)若保持向量长度不变，则对若保持向量长度不变，则对,V 把把(3)展开得，展开得，(),()2(),()(),()(,)2(,)(,)再由再由(1)(2)即得，即得，(),()(,)(),()(,),(3)是正交变换是正交变换 再证明再证明2)与与3)等价等价3)2):2)3)
33、:()()(),根据）根据）(),()()()d ()(,)d 故故 3）成立）成立.(),(),ddV 若若则有，则有，(),(0),0,ddV 即，即，(),.V 故故 2）成立）成立.n1.维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基n不变的线性变换不变的线性变换是是V的标准正交基，则的标准正交基，则 也是也是V12(),(),()n 的标准正交基的标准正交基.1).若若 是是 维欧氏空间维欧氏空间V的正交变换，的正交变换，n12,n 事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质 1(),()(,)0ijijijij
34、 即有，即有，2).若线性变换若线性变换 使使V的标准正交基的标准正交基 变成变成12,n 变换变换标准正交基标准正交基 ，则，则 为为V的正交的正交12(),(),()n 1 122nnxxx1 122,nnyyy证明：任取证明：任取 设设,V 由由 为标准正交基，有为标准正交基，有12,n 1(,)niiix y 1(),()niiix y 故故 是正交变换是正交变换 1()()njjjy 1()(),niiix 又又 (),()(,)由于为标准正交基，得由于为标准正交基，得 12(),(),()n 2.维欧氏空间维欧氏空间V中的线性变换是正交变换中的线性变换是正交变换n 在任一组标准正交
35、基下的矩阵是正交矩阵在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵 设设 为为V的标准正交基，且的标准正交基，且 12,n 1212,nn 12,nA 证明：证明：的标准正交基，的标准正交基，当当 是正交变换时，由是正交变换时，由1知，知，也是也是V 12,n 而由标准正交基而由标准正交基 到标准到标准12,n 正交基正交基 的过渡矩阵是正交矩阵的过渡矩阵是正交矩阵.12,n 设设 为为V的标准正交基，且的标准正交基，且 12,n 1212,nnA 再由再由 1 即得为正交变换即得为正交变换 由于当由于当A是正交矩阵时，是正交矩阵时，也是也是V的的12,n 1212,nnA 即，即，标准正交基，标准正交
36、基，所以，所以，A是正交矩阵是正交矩阵1）正交变换的逆变换是正交变换；）正交变换的逆变换是正交变换；2）正交变换的乘积还是正交变换）正交变换的乘积还是正交变换3.欧氏空间欧氏空间V的正交变换是的正交变换是V到自身的同构映射到自身的同构映射因而有，因而有，（由同构的对称性可得之由同构的对称性可得之）（由同构的传递性可得之由同构的传递性可得之）4.维欧氏空间中正交变换的分类：维欧氏空间中正交变换的分类：n设维欧氏空间设维欧氏空间V中的线性变换在标准正交基中的线性变换在标准正交基n 1）如果）如果 则称为则称为第一类的第一类的（旋转旋转）;1,A 2）如果）如果 则称为则称为第二类的第二类的 1,A
37、 下的矩阵是正交矩阵下的矩阵是正交矩阵A，则，则12,n 1.A 例例、在欧氏空间中任取一组标准正交基、在欧氏空间中任取一组标准正交基12,n 定义线性变换为：定义线性变换为：11 ,2,3,.iiin则为第二类的正交变换，也称之为则为第二类的正交变换，也称之为镜面反射镜面反射 引理引理1 1 设设A是实对称矩阵，则是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数的特征值皆为实数12nxxx 证：设证：设 是是A的任意一个特征值，则有非零向量的任意一个特征值，则有非零向量0 满足满足0.A ,AAAA 其中其中 为为 的共轭复数，的共轭复数，iixx12,nxxx 令令0 ()A ()A 又由又由A实对称，
38、有实对称，有0()AA()A 0()()A ()A 0()0 12120nnx xx xx x 由于是非零复向量，必有由于是非零复向量，必有 故故 00.0.R 考察等式，考察等式，00 引理引理2 2 设设A是实对称矩阵，在是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间维欧氏空间 上上nR(),nAR 定义一个线性变换如下：定义一个线性变换如下：(),(),则对任意有则对任意有,nR 或或()().AA 1210001,.,0001n 1212(,.,)(,.,)nnA 证：取证：取 的一组标准正交基，的一组标准正交基，nR则在基则在基 下的矩阵为下的矩阵为A，即，即 12,.,n 任取任取1122,nn
39、nxyxyRxy1 122.nnyyy1 122.nnxxx即即 (),()AX Y ()XAY 12(,.,),nX 12(,.,),nY 于是于是1212()(,.,)(,.,),nnXAX 1212()(,.,)(,.,),nnYAY 又又 是标准正交基，是标准正交基，12,.,n X AY ()X A Y ,(),()().A 即有即有 (),()A (),又注意到在又注意到在 中中 ,XYnR1 1定义定义 (),(),V 则称为则称为对称变换对称变换 设为欧氏空间设为欧氏空间V中的线性变换，如果满足中的线性变换，如果满足 1）n维欧氏空间维欧氏空间V的对称变换与的对称变换与n级实对
40、称矩阵在级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：标准正交基下是相互确定的：2 2基本性质基本性质 实对称矩阵可确定一个对称变换实对称矩阵可确定一个对称变换 一组标准正交基一组标准正交基11(,.)(,.)nnA 事实上，设事实上，设,n nARAA 12,.,n 为为V的的定义定义V的线性变换：的线性变换：则即为则即为V的对称变换的对称变换 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵()n nijAaR 12,n 为为V的一组标准正交基，的一组标准正交基，事实上，设为事实上，设为n维欧氏空间维欧氏空间V上的对称变换，上的对称变换，为为在这组基下的矩阵，即在
41、这组基下的矩阵，即 1212(,)(,)nnA 或或1122()iiininaaa 1,1,2,nkikkain 于是于是 1(),nijkikjka 1(,)nkikjka (,)jijja jia 1,(),nijikjkka 1(,)nkjikka (,)ijiia ija,1,2,ijjii jn即即所以所以A为对称矩阵为对称矩阵由是对称变换，有由是对称变换，有 (),()ijij 2）（）（引理引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是）对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间它的不变子空间对对 ,W ,W 任取任取即即(),W ().W 证明：设是对称变换，证明：设是对称变换，
42、W为的不变子空间为的不变子空间 要证要证(),W 即证即证().W (),W 由由W是是 子空间，有子空间，有 (),()0 因此因此故故 也为的不变子空间也为的不变子空间W 1 1(引理引理4 4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量实对称矩阵属于不同特征值的特征向量 分别是属于分别是属于 的特征向量的特征向量,则则(),A 是正交的是正交的 正交基下的矩阵，正交基下的矩阵，证：设实对称矩阵证：设实对称矩阵A为为 上对称变换的在标准上对称变换的在标准nR,是是A的两个不同特征值的两个不同特征值，(),A 由由 (),()又又,(,)0 即即 正交正交,(定理定理7 7)对对 总有正交矩阵总有正
43、交矩阵T，使，使,n nARAA 112(,).nT ATTATdiag (,)(,),有有(,)(,).即即证：设证：设A为为 上对称变换在标准正交基下的矩阵上对称变换在标准正交基下的矩阵nR 由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证有有n个特征向量作成的标准正交基即可个特征向量作成的标准正交基即可 n=1时，结论是显然的时，结论是显然的 对对 的维数的维数n用归纳法用归纳法 nR有一单位特征向量有一单位特征向量 ，其相应的特征值为，其相应的特征值为 ，即，即1 1 1111(),|1 假假设设n1时时结结论论成成立，立，对对 设设其其上上的的
44、对对称称变变换换设子空间设子空间1(),LW 显然显然W是是 子空间，子空间，,dim1nWWRWn (),(),W 则则 也是也是 子空间，且子空间，且 W 又对有又对有,W ,(),()W 所以是所以是 上的对称变换上的对称变换WW 由归纳假设知由归纳假设知 有有n1 个特征向量个特征向量W 23,n 构成构成 的一组标准正交基的一组标准正交基W 从而就是从而就是 的一组标准正交基，的一组标准正交基，123,n nR又都是又都是 的特征向量的特征向量nR即结论成立即结论成立3实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤设设,n nARAA (i)求出求出A的所有不同的特
45、征值：的所有不同的特征值：12,rR 其重数其重数 必满足必满足 ;12,rn nn1riinn (ii)对每个对每个 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组 i()0iEA X 求出它的一个基础解系：求出它的一个基础解系：12,iiin它是它是A的属于特征值的属于特征值 的特征子空间的特征子空间 的一组基的一组基i iV 正交基正交基12,.iiin把它们按把它们按 正交化过程化成正交化过程化成 的一组标准的一组标准SchmidtiV(iii)因为因为 互不相同，互不相同，12,.r 且且1dim,iriWn 11112112,rnrrrn就是就是V的一组的一组标准正交基标准正交基()ijVV
46、ij所以所以则则T是正交矩阵，且是正交矩阵，且11112112,rnrrrn将将的分量依次作的分量依次作矩阵矩阵T的第的第1，2，n列，列，使使 为对角形为对角形1T ATTAT 例例1设设 0111101 111 011 110A 求一正交矩阵求一正交矩阵T使使 成对角形成对角形T AT 解：先求解：先求A的特征值的特征值11 1111|1 11111EA 211 1101011 3(1)(3)A的特征值为的特征值为 （三重）（三重）,11 23.2011 101010011111 31 11(1)1 010 11 其次求属于其次求属于 的特征向量，即求解方程组的特征向量，即求解方程组11
47、()0EA X111 11 1111 111111 1EA得其基础解系得其基础解系 123(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)111 10 00 00 00 00 00 0把它正交化，得把它正交化，得 11(1,1,0,0)2122111(,)11(,1,0)(,)22 313233121122(,)(,)1 1 1(,1)(,)(,)3 3 3 再单位化，得再单位化，得111111(,0,0)|22 2221112(,0)|666 33311113(,)|12121212 这是特征值这是特征值 (三重三重)的三个单位正交特征向量，的三个单位正交特征向量，11 也即是特征子空
48、间也即是特征子空间 的一组标准正交基的一组标准正交基1V 再求属于再求属于 的特征向量，即解方程组的特征向量，即解方程组23 311 1131131 1311113EA1111022002200202 30EA X444413111 13111131 0 010 1 0 10 0 1 10 0 0 0 得其基础解得其基础解 4(1,1,1,1),再单位化得再单位化得 4111 1(,)222 2 这样这样 构成构成 的一组标准正交基，它们的一组标准正交基，它们1234,4R都是都是A的特征向量，正交矩阵的特征向量，正交矩阵 1234111122612111122612(,)2110261231
49、00212T 使得使得 11.13T AT 成立的正交矩阵不是唯一的成立的正交矩阵不是唯一的 对于实对称矩阵对于实对称矩阵A，使，使12(,)nT ATdiag 而且对于正交矩阵而且对于正交矩阵T,还可进一步要求还可进一步要求1.T 事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵T12(,),1nT ATdiagT 取正交矩阵取正交矩阵(1,1,1),Sdiag则则 是正交矩阵且是正交矩阵且1TTS 11,TT S同时有同时有11()()()T ATTS A TSS T AT S12111111n 12(,)ndiag 如果不计较主对角线上元素的如果不计较主对角线上元
50、素的排列的次序，与排列的次序，与实对称矩阵实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的正交相似的对角矩阵是唯一确定的 因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：设设 为实对称矩阵为实对称矩阵A的所有特征值的所有特征值12n(i)A为正定的为正定的0n(ii)A为半正定的为半正定的0n(iii)A为负定（半负定）的为负定（半负定）的 110(0)(iv)A为不定的为不定的10 且且 0n 实对称矩阵实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特的正、负惯性指数分别为正、负特特征值的个数
