1、目录 上页 下页 返回 结束 机械1509 1510 没交作业名单:目录 上页 下页 返回 结束 2.求函数 在抛物线ln()zxy24yxx轴正向的切线方向的方向导数.解解:将抛物线用参数方程表示为11(1,)xxPlz它在点(1,2)的切线方向为1cos,223xOy2P 2xxyx112xy112xy(1,1)1cos2(1,2)000000(,)(,)cos(,)cosxyxyffxyfxyl 上点(1,2)处,沿着这抛物线在该点处偏向目录 上页 下页 返回 结束 2.求函数 在抛物线ln()zxy24yxx轴正向的切线方向的方向导数.解解:先求切线斜率：在Plz它在点(1,2)的切线
2、方向为1cos,223xOy2Pd24,dyyx112xy112xy(1,1)1cos2(1,2)000000(,)(,)cos(,)cosxyxyffxyfxyl 上点(1,2)处,沿着这抛物线在该点处偏向24yx两端分别对x求导，得d2,dyxy1,2)21ky（目录 上页 下页 返回 结束 求可微函数最大值和最小值的一般方法：求可微函数最大值和最小值的一般方法：（1）求函数在求函数在 D 内的所有驻点；内的所有驻点；（2）求函数在求函数在 D 的边界上的最大值和最小值；的边界上的最大值和最小值；（3）将函数在所有驻点处的函数值及在将函数在所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的的边界上的
3、最大值和最小值相比较，最大者就是函数在最大值和最小值相比较，最大者就是函数在 D 上上 的最大值，最小者就是最小值。的最大值，最小者就是最小值。在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最 大或最小值存在且一定在大或最小值存在且一定在 D 的内部取得，而函数在的内部取得，而函数在 D 内只有一个驻点，则该驻点就是函数在内只有一个驻点，则该驻点就是函数在 D 上的最大或上的最大或 最小值点。最小值点。目录 上页 下页 返回 结束 解解xyo6 yxDD如图如图,目录 上页 下页 返回 结束 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxy
4、xxyyxfyx)4(),(2yxyxyxf得0,06,(4,0),(2,1)xy及xyo6 yxD 在边界在边界 0(06)xy和在边界在边界 0(06)yx(,)0f x y 上 目录 上页 下页 返回 结束 46|2,xyx,64)2,4(f)4(),(2yxyxyxf xyo6 yxD24x 10 x 06|6,xyx(0,6)0,f目录 上页 下页 返回 结束 第九章 习题课习题课三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法的应用多元函数微分法的应用目录 上页 下页 返回 结束 一、一、基本概念基本概念连续性 偏导数存在 方向导数存在可微性1.多元函数的定义、极限
5、、连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数微分法二、多元函数微分法显示结构隐式结构1.分析复合结构(画变量关系图)自变量个数=变量总个数 方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2.正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3.利用一阶微分形式不变性目录 上页 下页 返回 结束 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用1 1.在几何中的在几何中的应用应用求曲线的切线及法平面(关键:抓住切向量)求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量)2.极值与最值问题极值与
6、最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法,拉格朗日乘数法)求解最值问题3.在微分方程变形等中的应用在微分方程变形等中的应用 最小二乘法目录 上页 下页 返回 结束 1)近似计算近似计算2)几何应用几何应用yyxfxyxfyxfyx ),(),(),(),(yyxxf ，yyxfxyxfzzyx ),(),(d几何应用几何应用曲线曲线切线切线(法平面法平面)曲面曲面切平面切平面(法线法线)一、内容小结：一、内容小结：多元微分学的应用多元微分学的应用目录 上页 下页 返回 结束 曲线：参数方程情形曲线：参数方程情形切线：切线：法法平面：平面：0)()()()()()(0000
7、00 tzztztyytytxxtx)()()()()()(000000tztzztytyytxtxx ttzztyytxx，)()()(目录 上页 下页 返回 结束 一般方程情形一般方程情形 0),(0),(zyxGzyxF，切线：切线：000000MyxyxMxzxzMzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFMyxyxMxzxzMzyzy法法平面：平面：xyz目录 上页 下页 返回 结束 0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxz
8、GFxxMzyGF法平面方程法平面方程0)(),(),(0zzMyxGFxyz目录 上页 下页 返回 结束 则曲线在该点的切线可以看作两曲面在该点则曲线在该点的切线可以看作两曲面在该点切平面切平面的交线：的交线：一般方程一般方程 ，：0),(0),(zyxGzyxF),(0000zyxM 0)()()(0)()()(000000000000zzMGyyMGxxMGzzMFyyMFxxMFzyxzyx，若若另：另：MTn目录 上页 下页 返回 结束 曲面：曲面：该曲该曲面上，则相应的面上，则相应的切平面：切平面：法线：法线：曲面方程曲面方程：，点，点 在在0),(zyxF),(0000zyxM0
9、)()()(000000 zzMFyyMFxxMFzyx)()()(000000MFzzMFyyMFxxzyx 目录 上页 下页 返回 结束 称之为函数在l 方向上的增量。如果极限存在射线l的参数方程为00cos,0cosxxttyytz 0000(cos,cos)(,)f xtytf xy0|PPt它与的比值0,PP令0,t即00000(cos,cos)(,)limtf xtytf xyt则称此极限为 f(x,y)在点 处沿方向 l 的方向导数。0Poyx),(yxP t000(,)P xy记为00(,).xyfl3)方向导数与梯度方向导数与梯度目录 上页 下页 返回 结束 其中 为 轴正向
10、到方向 的转角二元二元函数的方向导数函数的方向导数000000(,)(,)cos(,)cosxyxyffxyfxyl其中 是方向 l 的方向余弦.cos,coscossinffflxylx三元三元函数的方向导数函数的方向导数000000000000(,)(,)cos(,)cos(,)cosxyzx y zff x y zf x y zf x y zl.,的方向角为其中l目录 上页 下页 返回 结束 梯度梯度注：注：梯度方向为方向导数取最大值的方向梯度方向为方向导数取最大值的方向，),(gradyxffff ),(gradzyxfffff 或者或者Oyx1cf 2cf)(321ccc设PPyxf
11、f),(Pfgradgrad3cf 函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.同样,),(zyxfu 的等值面(等量面).czyxf),(当其各偏导数不同其上点 P 处的法向量为Pfgradgrad称为时为零时,Pf.PfcyxfL),(:*,xyff 不同时为零时则上点P 处的法向量为 目录 上页 下页 返回 结束 4)极值问题极值问题必要性：必要性：可导的极值点是驻点可导的极值点是驻点),(),(),(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx ，充分性：充分性：，0),(0),(0000 yxfyxfyx则则2BAC 0 时，时，极小值；极小值；0 A),(00yxf时
12、，时，极大值；极大值；0 A),(00yxf时不能确定；时不能确定；0 时时 非极值非极值0),(00yxf(1)无条件极值无条件极值目录 上页 下页 返回 结束(2)条件极值条件极值方法：方法：最后对方程组的解进行讨论而得到所求极值构造构造Lagrange函数函数单条件极值单条件极值 求函数求函数 在条件在条件),(yxf0),(yx 下的下的条件极值条件极值，),(),(),(yxyxfyxL 解方程组解方程组，0),(0),(0),(zyxyxLyxLyx 目录 上页 下页 返回 结束 方法：方法：解方程组解方程组构造构造Lagrange函数函数两条件极值两条件极值,0),(1 zyx
13、下下的的条件极值条件极值0),(2 zyx),(),(),(),(2211zyxzyxzyxfzyxL ，0),(0),(0),(zyxLzyxLzyxLzyx0),(0),(21 zyxzyx ，最后对方程组的解进行讨论而得到所求极值),(zyxf求函数求函数 在条件在条件目录 上页 下页 返回 结束(3)(3)函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值 求函数在有界区域上的最大值和最小值的方法 1.求出该函数在内的所有驻点和偏导数不存在的点的函数值，2.求出在边界上可能的最大值最小值,3.比较大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值。在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定驻点是否是最
14、值点。目录 上页 下页 返回 结束 1.选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设函数 z=f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义,且 函数f(x,y)在点(0,0)处的两个偏导数存在,不一定可微.(0,0)1,yf 则有_.P133 题题2(0,0)3,xf(0,0).|3Adzdxdy；.(,)(0,0,(0,0)3,1,1Bzf x yf()曲面在点的一个法向量为；C(,).(0,0,(0,0)1,0,30zf x yCfy()曲线,在点的一个切向量为；(,).(0,0,(0,0)3,0,10zf x yDfy().曲线,在点的一个切向量为解解:(,)(0,0,(0,0)(3,1
15、,1)zf x yf曲面在点的一个法向量为；,0,(,0)(0,0,(0,0)xx yzf xf在点的一个取x为参数,1,0,3().切向量为故故(C)正确正确.目录 上页 下页 返回 结束 2.()A.只有一条B.只有两条C3.至少有 条D.不存在23,334xt yt ztxyz在曲线所有切线中，与平面平行的切线A选择题选择题212 3(),(),()=(,)Tttttt，解解:(1,3,3)n 平面的法向量平面的法向量22(12,3)(1,3,3)1690tttt，1.3t 得得.所以只有一条等价于曲线的切向量与平面的法向量垂直.2(31)0t 曲线的切向量切向量:目录 上页 下页 返回
16、 结束 3.若z=f(x,y)在(x0,y0)处取得极大值,则g(y)=f(x0,y)在y0处一定有 ()BMTA.g(y)在y0取得最大值;B.g(y)在y0取得极大值C.y0是g(y)的驻点 D.以上都不对.1314 ABC目录 上页 下页 返回 结束 3.若 f(x0,y)及 f(x,y0)在(x0,y0)都取得极值,则f(x,y)在(x0,y0)处()A.不一定取得极值不一定取得极值;B.取得极值取得极值;C.取得最值取得最值.D.取不到极值取不到极值A不一定取得极值不一定取得极值.22(,)3f x yxxyy例如例如,在在 不取极小值.(0,0)2(,)f x xx 此时 2(0,
17、)fyy取极小值取极小值;(0,0)在在 0 x 当当 时时,分析分析:2(,0)f xx0y 当当 时时,取极小值取极小值;(0,0)在在,yx令令 目录 上页 下页 返回 结束 A.不一定取得极值不一定取得极值;B.取得极值取得极值;C.取得最值取得最值.D.取不到极值取不到极值A不一定取得极值.22(,)f x yxy例如例如,在在 不取极值不取极值.(0,0)22(,)f x yxy但但 2(0,)fyy 取极大值取极大值;(0,0)在在 0 x 当当 时时,分析分析:2(,0)f xx0y 当当 时时,取极小值取极小值;(0,0)在在 3.若 f(x0,y)及 f(x,y0)在(x0
18、,y0)都取得极值,则f(x,y)在(x0,y0)处()目录 上页 下页 返回 结束 则则(0,0)()(A).不是f(x,y)的连续点;(B).不是f(x,y)的极值点;(C).是f(x,y)的极小值点.(D).是f(x,y)的极大值点C分析分析:(,)zf x y4.设函数设函数的全微分为的全微分为dzxdxydy0,0 xyzxzy令令得驻点(0,0).z1,1,0 xxyyxyzz在点(0,0)处为极小值;1,A,0B1,C 210,ACB(0,0)f,0A目录 上页 下页 返回 结束 22(,)22f x yxaxxyy(1,1)5.设函数设函数在在处取得极值，试求常数处取得极值，试
19、求常数a，并确定极值的类型，并确定极值的类型分析 这是二元函数求极值的反问题，即已知(,)f x y取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题解：(1,1)因为(,)f x y可微,故必为驻点，则有 2(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)40220fxayxfxyy410a 5.a 因此有，即1112B目录 上页 下页 返回 结束 22(,)22f x yxaxxyy(1,1)5.设函数设函数在在处取得极值，试求常数处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型，并确定极值的类型在点为极小值.ABC求二阶偏导数(,)4,xxfx y(,)2,xyfx yy(,)2yyf
20、x yx4,A2,B 2,C 240,ACB(1,1)f,0A解：(1,1)处目录 上页 下页 返回 结束 222(,)2321,F x y zxyz(2,1,0)(1,2,2)(2,4,6)nxyz (2,8,12),2(1)8(2)12(2)0,xyz46210.xyz 即即122.146xyz 解解:令切平面方程切平面方程 法线方程法线方程法向量目录 上页 下页 返回 结束 7在椭球面 上求一点，使函数122222zyx 在该点沿方向222),(zyxzyxf)0,1,1(l的方向导数为最大解解:设(,)M x y z2cos,22cos,2 cos0.向量 l 的方向余弦为(2,x2,
21、y 2),zM(,)xyzfffMfl2()xy222x22()2y 20zMgrad f为椭球面上任一点，222221xyz目录 上页 下页 返回 结束 问题归结为求2fxyl在条件222221xyz下的最大值.设拉格朗日函数2()Fxy222(221).xyz解方程组xF240 xyF2 40yzF20zF2222210 xyz 7在椭球面 求一点，使函数122222zyx 在该点沿方向222),(zyxzyxf)0,1,1(l的方向导数为最大得驻点111 1(,0)(,0),222 2,目录 上页 下页 返回 结束 得驻点111 1(,0)(,0),222 2和11(,0)22112()
22、=2.22fl 1 1(,0)2 2112()=2.22fl在点在点222(,)f x y zxyz)0,1,1(l的方向导数为最大沿方向沿方向11(,0)22由已知条件可知本题的最大值与最小值一定存在.而且目录 上页 下页 返回 结束 解解:(1,1)(1,1)cos(1,1)sinxyfffl由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知(1,1)(1,1)(2)cos(2)sin,xyyxP133 题题15cossin2sin(),4故故方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;方方向向导导数数达达到到最最小小值值2;方向导数等于方向导数等于 0.例例1.目录 上页 下页 返回 结束 例例2
23、.求函数在椭球面解解:222uxyz的方向导数.2222221xyzabc沿外法线方向 对于封闭的曲面，上述两个法向量中，一个指向曲面的外侧，另一个则指向曲面的内侧。设222222(,)1,xyzF x y zabc则椭球面上任意一点 P(x,y,z)处的法向量可取为 指向外侧，称为外法线方向向量指向内侧，称为内法线方向向量),(zyxFFFn ),(1zyxFFFn ),(2zyxFFFn 上点 处0000(,)Mx y zP134 题题16目录 上页 下页 返回 结束 解解:0002222220004441(,),nxyzeabcxyzabc例例2.求函数在椭球面222uxyz的方向导数.
24、2222221xyzabc沿外法线方向上点 处0000(,)Mx y z,220ax,220by202cz0M),(zyxFFFn 椭球面在点 处的一个外法线方向向量0M42042042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyax目录 上页 下页 返回 结束 例例3.在第一卦限作椭球面1222222czbyax的切平面,解解:设,1),(222222czbyaxzyxF切点为),(000zyxM则切平面的法向量为,220ax,220by202czM即zczybyxax2020201220220220czbyax1切平面方程0)(202
25、0zzcz)(2020yyby)(2020 xxax),(zyxFFFn 使其与三坐标面所围的四面体体积最小,并求切点和最小体积.P134 题题18目录 上页 下页 返回 结束 问题归结为求2226a b cVxyz在条件1222222czbyax下的最小值.设拉格朗日函数Fxyz1222222czbyax)0,0,0(zyx切平面在三坐标轴上的截距为,02xa,02yb02zc所围四面体的体积 22200016a b cVx y zV 最小等价于 f(x,y,z)=x y z 最大,目录 上页 下页 返回 结束 Fxyz1222222czbyax令xFyz022ax220yyFxzb220z
26、zFxyc1222222czbyax03ax 03by 03cz 由此问题的性质知,333abcM为所求切点.得唯一驻点四面体的最小体积为 min3.2Vabc目录 上页 下页 返回 结束 上求一点,使该点处的法线垂直于 在曲面yxz,093zyx并写出该法线方程.解解:设所求点为,),(000zyx曲面的法向量000zzyyxx利用113100 xy得3,1,3000zyx平面0y0 x1000yxz 法线垂直于平面点在曲面上P134 题题14313xyz131则法线方程为00(,1),y x 所以法线方程为例例4.目录 上页 下页 返回 结束 例例4.抛物面 被平面 截成一椭圆,22zxy
27、1xyz 求原点到这椭圆的最长与最短距离。分析：设 为椭圆上任一点,则 到原点的距(,)P xyzP222dxyz .又 点既在抛物面上,又在已知平面上,P故本题可转化为求目标函数 在约束条件222dxyz 22zxy及 下的最大值和最小值。可用拉格朗日乘数法求解。1xyz 解：设 椭圆上任一点，则它到原点的距离为(,)P xyz222.dxyz下面求 在约束条件2222dxyz22zxy及 下的最值.1xyz 离为P121 题题11目录 上页 下页 返回 结束 22222(,)()(1)L xyzxyzzxyxyz 解方程组 222202202010 xyzLxxLyyLzzxyxyz 得两
28、个驻点 11313(,23)22M 21313(,23)22M 由题意可知这种距离的最大值与最小值一定存在；而驻点只有两个,故最大值、最小值一定在这两个驻点处取得。由于 21()95 3,dM 22()95 3,dM 故最长距离为 95 3 最短距离为 95 3 作拉格朗日函数目录 上页 下页 返回 结束 11.(,)(,)(,)0yf x ttt x yF x y t设，而是由方程所(,)(,)0yf x tF x y t由方程组可确定两个一元隐函数0 xtxytdydtffdxdxdydtFFFdxdxtxytxdydtffdxdxdydtFFFdxdx 移项得,f F确定的隐函数，其中都
29、具有一阶连续函数，试证明.fFfFdyxttxfFFdxtyt 证明:隐函数求导法得x分别在两个方程的两边端对求导，(),()yy x tt x,目录 上页 下页 返回 结束 txytxdydtffdxdxdydtFFFdxdx 即1xtxttytfffFfFFFdyxttxfFFfdxtytFF 1DtytffFFFFtyt 当=0时,目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 复合函数求导法复合函数求导法.dyfftdxxtx 因为 t 是由方程当0ttyFf Fd.dxttxttyyf Ff FxFf F(1),xttFxF 将上面的两个式子代入(1),得时,yx tyxx(,),(,)0
30、yf x tF x y tft dyty dx 确定的 x,y 的隐函数,故(,)0F x y t,ytFtyF,yxttFdyff Ffdydxxt Ft F dx()tytxfdyffFFFFtdxxt目录 上页 下页 返回 结束 解法解法3 微分法.(,),(,)0yf x tF x y t对各方程两端分别求全微分,得由(2),得当0ttyFf Fd.dxttxttyyf Ff FxFf F(dd)txyf FxFydddxtyfxftddd0 xytFxFyF tddtxtFyf F x(2)(1)d(dd)txyF tFxFy 乘以(1)两端,并以(3)式代入,得xF(3)(d)d(
31、)dttyxttxFf Fyyf Ff Fx时,目录 上页 下页 返回 结束 fufuxxP131 题11 设求(,),yzf u x yuxe2.zx y zu x yyxxz解解:P131 题题11其中 f 具有连续的二阶偏导数.yuxe ff这里 仍是以u,x,y 为中间变量的函数,且与函数 f 有相同的复合结构,故对它们求偏导要按复合函数求导法则.,uxff()zyx2zx y yyuufe fey()yuxe ffyxfy()yyuuufufe feuyyxxfufuyy()yyyuuuuye fef xefyxuxyfxef2yyyyuuuuye fxef ee f.yxuxyfx
32、ef,uxff目录 上页 下页 返回 结束 xvuxuvP131 题12 设求,sin,cosvuzveyvexuuyzxz,zvuyxyxxzcos,sin,uuxevyev由得由,vuz 解解:yvuyuvyz利用行列式解出两端对x求导，得P131 题题121ecose(sin)0esine(cos)uuxxuuxxuvv vuvv v，ecos,uxuvesinuxvv.目录 上页 下页 返回 结束 ，)(cosesine0)sin(ecose1xuxuxuxuvvvuvvvu上式中的第一式乘 第二式乘 两式相减，,sinv,cosv，vvuxsine ，vuuxcose 得上式中的第一
33、式乘 第二式乘 两式相加，,cosv,sinv得同理可得因此uxxvuvvvuuvxz e)sincos(uyyvvvuvuuvyz e)sincos(目录 上页 下页 返回 结束 xvuxuvP131 题12 设求,sin,cosvuzveyvexuuyzxz,zvuyxyxxz得由,sin,cosveyvexuu得由,vuz vveuvexuudsindcosd提示提示:vveuveyuudcosdsindyvuyuvyz利用行列式解出 du,dv：目录 上页 下页 返回 结束 veveveveveyvexuuuuuuucossinsincoscosdsinddxuyxdd veucosv
34、eusinyu代入即得;xzxvyxvdddveusinveucosyvxvxu及将代入即得.yzyvyu及将目录 上页 下页 返回 结束 四、应用题四、应用题7.求函数求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点得驻点:(0,0),(0,2),(1,1),(1,1).第二步第二步 判别判别.在点在点(0,0)处处为极大值为极大值;解方程组解方程组ABC),(yxfx660 xyx),(yxfy223360 xyy的极值的极值.求二阶偏导数求二阶偏导数(,)66,xxfx yy(,)6,xyfx yx(,)66yyfx yy6,A 6,B 6,C 2360,ACB(0,0)2f0,A2322
35、(,)3332f x yx yyxy目录 上页 下页 返回 结束 在点在点(1,1)处处不是极值不是极值;在点在点(0,2)处处为极小值为极小值.(,)66,xxfx yy(,)6,xyfx yx(,)66yyfx yy0,A 6,B 0,C 2360,ACB(1,1)f6,0,6ABC(0,2)2f 2360,ACB0,A 在点在点(1,1)处处不是极值不是极值;0,6,0ABC(1,1)f2360,ACB ABC目录 上页 下页 返回 结束 例例4.22yxz求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解解:设2261zyxd为抛物面上任一点，则 P),(zyxP22yxz的距离为022zyx问题归
36、结为求2(22)fxyz022zyx22 zyx作拉格朗日函数)()22(),(222yxzzyxzyxF到平面在条件下的最小值.目录 上页 下页 返回 结束)()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41zyx令22yxz解此方程组得唯一驻点02)22(2yzyxFy0)2)(22(2zyxFz02)22(2xzyxFx由实际意义最小值一定存在,且有唯一驻点,241414161mind647故目录 上页 下页 返回 结束 2.设),(),(yxyxf均可微,且在约束条件(x,y)0下的一个极值点,0),(,0),()(0000yxfyxfAyx则若,0),(yxy已知(x0,y
37、0)是 f(x,y)下列选项正确的是()0),(,0),()(0000yxfyxfByx则若0),(,0),()(0000yxfyxfCyx则若0),(,0),()(0000yxfyxfDyx则若提示提示:设),(),(yxyxfF0),(),(yxyxfFxxx0),(),(yxyxfFyyy(),0),(00yxy,),(),(0000yxyxfyy代入()得),(00yxfxD(2006考研),(),(),(000000yxyxyxfyxy目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设),(zyxfu 有二阶连续偏导数,且,sin2txz,)ln(yxt求.,2yxuxu解解:uzyxtxyx
38、xu1f(3 ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2)33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx 3fyxtx1cos222)(yxxyxt1sin)(yx 1cos tyx 1yx 1 32f目录 上页 下页 返回 结束 例例10.设其中 f 与F分别具,0),(,)(zyxFyxfxz解法解法1 方程两边对 x 求导,得xzdd)0(23FFfxxzdd1F 23FFfx 1 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一阶导数或偏导数,求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFf fx)dd1(xy.ddxzxyF
39、dd20dd3xzF(1999 考研)目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 0),(,)(zyxFyxfxz方程两边求微分,得化简消去 即可得yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0dz)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P130 5，6，10，15，17 目录 上页 下页 返回 结束 应用题（每小题10分，共20分）6.求旋转抛物面22zxy102530 xyzxyz 上垂直于直线的切平面方程.解解:设 为0000(,)Mxy z此点的法向量00(2,2,1),nxy设22(,),Fzzxyyx切平面
40、方程为000002()2()()0 x xxyyyzz已知直线的方向向量 111(3,4,1)125ijks 曲面上的切点,依题意依题意,得得/ns00221,341xy1213B目录 上页 下页 返回 结束 应用题（每小题10分，共20分）6.求旋转抛物面22zxy102530 xyzxyz 上垂直于直线的切平面方程.解解:得得00221,341xy000325,2,24xyz 所以所求的切平面方程为 即3253()4(2)()024xyz253404xyz1213B目录 上页 下页 返回 结束 注:已知直线的方向向量也可以按下面的两种方式求1.把 y,z 看成是x 的函数，在各个方程两端对x求导 101250dydzdxdxdydzdxdx4313dydxdzdx解得则方向向量 4 1(1,).3 3s 目录 上页 下页 返回 结束(,)1,F x y zxyz(,)253G x y zxyz2.令直线的方向向量11 11 11(,)(3,4,1)25 51 12T
