1、 第九章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 二重积分的概念与性质 第九章 解法解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底：xoy 面上的闭区域 D顶顶:连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”D),(yxfz xzy 1)“大化小大化小
2、”用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“常代变常代变”在每个在每个,),(ii3)3)“近似和近似和”niiVV1niiiif1),(),2,1(),(nifViiii则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体),(yxfz xzyoDi),(iii 4)4)“取极限取极限”的直径为定义iii,PPPP2121max)(令令)(max1ininkkkkfV10),(lim 2.2.平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片,在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D,),(Cyx计算该薄
3、片的质量计算该薄片的质量 M.度为度为),(),(常数若yx设设D 的面积为的面积为 ,则则M若若),(yx非常数非常数,仍可用仍可用其面密其面密“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”解决解决.1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域,21n相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域.Dyxo 2)“常代变常代变”在每个在每个 中中任取任取一点一点i),(ii3)“近似和近似和”niiMM1niiii1),(4)“取极限取极限”)(max1ini令niiiiM10),(limi),(ii),2,1(),(niMiiii则第则第 i
4、小块的质量小块的质量yxo 两个问题的两个问题的共性：共性：(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”niiiifV10),(limniiiiM10),(lim曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域),2,1(nii一点一点,),(iii 当当 中最大直径中最大直径 趋于零趋于零时，若时，若存在，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，也存在，则称此
5、极限为函数在闭区域上的二重积分，也称称 并记作并记作可积可积,),(yxfDyxfd),(是定义在有界闭区域是定义在有界闭区域 D上的有界函数上的有界函数,),2,1(niiniiiif10),(lim任取任取niiiif10),(limDyxfd),(即有即有 称为积分变量yx,积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素niiiif10),(limDyxfd),(积分和积分和 DyxfVd),(引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:如果如果 在在D上可积上可积,),(yxf也常也常d,ddyx二重积分记作二重
6、积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时这时分区域分区域D,因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(三、二重积分的性质三、二重积分的性质Dyxfkd),(.1(k 为常数为常数)Dyxgyxfd),(),(.221d),(d),(d),(.3DDDyxfyxfyxf,1),(.4yxfD上若在DDdd1 为为D 的面积的面积,则则),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(特别特别,由于由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则则Dyxfd),(
7、Dyxd),(5.若在若在D上上),(yxf,),(yxDyxfd),(6.设设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为的面积为 ,MyxfmDd),(则有则有 7.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD证证:由性质由性质6 可知可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理由连续函数介值定理,至少有一点至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在闭区域在闭区域D上上 为为D 的面积的面积,则至少存在一点则至少存在一点使使使使连续连续,因此因此 例例1.1.比较下列积分的大小比较下列积分的大小:d)(
8、,d)(32DDyxyx其中其中2)1()2(:22yxD解解:积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2)1()2(22yx它与它与 x 轴交于点轴交于点(1,0),.1相切与直线 yx而域而域 D 位位,1 yx从而从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方于直线的上方,故在故在 D 上上 1y2xo1D Dyxdxdy22coscos100I.10:yxD200)210(2yx22coscos100110211001100200I102200即即1.961.96 I I 2 2xyo10101010Do例例2 估计估计 的积分值，其中的积分值，其中解解:
9、D 的面积为的面积为又又 D上由估值不等式有上由估值不等式有 内容小结内容小结1.二重积分的定义二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2.二重积分的性质二重积分的性质(与定积分性质相似与定积分性质相似)思考与练习：思考与练习：yxyxyxdd1432222的正负的正负.解解:分积分域为分积分域为,321DDD则则原式原式=yxyxDdd11322yxyxDdd12322yxyxDdd133221ddDyxyxDdd1333)34(2322D3D311Dyxo0)21(3舍去此项舍去此项1.判断判断 被积函数被积函数相同相同,且且非负非负,yxyxIyxdd11
10、22yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解:321,III由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知312III11xyo2.比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:3.3.设设D D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域,且且 0 0 y y 1,1,则则,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为的大小顺序为().)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示提示:因因 0 y 1,故故;212yyyD故在故在D上有上有,03x又因323321xyxyxyyox1D 4.4.证明证明:,2d)cossin(122Dyx其中其中D 为为.10,10yx解解:利用题中利用题中 x,y 位置的对称性位置的对称性,有有d)cossin(22Dyxd)cossin(d)cossin(222221DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(22Dxxd)sin(242Dx,1)sin(,1042212xx又又 D 的面积为的面积为 1,故结论成立故结论成立.yox1D1
